才塾 定期テスト対策

中2数学 1学期の計算 第16回 全31問

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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$8-4\times3$

答え $-4$

\begin{eqnarray*} &&8-4\times3\\ &=&8-12\\ &=&-4 \end{eqnarray*}

$\cfrac{5}{3}-2+\cfrac{1}{4}$

答え $-\cfrac{1}{12}$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{5}{3}-2+\cfrac{1}{4}\\ &=&\cfrac{20}{12}-\cfrac{24}{12}+\cfrac{3}{12}\\ &=&-\cfrac{1}{12} \end{eqnarray*}

$(-1)^{100}\times(-1)^{101}$

答え $-1$

\begin{eqnarray*} &&(-1)^{100}\times(-1)^{101}\\ &=&1\times(-1)\\ &=&-1 \end{eqnarray*}

$17x-18y-25x-26y$

答え $-8x-44y$

\begin{eqnarray*} &&17x-18y-25x-26y\\ &=&17x-25x-18y-26y\\ &=&-8x-44y \end{eqnarray*}

$-\cfrac{1}{10}a-b-a+\cfrac{1}{12}b$

答え $-\cfrac{11}{10}a-\cfrac{11}{12}b$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{10}a-b-a+\cfrac{1}{12}b\\ &=&-\cfrac{1}{10}a-a-b+\cfrac{1}{12}b\\ &=&-\cfrac{1}{10}a-\cfrac{10}{10}a-\cfrac{12}{12}b+\cfrac{1}{12}b\\ &=&-\cfrac{11}{10}a-\cfrac{11}{12}b \end{eqnarray*}

$(x-y)+(x+y)$

答え $2x$

\begin{eqnarray*} &&(x-y)+(x+y)\\ &=&x-y+x+y\\ &=&x+x-y+y\\ &=&2x \end{eqnarray*}

$(2a^2+a)-(3a^2-a)$

答え $-a^2+2a$

\begin{eqnarray*} &&(2a^2+a)-(3a^2-a)\\ &=&2a^2+a-3a^2+a\\ &=&2a^2-3a^2+a+a\\ &=&-a^2+2a \end{eqnarray*}

$-25(4x-8y)$

答え $-100x+200y$

$25\left(\cfrac{1}{100}a-\cfrac{1}{200}b\right)$

答え $\cfrac{1}{4}a-\cfrac{1}{8}b$

\begin{eqnarray*} &&25\left(\cfrac{1}{100}a-\cfrac{1}{200}b\right)\\ &=&25\times\cfrac{1}{100}a+25\times\left(-\cfrac{1}{200}b\right)\\ &=&\cfrac{1}{4}a-\cfrac{1}{8}b \end{eqnarray*}

$(10000x^2-200x+1)\div(-100)$

答え $-100x^2+2x-\cfrac{1}{100}$

$(45a-60b)\div\left(-\cfrac{15}{16}\right)$

答え $-48a+64b$

\begin{eqnarray*} &&(45a-60b)\div\left(-\cfrac{15}{16}\right)\\ &=&(45a-60b)\times\left(-\cfrac{16}{15}\right)\\ &=&45a\times\left(-\cfrac{16}{15}\right)-60b\times\left(-\cfrac{16}{15}\right)\\ &=&-48a+64b\end{eqnarray*}

$25(4x-8y)-15(8x-15y)$

答え $-20x+25y$

\begin{eqnarray*} &&25(4x-8y)-15(8x-15y)\\ &=&100x-200y-120x+225y\\ &=&100x-120x-200y+225y\\ &=&-20x+25y \end{eqnarray*}

$-\cfrac{1}{25}(100a^2-200a)+\cfrac{1}{2}(4a^2+8a)$

答え $-2a^2+12a$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{25}(100a^2-200a)+\cfrac{1}{2}(4a^2+8a)\\ &=&-4a^2+8a+2a^2+4a\\ &=&-4a^2+2a^2+8a+4a\\ &=&-2a^2+12a \end{eqnarray*}

