中2数学 1学期の計算 第12回 全32問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $-3-4\times(-5)$
答え $17$
\begin{eqnarray*} &&-3-4\times(-5)\\ &=&-3+20\\ &=&17 \end{eqnarray*}② $-\cfrac{1}{6}+1-\cfrac{7}{4}$
答え $-\cfrac{11}{12}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{6}+1-\cfrac{7}{4}\\ &=&-\cfrac{2}{12}+\cfrac{12}{12}-\cfrac{21}{12}\\ &=&-\cfrac{11}{12} \end{eqnarray*}③ $-2^4\times(-2)^4$
答え $-256$
\begin{eqnarray*} &&-2^4\times(-2)^4\\ &=&-16\times16\\ &=&-256 \end{eqnarray*}④ $-7x+3y-4x-9y$
答え $-11x-6y$
\begin{eqnarray*} &&-7x+3y-4x-9y\\ &=&-7x-4x+3y-9y\\ &=&-11x-6y \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{11}{12}x+\cfrac{6}{7}y-x-\cfrac{13}{14}y$
答え $-\cfrac{1}{12}x-\cfrac{1}{14}y$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{11}{12}x+\cfrac{6}{7}y-x-\cfrac{13}{14}y\\ &=&\cfrac{11}{12}x-x+\cfrac{6}{7}y-\cfrac{13}{14}y\\ &=&\cfrac{11}{12}x-\cfrac{12}{12}x+\cfrac{12}{14}y-\cfrac{13}{14}y\\ &=&-\cfrac{1}{12}x-\cfrac{1}{14}y \end{eqnarray*}⑥ $(-12a+7b)+(5a-22b)$
答え $-7a-15b$
\begin{eqnarray*} &&(-12a+7b)+(5a-22b)\\ &=&-12a+7b+5a-22b\\ &=&-12a+5a+7b-22b\\ &=&-7a-15b \end{eqnarray*}⑦ $-(9x^2+6x)-(3x^2-18x)$
答え $-12x^2+12x$
\begin{eqnarray*} &&-(9x^2+6x)-(3x^2-18x)\\ &=&-9x^2-6x-3x^2+18x\\ &=&-9x^2-3x^2-6x+18x\\ &=&-12x^2+12x \end{eqnarray*}⑧ $-24(3x-4y)$
答え $-72x+96y$
⑨ $52\left(\cfrac{11}{13}a-\cfrac{25}{26}b\right)$
答え $44a-50b$
\begin{eqnarray*} &&52\left(\cfrac{11}{13}a-\cfrac{25}{26}b\right)\\ &=&52\times\cfrac{11}{13}a+52\times\left(-\cfrac{25}{26}b\right)\\ &=&44a-50b \end{eqnarray*}⑩ $(-36x^2-54x+18)\div(-18)$
答え $2x^2+3x-1$
⑪ $(96a-128b)\div\left(-\cfrac{8}{3}\right)$
答え $-36a+48b$
\begin{eqnarray*} &&(96a-128b)\div\left(-\cfrac{8}{3}\right)\\ &=&(96a-128b)\times\left(-\cfrac{3}{8}\right)\\ &=&96a\times\left(-\cfrac{3}{8}\right)-128b\times\left(-\cfrac{3}{8}\right)\\ &=&-36a+48b\end{eqnarray*}⑫ $4(4x+7y)-3(5x+9y)$
答え $x+y$
\begin{eqnarray*} &&4(4x+7y)-3(5x+9y)\\ &=&16x+28y-15x-27y\\ &=&16x-15x+28y-27y\\ &=&x+y \end{eqnarray*}⑬ $-\cfrac{1}{12}(36a^2-24a)+\cfrac{1}{13}(39a^2+26a)$
答え $4a$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{12}(36a^2-24a)+\cfrac{1}{13}(39a^2+26a)\\ &=&-3a^2+2a+3a^2+2a\\ &=&-3a^2+3a^2+2a+2a\\ &=&4a \end{eqnarray*}⑭ $\cfrac{x-3y}{3}-\cfrac{x-4y}{2}$
