才塾 定期テスト対策

中2数学 1学期の計算 第15回 全31問

15


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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$-3-4\times2$

答え $-11$

\begin{eqnarray*} &&-3-4\times2\\ &=&-3-8\\ &=&-11 \end{eqnarray*}

$-\cfrac{1}{2}+\cfrac{7}{8}-\cfrac{3}{4}$

答え $-\cfrac{3}{8}$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{2}+\cfrac{7}{8}-\cfrac{3}{4}\\ &=&-\cfrac{4}{8}+\cfrac{7}{8}-\cfrac{6}{8}\\ &=&-\cfrac{3}{8} \end{eqnarray*}

$(-4^2)\times(-2)^2$

答え $-64$

\begin{eqnarray*} &&(-4^2)\times(-2)^2\\ &=&-16\times4\\ &=&-64 \end{eqnarray*}

$16a-9b-17a-15b$

答え $-a-24b$

\begin{eqnarray*} &&16a-9b-17a-15b\\ &=&16a-17a-9b-15b\\ &=&-a-24b \end{eqnarray*}

$-\cfrac{1}{8}x+y-x+\cfrac{1}{9}y$

答え $-\cfrac{9}{8}x+\cfrac{10}{9}y$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{8}x+y-x+\cfrac{1}{9}y\\ &=&-\cfrac{1}{8}x-x+y+\cfrac{1}{9}y\\ &=&-\cfrac{1}{8}x-\cfrac{8}{8}x+\cfrac{9}{9}y+\cfrac{1}{9}y\\ &=&-\cfrac{9}{8}x+\cfrac{10}{9}y \end{eqnarray*}

$(7a-13b)+(13a+8b)$

答え $20a-5b$

\begin{eqnarray*} &&(7a-13b)+(13a+8b)\\ &=&7a-13b+13a+8b\\ &=&7a+13a-13b+8b\\ &=&20a-5b \end{eqnarray*}

$(x^2+x)-(2x^2-3x)$

答え $-x^2+4x$

\begin{eqnarray*} &&(x^2+x)-(2x^2-3x)\\ &=&x^2+x-2x^2+3x\\ &=&x^2-2x^2+x+3x\\ &=&-x^2+4x \end{eqnarray*}

$-7(12x-15y)$

答え $-84x+105y$

$20\left(\cfrac{4}{5}a-\cfrac{3}{10}b\right)$

答え $16a-6b$

\begin{eqnarray*} &&20\left(\cfrac{4}{5}a-\cfrac{3}{10}b\right)\\ &=&20\times\cfrac{4}{5}a+20\times\left(-\cfrac{3}{10}b\right)\\ &=&16a-6b \end{eqnarray*}

$(-54x^2-9x+36)\div(-9)$

答え $6x^2+x-4$

$(48a-60b)\div\left(-\cfrac{12}{13}\right)$

答え $-52a+65b$

\begin{eqnarray*} &&(48a-60b)\div\left(-\cfrac{12}{13}\right)\\ &=&(48a-60b)\times\left(-\cfrac{13}{12}\right)\\ &=&48a\times\left(-\cfrac{13}{12}\right)-60b\times\left(-\cfrac{13}{12}\right)\\ &=&-52a+65b\end{eqnarray*}

$15(3x-4y)-4(12x-16y)$

答え $-3x+4y$

\begin{eqnarray*} &&15(3x-4y)-4(12x-16y)\\ &=&45x-60y-48x+64y\\ &=&45x-48x-60y+64y\\ &=&-3x+4y \end{eqnarray*}

$-\cfrac{1}{3}(12a^2-18a)+\cfrac{3}{2}(2a^2+6a)$

答え $-a^2+15a$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{3}(12a^2-18a)+\cfrac{3}{2}(2a^2+6a)\\ &=&-4a^2+6a+3a^2+9a\\ &=&-4a^2+3a^2+6a+9a\\ &=&-a^2+15a \end{eqnarray*}

$\cfrac{2x-3y}{3}-\cfrac{16x-9y}{18}$

答え $\cfrac{-4x-9y}{18}\quad\left(-\cfrac{4x+9y}{18},-\cfrac{2}{9}x-\cfrac{1}{2}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x-3y}{3}-\cfrac{16x-9y}{18}\\ &=&\cfrac{6(2x-3y)-(16x-9y)}{18}\\ &=&\cfrac{12x-18y-16x+9y}{18}\\ &=&\cfrac{12x-16x-18y+9y}{18}\\ &=&\cfrac{-4x-9y}{18} \end{eqnarray*}

