才塾 定期テスト対策

中2数学 1学期の計算 第14回 全31問

14


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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$3+4\times(-5)$

答え $-17$

\begin{eqnarray*} &&3+4\times(-5)\\ &=&3-20\\ &=&-17 \end{eqnarray*}

$-\cfrac{3}{4}+\cfrac{7}{6}-\cfrac{2}{3}$

答え $-\cfrac{1}{4}$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{3}{4}+\cfrac{7}{6}-\cfrac{2}{3}\\ &=&-\cfrac{9}{12}+\cfrac{14}{12}-\cfrac{8}{12}\\ &=&-\cfrac{3}{12}\\ &=&-\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}

$(-2)^3\times(-5)^2$

答え $-200$

\begin{eqnarray*} &&(-2)^3\times(-5)^2\\ &=&-8\times25\\ &=&-200 \end{eqnarray*}

$6a-9b-11a-8b$

答え $-5a-17b$

\begin{eqnarray*} &&6a-9b-11a-8b\\ &=&6a-11a-9b-8b\\ &=&-5a-17b \end{eqnarray*}

$-\cfrac{2}{5}x+\cfrac{4}{7}y-x-\cfrac{5}{9}y$

答え $-\cfrac{7}{5}x+\cfrac{1}{63}y$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{2}{5}x+\cfrac{4}{7}y-x-\cfrac{5}{9}y\\ &=&-\cfrac{2}{5}x-x+\cfrac{4}{7}y-\cfrac{5}{9}y\\ &=&-\cfrac{2}{5}x-\cfrac{5}{5}x+\cfrac{36}{63}y-\cfrac{35}{63}y\\ &=&-\cfrac{7}{5}x+\cfrac{1}{63}y \end{eqnarray*}

$(3a-3b)+(8a+8b)$

答え $11a+5b$

\begin{eqnarray*} &&(3a-3b)+(8a+8b)\\ &=&3a-3b+8a+8b\\ &=&3a+8a-3b+8b\\ &=&11a+5b \end{eqnarray*}

$(12x^2+8x)-(111x^2-8x)$

答え $-99x^2+16x$

\begin{eqnarray*} &&(12x^2+8x)-(111x^2-8x)\\ &=&12x^2+8x-111x^2+8x\\ &=&12x^2-111x^2+8x+8x\\ &=&-99x^2+16x \end{eqnarray*}

$-8(12x-15y)$

答え $-96x+120y$

$15\left(\cfrac{4}{5}a-\cfrac{7}{30}b\right)$

答え $12a-\cfrac{7}{2}b$

\begin{eqnarray*} &&15\left(\cfrac{4}{5}a-\cfrac{7}{30}b\right)\\ &=&15\times\cfrac{4}{5}a+15\times\left(-\cfrac{7}{30}b\right)\\ &=&12a-\cfrac{7}{2}b \end{eqnarray*}

$(-144x^2-88x+8)\div(-8)$

答え $18x^2+11x-1$

$(105a-75b)\div\left(-\cfrac{15}{2}\right)$

答え $-14a+10b$

\begin{eqnarray*} &&(105a-75b)\div\left(-\cfrac{15}{2}\right)\\ &=&(105a-75b)\times\left(-\cfrac{2}{15}\right)\\ &=&105a\times\left(-\cfrac{2}{15}\right)-75b\times\left(-\cfrac{2}{15}\right)\\ &=&-14a+10b\end{eqnarray*}

$3(16x-18y)-5(10x-9y)$

答え $-2x-9y$

\begin{eqnarray*} &&3(16x-18y)-5(10x-9y)\\ &=&48x-54y-50x+45y\\ &=&48x-50x-54y+45y\\ &=&-2x-9y \end{eqnarray*}

$-\cfrac{7}{8}(64a^2-72a)+\cfrac{3}{5}(55a^2+70a)$

答え $-23a^2+107a$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{7}{8}(64a^2-72a)+\cfrac{3}{5}(55a^2+70a)\\ &=&-56a^2+63a+33a^2+42a\\ &=&-56a^2+33a^2+63a+42a\\ &=&-23a^2+107a \end{eqnarray*}

$\cfrac{4x-3y}{6}-\cfrac{15x-10y}{18}$

答え $\cfrac{-3x+y}{18}\quad\left(-\cfrac{3x-y}{18},-\cfrac{1}{6}x+\cfrac{1}{18}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{4x-3y}{6}-\cfrac{15x-10y}{18}\\ &=&\cfrac{3(4x-3y)-(15x-10y)}{18}\\ &=&\cfrac{12x-9y-15x+10y}{18}\\ &=&\cfrac{12x-15x-9y+10y}{18}\\ &=&\cfrac{-3x+y}{18} \end{eqnarray*}