答え $\cfrac{-x+6y}{6}\quad\left(-\cfrac{x-6y}{6},-\cfrac{1}{6}x+yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-3y}{3}-\cfrac{x-4y}{2}\\ &=&\cfrac{2(x-3y)-3(x-4y)}{6}\\ &=&\cfrac{2x-6y-3x+12y}{6}\\ &=&\cfrac{2x-3x-6y+12y}{6}\\ &=&\cfrac{-x+6y}{6} \end{eqnarray*}⑮ $(-ab)^2\times(-bc^2)$
答え $-a^2b^3c^2$
\begin{eqnarray*} &&(-ab)^2\times(-bc^2)\\ &=&a^2b^2\times(-bc^2)\\ &=&-a^2b^3c^2 \end{eqnarray*}⑯ $24x^2\div(-8xy)\div(-6x)$
答え $\cfrac{1}{2y}$
\begin{eqnarray*} &&24x^2\div(-8xy)\div(-6x)\\ &=&\cfrac{24xx}{8xy\times6x}\\ &=&\cfrac{1}{2y} \end{eqnarray*}⑰ $\cfrac{7}{18}xy\div\cfrac{35}{48}xy^2\times\left(-\cfrac{15}{32}xy\right)$
答え $-\cfrac{1}{4}x$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{7}{18}xy\div\cfrac{35}{48}xy^2\times\left(-\cfrac{15}{32}xy\right)\\ &=&\cfrac{7xy}{18}\times\cfrac{48}{35xyy}\times\left(-\cfrac{15xy}{32}\right)\\ &=&-\cfrac{1}{4}x \end{eqnarray*}① $-\cfrac{1}{6}x=36$
答え $x=-216$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{6}x&=&36 \quad(-6を両辺にかける)\\ x&=&-216 \end{eqnarray*}② $-\cfrac{2x-5}{16}=-\cfrac{1}{2}x-1$
答え $x=-\cfrac{7}{2}$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{2x-5}{16}&=&-\cfrac{1}{2}x-1\quad(\times16)\\ -2x+5&=&-8x-16 \\ -2x+8x&=&-16-5\\ 6x&=&-21\\ x&=&-\cfrac{21}{6}=-\cfrac{7}{2} \end{eqnarray*}③ $\left\{\begin{array}{l} y=-2x-10\\ 4x-5y=8 \end{array}\right.$
答え $x=-3,y=-4$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-2x-10\qquad…①\\ 4x-5y=8\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①を②に代入する$ \begin{eqnarray*} 4x-5(-2x-10)&=&8\\ 4x+10x+50&=&8\\ 4x+10x&=&8-50\\ 14x&=&-42\\ x&=&-3\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-3を&①&に代入\\ y&=&-2\times(-3)-10\\ y&=&6-10\\ y&=&-4 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=-4 \end{array} \right. \end{eqnarray*}④ $\left\{\begin{array}{l} 17x-15y=11\\ -13x+6y=8 \end{array}\right.$
答え $x=-2,y=-3$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 17x-15y=11\qquad…①\\ -13x+6y=8\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で $y$ の係数をそろえて消去する$①\times2+②\times5$ \begin{eqnarray*} 34x-30y=22\\ \underline{+) \quad -65x+30y=40} \\ -31x\phantom{-114y}=62\\ x\phantom{-114y}=-2\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-2を&②&に代入\\ -13\times(-2)+6y&=&8\\ 26+6y&=&8\\ 6y&=&8-26\\ 6y&=&-18\\ y&=&-3 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=-3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}