$-10xy\div25xy^2\times(-15xy)$

答え $6x$

\begin{eqnarray*} &&-10xy\div25xy^2\times(-15xy)\\ &=&\cfrac{10xy\times15xy}{25xyy}\\ &=&6x \end{eqnarray*}

$\cfrac{7}{6}a\div\cfrac{10}{3}a^2b\times\left(-\cfrac{15}{14}ab\right)$

答え $-\cfrac{3}{8}$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{7}{6}a\div\cfrac{10}{3}a^2b\times\left(-\cfrac{15}{14}ab\right)\\ &=&\cfrac{7a}{6}\times\cfrac{3}{10aab}\times\left(-\cfrac{15ab}{14}\right)\\ &=&-\cfrac{3}{8} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の方程式を解きなさい。

$\cfrac{1}{5}x=25$

答え $x=125$

\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{5}x&=&25 \quad(5を両辺にかける)\\ x&=&125 \end{eqnarray*}

$-0.2(3x-4)=0.4x+1$

答え $x=-\cfrac{1}{5}$

\begin{eqnarray*} -0.2(3x-4)&=&0.4x+1\quad(\times10)\\ -2(3x-4)&=&4x+10\\ -6x+8&=&4x+10 \\ -6x-4x&=&10-8\\ -10x&=&2\\ x&=&-\cfrac{2}{10}=-\cfrac{1}{5} \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} x-2y=-20\\ 2y=\cfrac{1}{3}x+8\\ \end{array}\right.$

答え $x=-18,y=1$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x-2y=-20\qquad…①\\ 2y=\cfrac{1}{3}x+8\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を①に代入する$ \begin{eqnarray*} x-\left(\cfrac{1}{3}x+8\right)&=&-20\\ x-\cfrac{1}{3}x-8&=&-20\quad(\times3)\\ 3x-x-24&=&-60\\ 3x-x&=&-60+24\\ 2x&=&-36\\ x&=&-18\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-18を&②&に代入\\ 2y&=&\cfrac{1}{3}\times(-18)+8\\ 2y&=&-6+8\\ 2y&=&2\\ y&=&1 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-18\\ y=1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 4x-5y=2\\ \cfrac{3}{7}x+\cfrac{5}{6}y=-8 \end{array}\right.$

答え $x=-7,y=-6$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x-5y=2\qquad…①\\ \cfrac{3}{7}x+\cfrac{5}{6}y=-8\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} ②の式の分母をはらう \begin{eqnarray*} \cfrac{3}{7}x+\cfrac{5}{6}y&=&-8\quad(\times42)\\ 18x+35y&=&-336\qquad…③ \end{eqnarray*} ①と③を連立させ、 加減法で $x$ の係数をそろえて消去する
$①\times7+③$ \begin{eqnarray*} 28x-35y=\phantom{-3}14\\ \underline{+) \quad 18x+35y=-336} \\ 46x\phantom{-335y}=-322\\ x=-\cfrac{322}{46}\\ x=-7\phantom{33} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-7を&①&に代入\\ 4\times(-7)+5y&=&2\\ -28+5y&=&2\\ -5y&=&2+28\\ -5y&=&30\\ y&=&-6 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-7\\ y=-6 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 4(x+y+1)=-(x+3y)+5\\ 10(x+y)=-11y-1 \end{array}\right.$

答え $x=\cfrac{4}{5},y=-\cfrac{3}{7}$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4(x+y+1)=-(x+3y)+5\qquad…①\\ 10(x+y)=-11y-1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} ①を整理
\begin{eqnarray*} \begin{array}{l} 4(x+y+1)&=&-(x+3y)+5\\ 4x+4y+4&=&-x-3y+5\\ 4x+4y+x+3y&=&5-4\\ 5x+7y&=&1\qquad…③ \end{array} \end{eqnarray*} ②を整理
\begin{eqnarray*} \begin{array}{l} 10(x+y)&=&-11y-1\\ 10x+10y&=&-11y-1\\ 10x+10y+11y&=&-1\\ 10x+21y&=&-1\qquad…④ \end{array} \end{eqnarray*} ③と④を連立方程式として、加減法で $x$ の係数をそろえて消去する
$③\times2-④$ \begin{eqnarray*} 10x+14y=\phantom{-}2\\ \underline{-) \quad 10x+21y=-1} \\ -7y=\phantom{-}3\\ y=-\cfrac{3}{7}\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-\cfrac{3}{7}を&③&に代入\\ 5x+7\times\left(-\cfrac{3}{7}\right)&=&1\\ 5x-3&=&1\\ 5x&=&1+3\\ 5x&=&4\\ x&=&\cfrac{4}{5} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\cfrac{4}{5}\\ y=-\cfrac{3}{7} \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