$-3xy\div(-18x^2y^2)\times(-16x)$

答え $-\cfrac{8}{3y}$

\begin{eqnarray*} &&-3xy\div(-18x^2y^2)\times(-16x)\\ &=&-\cfrac{3xy\times16x}{18xxyy}\\ &=&-\cfrac{8}{3y} \end{eqnarray*}

$\cfrac{2}{9}a\div\cfrac{5}{4}ab^2\times\left(-\cfrac{15}{8}ab\right)$

答え $-\cfrac{a}{3b}$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{9}a\div\cfrac{5}{4}ab^2\times\left(-\cfrac{15}{8}ab\right)\\ &=&\cfrac{2a}{9}\times\cfrac{4}{5abb}\times\left(-\cfrac{15ab}{8}\right)\\ &=&-\cfrac{a}{3b} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の方程式を解きなさい。

$-3(x-2)=5x+2$

答え $x=\cfrac{1}{2}$

\begin{eqnarray*} -3(x-2)&=&5x+2\\ -3x+6&=&5x+2\\ -3x-5x&=&2-6\\ -8x&=&-4\\ x&=&\cfrac{4}{8}=\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}

$-\cfrac{3}{4}x-\cfrac{1}{2}=\cfrac{5}{6}x+1$

答え $x=-\cfrac{18}{19}$

\begin{eqnarray*} -\cfrac{3}{4}x-\cfrac{1}{2}&=&\cfrac{5}{6}x+1\quad(\times12)\\ -9x-6&=&10x+12 \\ -9x-10x&=&12+6\\ -19x&=&18\\ x&=&-\cfrac{18}{19} \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} -4x-3y=4\\ y=-2x-2\\ \end{array}\right.$

答え $x=-1,y=0$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} -4x-3y=4\qquad…①\\ y=-2x-2\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を①に代入する$ \begin{eqnarray*} -4x-3(-2x-2)&=&4\\ -4x+6x+6&=&4\\ -4x+6x&=&4-6\\ 2x&=&-2\\ x&=&-1\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-1を&②&に代入\\ y&=&-2\times(-1)-2\\ y&=&2-2\\ y&=&0 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ y=0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y=-1\\ \cfrac{1}{2}x+3y=11 \end{array}\right.$

答え $x=-8,y=5$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-1\qquad…①\\ \cfrac{1}{2}x+3y=11\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} ②の式の分母をはらう \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}x+3y&=&11\quad(\times2)\\ x+6y&=&22\qquad…③ \end{eqnarray*} ①と③を連立させ、 加減法で $x$ の係数をそろえて消去する
$①-③\times2$ \begin{eqnarray*} 2x+\phantom{1}3y=-\phantom{4}1\\ \underline{-) \quad 2x+12y=\phantom{-}44} \\ -9y=-45\\ y=\phantom{-1}5\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=5を&③&に代入\\ x+6\times5&=&22\\ x+30&=&22\\ x&=&30-22\\ x&=&-8 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-8\\ y=5 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 6(x-y)=3x-2\\ 10x-y-1=x+3y \end{array}\right.$

答え $x=\cfrac{1}{3},y=\cfrac{1}{2}$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 6(x-y)=3x-2\qquad…①\\ 10x-y-1=x+3y\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} ①を整理
\begin{eqnarray*} \begin{array}{l} 6(x-y)&=&3x-2\\ 6x-6y&=&3x-2\\ 6x-6y-3x&=&-2\\ 3x-6y&=&-2\qquad…③ \end{array} \end{eqnarray*} ②を整理
\begin{eqnarray*} \begin{array}{l} 10x-y-1&=&x+3y\\ 10x-y-x-3y&=&1\\ 9x-4y&=&1\qquad…④ \end{array} \end{eqnarray*} ③と④を連立方程式として、加減法で $x$ の係数をそろえて消去する
$③\times3-④$ \begin{eqnarray*} 9x-18y=-6\\ \underline{-) \quad 9x-\phantom{1}4y=\phantom{-}1} \\ -14y=-7\\ y=\phantom{-}\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=\cfrac{1}{2}を&③&に代入\\ 3x-6\times\cfrac{1}{2}&=&-2\\ 3x-3&=&-2\\ 3x&=&-2+3\\ 3x&=&1\\ x&=&\cfrac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\cfrac{1}{3}\\ y=\cfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

$A=-\cfrac{1}{2}a+3b,\ B=a-\cfrac{2}{3}b$ として、次の式を計算しなさい。
$\qquad -(A+3B)-3(A-2B)$