①$A=\cfrac{4}{5}a+2b,\ B=a+\cfrac{2}{7}b$ として、次の式を計算しなさい。
$\qquad 3(A-6B)-(3B-7A)$
答え $-13a+14b$
いきなり代入しても同じ答えがでますが、ちょっと損なやり方です。文字のままやれるところまで計算して、それから代入したほうがラクです。
\begin{eqnarray*} &&3(A-6B)-(3B-7A) \\ &=&3A-18B-3B+7A\\ &=&3A+7A-18B-3B\\ &=&10A-21B\\ &&A=\cfrac{4}{5}a+2b,\ B=a+\cfrac{2}{7}b を代入\\ &=&10\left(\cfrac{4}{5}a+2b\right)-21\left(a+\cfrac{2}{7}b\right)\\ &=&8a+20b-21a-6b\\ &=&8a-21a+20b-6b\\ &=&-13a+14b \end{eqnarray*}
② $y$ が $x$ に比例し、$x=\cfrac{5}{4}$ のとき、$y=10$ である。 $x=-\cfrac{3}{16}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{2}$
比例の式の形は $y=ax$ $$y=ax\ に\ x=\cfrac{5}{4}, \ y=10\ を代入する\\ 10=\cfrac{5}{4}a 左辺と右辺をとりかえる\\ \cfrac{5}{4}a=10 両辺に \times4\\ 5a=40\\ a=8\\ y=8x\ に\ x=-\cfrac{3}{16}\ を代入する\\ y=8\times\left(-\cfrac{3}{16}\right)=-\cfrac{3}{2}$$③ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-4$ のとき、$y=-15$ である。 $x=-12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-5$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x\times y=-4\times(-15)=60\\ y=\cfrac{60}{x}\ に\ x=-12\ を代入する\\ y=\cfrac{60}{-12}=-5$$④ 次の式の項を答えなさい。また、何次式かを答えなさい。
$\qquad 15x^2-60x+60$
答え $項…15x^2,\ -60x,\ 60 \\2次式$
式の途中に $+$ や $-$ がでてきたら、その直前にスラッシュ（斜め線）をいれて、項にわけます。 それぞれの項の次数をみて、いちばん高いところの次数を答えます。 $$15x^2/-60x/+60$$ $15x^2$ は $2$ 次、$-60x$ は $1$ 次です。なので、$2$ 次式と答えます。次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
⑤
$-5a-6b=9\quad[b]$
答え $b=\cfrac{-5a-9}{6}\left(-\cfrac{5a+9}{6},-\cfrac{5}{6}a-\cfrac{3}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} -5a-6b&=&9\\ -6b&=&5a+9\quad両辺に \times(-1) \\ 6b&=&-5a-9 \\ b&=&\cfrac{-5a-9}{6} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
⑥
$y=-\cfrac{2}{3}x+4\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-3y+12}{2}\left(-\cfrac{3y-12}{2},-\cfrac{3}{2}y+6も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{2}{3}x+4\quad(両辺に\times3) \\ 3y&=&-2x+12 \\ 2x&=&-3y+12 \\ x&=&\cfrac{-3y+12}{2} \end{eqnarray*}⑦ $1$ の位が $0$ でない $2$ けたの 自然数を $A$ とする。$A$ の十の位と一の位をいれかえてできる数を $B$ とする。このとき、$A+B$ は $11$ の 倍数となることを、$A=10x+y$ （ただし $x,\ y$ は $1$ から $9$ までの整数）として説明しなさい。
説明
$A$ を $10x+y$ と表すと、$B$ は $10y+x$ と表せる。ただし、$x,\ y$ は $1$ から $9$ までの整数である。