$x=\cfrac{9}{10},\ y=-\cfrac{10}{11}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad (3x-7y)-(-7x+4y)$

答え $19$

いきなり代入しても同じ答えがでますが、ちょっと損なやり方です。
文字のままやれるところまで計算して、それから代入したほうがラクです。
\begin{eqnarray*} &&(3x-7y)-(-7x+4y) \\ &=&3x-7y+7x-4y\\ &=&3x+7x-7y-4y\\ &=&10x-11y\\ &&x=\cfrac{9}{10},\ y=-\cfrac{10}{11} を代入\\ &=&10\times\cfrac{9}{10}-11\times\left(-\cfrac{10}{11}\right)\\ &=&9+10=19 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=-\cfrac{2}{13}$ のとき、 $y=6$ である。 $x=-\cfrac{26}{27}$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=\cfrac{81}{2}$

比例の式の形は $y=ax$ $$y=ax\ に\ x=-\cfrac{2}{13}, \ y=6\ を代入する\\ 6=-\cfrac{2}{13}a 左辺と右辺をとりかえる\\ -\cfrac{2}{13}a=6 両辺に \times13\\ -2a=78\\ a=-39\\ y=-39x\ に\ x=-\cfrac{27}{26}\ を代入する\\ y=-39\times\left(-\cfrac{27}{26}\right)=\cfrac{81}{2}$$

$y$ が $x$ に反比例し、 $x=\cfrac{1}{2}$ のとき、$y=-6$ である。 $x=-18$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=\cfrac{1}{6}$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x\times y=\cfrac{1}{2}\times(-6)=-3\\ y=-\cfrac{3}{x}\ に\ x=-18\ を代入する\\ y=-\cfrac{3}{-18}=\cfrac{1}{6}$$

次の式の項を答えなさい。また、何次式かを答えなさい。
$\qquad \cfrac{1}{3}x^2+2x-\cfrac{16}{3}$

答え $項…\cfrac{1}{3}x^2,\ 2x,\ -\cfrac{16}{3} \\2次式$

式の途中に $+$ や $-$ がでてきたら、その直前にスラッシュ(斜め線)をいれて、項にわけます。 それぞれの項の次数をみて、いちばん高いところの次数を答えます。 $$\cfrac{1}{3}x^2/+2x/-\cfrac{16}{3}$$ $\cfrac{1}{3}x^2$ は $2$ 次、$2x$ は $1$ 次です。なので、$2$ 次式と答えます。

次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
$10a-15b=-3\quad[b]$

答え $b=\cfrac{10a+3}{15}\left(\cfrac{2}{3}a+\cfrac{1}{5}も可\right)$

\begin{eqnarray*} 10a-15b&=&-3\\ -15b&=&-10a-3\quad両辺に \times(-1) \\ 15b&=&10a+3 \\ b&=&\cfrac{10a+3}{15} \end{eqnarray*}

次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
$y=\cfrac{9}{8}x-3\quad[x]$

答え $x=\cfrac{8y+24}{9}\left(\cfrac{8}{9}y+\cfrac{8}{3}も可\right)$

\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{9}{8}x-3\quad(両辺に\times8) \\ 8y&=&9x-24 \quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ 9x-24&=&8y \\ 9x&=&8y+24 \\ x&=&\cfrac{8y+24}{9} \end{eqnarray*}

奇数と奇数の和は偶数となることを説明しなさい。

説明

$2$つの奇数を $2m+1 \ ,2n+1$ とする。
ただし、$m \ ,n$ は整数とする。
\begin{eqnarray*} &&(2m+1)+(2n+1) \\ &=&2m+1+2n+1\\ &=&2m+2n+2\\ &=&2(m+n+1) \end{eqnarray*} $m \ ,n$ は整数だから、$2(m+n+1)$ は偶数である。
したがって、奇数と奇数の和は偶数である。

$9$ 人の生徒があるテストを受けた。 得点はそれぞれ、$83$ 点、$56$ 点、$77$ 点、$63$ 点、$58$ 点、$90$ 点、$66$ 点、$82$ 点、$72$ 点だった。 このときの中央値(メジアン)を求めなさい。

答え $72\ 点$

得点を低い順にならべると、
$$56,\ 58,\ 63,\ 66,\ 72,\ 77,\ 82,\ 83,\ 90$$ $9$ 人の中央値(メジアン)は $5$ 番目の得点だから、 $$72$$