答え $5a-14b$

いきなり代入しても同じ答えがでますが、ちょっと損なやり方です。
文字のままやれるところまで計算して、それから代入したほうがラクです。
\begin{eqnarray*} &&-(A+3B)-3(A-2B) \\ &=&-A-3B-3A+6B\\ &=&-A-3A-3B+6B\\ &=&-4A+3B\\ &&A=-\cfrac{1}{2}a+3b,\ B=a-\cfrac{2}{3}b を代入\\ &=&-4\left(-\cfrac{1}{2}a+3b\right)+3\left(a-\cfrac{2}{3}b\right)\\ &=&2a-12b+3a-2b\\ &=&2a+3a-12b-2b\\ &=&5a-14b \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=-6$ のとき、 $y=\cfrac{2}{3}$ である。 $x=-\cfrac{4}{9}$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=\cfrac{4}{81}$

比例の式の形は $y=ax$ $$y=ax\ に\ x=-6, \ y=\cfrac{2}{3}\ を代入する\\ \cfrac{2}{3}=-6a 左辺と右辺をとりかえる\\ -6a=\cfrac{2}{3} 両辺に \times3\\ -18a=2\\ a=-\cfrac{2}{18}=-\cfrac{1}{9}\\ y=-\cfrac{1}{9}x\ に\ x=-\cfrac{4}{9}\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{9}\times\left(-\cfrac{4}{9}\right)=\cfrac{4}{81}$$

$y$ が $x$ に反比例し、 $x=3$ のとき、$y=-6$ である。 $x=-12$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=\cfrac{3}{2}$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x\times y=3\times(-6)=-18\\ y=-\cfrac{18}{x}\ に\ x=-12\ を代入する\\ y=-\cfrac{18}{-12}=\cfrac{3}{2}$$

次の式の項を答えなさい。また、何次式かを答えなさい。
$\qquad -4ab+2a-1$

答え $項…-4ab,\ 2a,\ -1 \\2次式$

式の途中に $+$ や $-$ がでてきたら、その直前にスラッシュ(斜め線)をいれて、項にわけます。 それぞれの項の次数をみて、いちばん高いところの次数を答えます。 $$-4ab/+2a/-1$$ $-4ab$ は $2$ 次、$2a$ は $1$ 次です。なので、$2$ 次式と答えます。

次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
$-5a-3b=12\quad[b]$

答え $b=\cfrac{-5a-12}{3}\left(-\cfrac{5a+12}{3},-\cfrac{5}{3}a-4も可\right)$

\begin{eqnarray*} -5a-3b&=&12\\ -3b&=&5a+12\quad両辺に \times(-1) \\ 3b&=&-5a-12 \\ b&=&\cfrac{-5a-12}{3} \end{eqnarray*}

次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
$y=-\cfrac{4}{3}x+2\quad[x]$

答え $x=\cfrac{-3y+6}{4}\left(-\cfrac{3y-6}{4},-\cfrac{3}{4}y+\cfrac{3}{2}も可\right)$

\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{4}{3}x+2\quad(両辺に\times3) \\ 3y&=&-4x+6 \\ 4x&=&-3y+6 \\ x&=&\cfrac{-3y+6}{4} \end{eqnarray*}

偶数と偶数の和は偶数となることを説明しなさい。

説明

$2$つの偶数を $2m \ ,2n$ とする。
ただし、$m \ ,n$ は整数とする。
\begin{eqnarray*} &&2m+2n \\ &=&2(m+n) \end{eqnarray*} $m \ ,n$ は整数だから、$2(m+n)$ は偶数である。
したがって、偶数と偶数の和は偶数である。

$8$ 人の生徒があるテストを受けた。 得点はそれぞれ、$63$ 点、$43$ 点、$72$ 点、$56$ 点、$82$ 点、$55$ 点、$70$ 点、$76$ 点だった。 このときの中央値(メジアン)を求めなさい。

答え $66.5\ 点$

得点を低い順にならべると、
$$43,\ 55,\ 56,\ 63,\ 70,\ 72,\ 76,\ 82$$ $8$ 人の中央値(メジアン)は $4$ 番目と $5$ 番目の平均だから、 $$(63+70)\div2=66.5$$

$A$ 地点から $C$ 地点まで $60km$ の 道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは時速 $7km$ で進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは時速 $16km$ で 進んだところ、全部で $6$ 時間かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、 $B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。

答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$28km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$32km$