\begin{eqnarray*} &&A+B\\ &=&(10x+y)+(10y+x)\\ &=&10x+y+10y+x\\ &=&10x+x+y+10y\\ &=&11x+11y\\ &=&11(x+y) \end{eqnarray*} $x,\ y$ は整数だから、$11(x+y)$ は $11$ の倍数である。
したがって、$A+B$ は $11$ の倍数となる。
① 部員の人数を答えなさい。
答え $25人$
② 最頻値（モード）を求めなさい。
答え $162.5$
人数がいちばん多い階級の階級値が最頻値（モード）です。グラフの、いちばん背が高いところの階級値だと思ってしまってもいいです。
このグラフで人数がいちばん多いのは、$160cm$ 以上 $165ｃｍ$ 未満の階級です。なので最頻値（モード）は、
\begin{eqnarray*}
(160+165)\div2=162.5
\end{eqnarray*}
$162.5$ です。ここで注意が必要なのは、「階級値を答える」ということです。最頻値（モード）をきかれたら、
階級値を答えてください。
階級値というのは、その階級のいちばん小さい数といちばん大きい数を足して $2$ で割った値のことです。
③ 中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $157.5$
$25$ 人による記録ですから、その中央値（メジアン）は、$13$ 番目の記録です。
$25$ 人いるのだったら、まえから数えても $13$ 番目、うしろから数えても $13$ 番目がまんなかです。
その「まんなか」というのが中央値（メジアン）です。
$(1+25)\div2=13$ とやってしまうと話がはやいです。まんなかというのは、「足して $2$ で割る」とすぐに求まります。
んで、この問題の場合の中央値（メジアン）は、$13$ 番目の人がふくまれる階級の階級値になります。
$13$ 番目のひとがふくまれるのは $155cm$ 以上 $160cm$ 未満の階級です。なので中央値（メジアン）は、
\begin{eqnarray*}
(155+160)\div2=157.5
\end{eqnarray*}
$157.5$ です。ここで注意が必要なのは、「階級値を答える」ということです。こういう問題で中央値（メジアン）をきかれたら、
階級値を答えてください。
階級値というのは、その階級のいちばん小さい数といちばん大きい数を足して $2$ で割った値のことです。
④ $155cm$ 未満の部員の相対度数を、小数第 $2$ 位を四捨五入して求めなさい。
答え $0.2$
$155cm$ 未満の部員の人数をあわせると、$6$ 人います。度数は $6$ です。
なのでその相対度数は $\cfrac{6}{25}$ です。
\begin{eqnarray*}
6\div25=0.24
\end{eqnarray*}
小数第 $2$ 位を四捨五入して求めよというのだから、答えは $0.2$ です。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①17②-\cfrac{11}{12}③-256④-11x-6y⑤-\cfrac{1}{12}x-\cfrac{1}{14}y\\ ⑥-7a-15b⑦-12x^2+12x⑧-72x+96y\\ ⑨44a-50b⑩2x^2+3x-1⑪-36a+48b\\ ⑫x+y⑬4a\\ ⑭\cfrac{-x+6y}{6}\quad\left(-\cfrac{x-6y}{6},-\cfrac{1}{6}x+yも可\right)\\ ⑮-a^2b^3c^2 ⑯\cfrac{1}{2y}⑰-\cfrac{1}{4}x\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①x=-216②x=-\cfrac{7}{2}③x=-3, \ y=-4\\ ④x=-2, \ y=-3\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①-13a+14b②y=-\cfrac{3}{2}③y=-5\\ ④項…15x^2, \ -60x, \ 60，2次式\\ ⑤b=\cfrac{-5a-9}{6}\quad\left(-\cfrac{5a+9}{6},-\cfrac{5}{6}a-\cfrac{3}{2}も可\right)\\ ⑥x=\cfrac{-3y+12}{2}\quad\left(-\cfrac{3y-12}{2},-\cfrac{3}{2}y+6も可\right)\\ ⑥A\ を\ 10x+y\ と表すと、B\ は\ 10y+x\ と表せる。\\ ただし、x,\ y\ は\ 1\ から\ 9\ までの整数である。\\ \begin{eqnarray*} &&A+B \\ &=&(10x+y)+(10y+x)\\ &=&10x+y+10y+x\\ &=&10x+x+y+10y\\ &=&11x+11y\\ &=&11(x+y)\\ \end{eqnarray*}\\ x,\ y\ は整数だから、11(x+y)\ は\ 11\ の倍数である。\\ したがって、A+B\ は\ 11\ の倍数となる。\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①25人②162.5③157.5④0.2 $