$A$ 地点から $C$ 地点まで $75km$ の 道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは時速 $13km$ で進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは時速 $5km$ で 進んだところ、全部で $7$ 時間かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、 $B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。

答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$65km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$10km$

POINT

$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xkm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ykm$ とします。 文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $75km$ ですから、 $$x+y=75$$ $2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $7$ 時間で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、 $$\cfrac{x}{13}+\cfrac{y}{5}=7$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=75\quad…①\\ \cfrac{x}{13}+\cfrac{y}{5}=7\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \cfrac{x}{13}+\cfrac{y}{5}&=&7\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times65)}\\ 5x+13y&=&455\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$①\times5 \ - \ ③$ \begin{eqnarray*} 5x+\phantom{1}5y=\phantom{-}375\\ \underline{-) \quad 5x+13y=\phantom{-}455}\\ -8y=-\phantom{1}80\\ y=\phantom{-1}10 \end{eqnarray*} $y=10を①に代入$ \begin{eqnarray*} x+10&=&75\\ x&=&75-10\\ &=&65 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=65\\ y=10 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

ある学校の昨年度の生徒数は $620$ 人 だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $5$ %減り、女子は $10$ %増えたため、$634$ 人となった。 今年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

答え
男子…$304$ 人
女子…$330$ 人

POINT

今年度の男子女子をきかれていたとしても、昨年度の男子女子を $x, \ y$ にして 式をたてましょう
ということで、昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。 文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $620$ 人ですから、 $$x+y=620$$ $2$ つ目は、男子の $5$ %減と、女子の $10$ %増をあわせたら、全体としては $14$ 人増えている、 ということで式をたてます。 $$-\cfrac{5}{100}x+\cfrac{10}{100}y=14$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=620\quad…①\\ -\cfrac{5}{100}x+\cfrac{10}{100}y=14\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} -\cfrac{5}{100}x+\cfrac{10}{100}y&=&14\quad \class{mathbg-r}{(両辺に100をかける)}\\ \qquad-5x+10y&=&1400\quad \class{mathbg-r}{(両辺を5で割る)}\\ -x+2y&=&280\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ を消去します。

$①\ - \ ③$ \begin{eqnarray*} x+\phantom{2}y=620\\ \underline{+) \quad -x+2y=280}\\ 3y=900\\ y=300 \end{eqnarray*} 昨年度の女子生徒数を $y$ ということにして、$y$ が求められました。きかれているのは、今年度の男子と女子です。 女子は昨年度にくらべて、$10$ %増えているのですから、 $$300\times1.1=330$$ となって、今年度の女子生徒は $330$ 人です。
また、今年度の生徒数は全体で $634$ 人ですから、 $$634-330=304$$ となって、今年度の男子生徒は $304$ 人です。

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①-11②-\cfrac{3}{8}③-64④-a-24b⑤-\cfrac{9}{8}x+\cfrac{10}{9}y\\ ⑥20a-5b⑦-x^2+4x⑧-84x+105y\\ ⑨16a-6b⑩6x^2+x-4⑪-52a+65b\\ ⑫-3x+4y⑬-a^2+15a\\ ⑭\cfrac{-x-9y}{18}\quad\left(-\cfrac{4x+9y}{18},-\cfrac{2}{9}x-\cfrac{1}{2}yも可\right)\\ ⑮6x ⑯-\cfrac{3}{8}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①x=125②x=-\cfrac{1}{5}③x=-18, \ y=1\\ ④x=-7, \ y=-6⑤x=\cfrac{4}{5}, \ y=-\cfrac{3}{7}\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①19②y=\cfrac{81}{2}③y=\cfrac{1}{6}\\ ④項…\cfrac{1}{3}x^2, \ 2x, \ -\cfrac{16}{3},2次式\\ ⑤b=\cfrac{10a+3}{15}\quad\left(\cfrac{2}{3}a+\cfrac{1}{5}も可\right)\\ ⑥x=\cfrac{8y+24}{9}\quad\left(\cfrac{8}{9}y+\cfrac{8}{3}も可\right)\\ ⑥2つの奇数を 2m+1 \ ,2n+1 とする。\\ ただし、m \ ,n は整数とする。\\ \begin{eqnarray*} &&(2m+1)+(2n+1) \\ &=&2m+1+2n+1 \\ &=&2m+2n+2 \\ &=&2(m+n+1) \end{eqnarray*}\\ m \ ,n は整数だから、2(m+n+1) は偶数である。\\ したがって、奇数と奇数の和は偶数である。\\ ⑧72⑨A~B…65km,B~C…10km\\ ⑩男子304人,女子330人 $

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