POINT

$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xkm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ykm$ とします。 文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $60km$ ですから、 $$x+y=60$$ $2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $6$ 時間で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、 $$\cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{16}=6$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=60\quad…①\\ \cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{16}=6\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{16}&=&6\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times112)}\\ 16x+7y&=&672\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times7 \ - \ ③$ \begin{eqnarray*} 7x+7y=\phantom{-}420\\ \underline{-) \quad 16x+7y=\phantom{-}672}\\ -9x\phantom{+17y}=-252\\ x\phantom{+17y}=\phantom{-1}28 \end{eqnarray*} $x=28を①に代入$ \begin{eqnarray*} 28+y&=&60\\ y&=&60-28\\ &=&32 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=28\\ y=32 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

ある学校の昨年度の生徒数は $460$ 人 だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $10$ %増え、女子は $15$ %減ったため、$446$ 人となった。 今年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

答え
男子…$242$ 人
女子…$204$ 人

POINT

さいしょにポイントがあります。昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。
ふつう、方程式の文章題はきかれたことをそのまま $x, \ y$ にするものですが、この問題は特別です。 昨年度の男子女子をきかれているのなら昨年度の男子女子を $x, \ y$ にすればよいのですが、 今年度の男子女子をきかれていたとしても、昨年度の男子女子を $x, \ y$ にして 式をたてましょう。今年度の男子女子を $x, \ y$ にするのはやめたほうがいいです。 やってみればわかるんですけど。

ということで、昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。 文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $460$ 人ですから、 $$x+y=460$$ $2$ つ目は、男子の $10$ %増と、女子の $15$ %減をあわせたら、全体としては $14$ 人減っている、 ということで式をたてます。 $$\cfrac{10}{100}x-\cfrac{15}{100}y=-14$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=460\quad…①\\ \cfrac{10}{100}x-\cfrac{15}{100}y=-14\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \cfrac{10}{100}x-\cfrac{15}{100}y&=&-14\quad \class{mathbg-r}{(両辺に100をかける)}\\ \qquad10x-15y&=&-1400\quad \class{mathbg-r}{(両辺を5で割る)}\\ 2x-3y&=&-280\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$①\times2 \ - \ ③$ \begin{eqnarray*} 2x+2y=\phantom{-}920\\ \underline{-) \quad 2x-3y=-280}\\ 5y=\phantom{1}1200\\ y=\phantom{-}240 \end{eqnarray*} 昨年度の女子生徒数を $y$ ということにして、$y$ が求められました。きかれているのは、今年度の男子と女子です。 女子は昨年度にくらべて、$15$ %減っているのですから、 $$240\times0.85=204$$ となって、今年度の女子生徒は $204$ 人です。
また、今年度の生徒数は全体で $446$ 人ですから、 $$446-204=242$$ となって、今年度の男子生徒は $242$ 人です。

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①-17②-\cfrac{1}{4}③-200④-5a-17b⑤-\cfrac{7}{5}x+\cfrac{1}{63}y\\ ⑥11a+5b⑦-99x^2+16x⑧-96x+120y\\ ⑨12a-\cfrac{7}{2}b⑩18x^2+11x-1⑪-14a+10b\\ ⑫2x-9y⑬-23a^2+107a\\ ⑭\cfrac{-3x+y}{18}\quad\left(-\cfrac{3x-y}{18},-\cfrac{1}{6}x+\cfrac{1}{18}yも可\right)\\ ⑮-\cfrac{8}{3y} ⑯-\cfrac{a}{3b}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①x=\cfrac{1}{2}②x=-\cfrac{18}{19}③x=-1, \ y=0\\ ④x=-8, \ y=5⑤x=\cfrac{1}{3}, \ y=\cfrac{1}{2}\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①5a-14b②y=\cfrac{4}{81}③y=\cfrac{3}{2}\\ ④項…-4ab, \ 2a, \ -1,2次式\\ ⑤b=\cfrac{-5a-12}{3}\quad\left(-\cfrac{5a+12}{3},-\cfrac{5}{3}a-4も可\right)\\ ⑥x=\cfrac{-3y+6}{4}\quad\left(-\cfrac{3y-6}{4},-\cfrac{3}{4}y+\cfrac{3}{2}も可\right)\\ ⑥2つの偶数を 2m \ ,2n とする。\\ ただし、m \ ,n は整数とする。\\ \begin{eqnarray*} &&2m+2n \\ &=&2(m+n) \end{eqnarray*}\\ m \ ,n は整数だから、2(m+n) は偶数である。\\ したがって、偶数と偶数の和は偶数である。\\ ⑧66.5⑨A~B…28km,B~C32…km\\ ⑩男子242人,女子204人 $

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