$a-b-\cfrac{16a-9b}{15}$

答え $\cfrac{-a-6b}{15}\quad\left(-\cfrac{-a+6b}{15},-\cfrac{1}{15}a-\cfrac{2}{5}bも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&a-b-\cfrac{16a-9b}{15}\\ &=&\cfrac{15(a-b)-(16a-9b)}{15}\\ &=&\cfrac{15a-15b-16a+9b}{15}\\ &=&\cfrac{15a-16a-15b+9b}{15}\\ &=&\cfrac{-a-6b}{15} \end{eqnarray*}

$-22xy\div121x^2y^2\times(-44xy)$

答え $8$

\begin{eqnarray*} &&-22xy\div121x^2y^2\times(-44xy)\\ &=&\cfrac{22xy\times44xy}{121xxyy}\\ &=&8 \end{eqnarray*}

$\cfrac{13}{10}a^2\div\cfrac{26}{15}a^3b\times\left(-\cfrac{4}{9}a^2b\right)$

答え $-\cfrac{1}{3}a$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{13}{10}a^2\div\cfrac{26}{15}a^3b\times\left(-\cfrac{4}{9}a^2b\right)\\ &=&\cfrac{13aa}{10}\times\cfrac{15}{26aaab}\times\left(-\cfrac{4aab}{9}\right)\\ &=&-\cfrac{1}{3}a \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の方程式を解きなさい。

$\cfrac{1}{10}x=30$

答え $x=300$

\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{10}x&=&30 \quad(10を両辺にかける)\\ x&=&300 \end{eqnarray*}

$-0.3(2x-7)=0.3x+2$

答え $x=\cfrac{1}{9}$

\begin{eqnarray*} -0.3(2x-7)&=&0.3x+2\quad(\times10)\\ -3(2x-7)&=&3x+20\\ -6x+21&=&3x+20 \\ -6x-3x&=&20-21\\ -9x&=&-1\\ x&=&\cfrac{1}{9} \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 5x-9y=-13\\ 9y=-x+1\\ \end{array}\right.$

答え $x=-2,y=\cfrac{1}{3}$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 5x-9y=-13\qquad…①\\ 9y=-x+1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を①に代入する$ \begin{eqnarray*} 5x-\left(-x+1\right)&=&-13\\ 5x+x-1&=&-13\\ 5x+x&=&-13+1\\ 6x&=&-12\\ x&=&-2\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-2を&②&に代入\\ 9y&=&-(-2)+1\\ 9y&=&2+1\\ 9y&=&3\\ y&=&\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=\cfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 4x+5y=-23\\ \cfrac{5}{3}x+\cfrac{3}{7}y=2 \end{array}\right.$

答え $x=3,y=-7$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x+5y=-23\qquad…①\\ \cfrac{5}{3}x+\cfrac{3}{7}y=2\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} ②の式の分母をはらう \begin{eqnarray*} \cfrac{5}{3}x+\cfrac{3}{7}y&=&2\quad(\times21)\\ 35x+9y&=&42\qquad…③ \end{eqnarray*} ①と③を連立させ、 加減法で $y$ の係数をそろえて消去する
$①\times9-③\times5$ \begin{eqnarray*} 36x+45y=-207\\ \underline{-) \quad 175x+45y=\phantom{-}210} \\ -139x\phantom{-335y}=-417\\ x\phantom{-335y}=\cfrac{417}{139}\phantom{1}\\ x\phantom{-335y}=3\phantom{-33} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=3を&①&に代入\\ 4\times3+5y&=&-23\\ 12+5y&=&-23\\ 5y&=&-23-12\\ 5y&=&-35\\ y&=&-7 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-7 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$ 4x-3y=5x+2y+11=25 $

答え $x=4,y=-3$

$4x-3y=5x+2y+11=25$ のまんなかを隠した式をつくり、①とする。
左側を隠した式をつくり、②とする。
①と②を連立方程式として解く。 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x-3y=25\qquad…①\\ 5x+2y+11=25\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 5x+2y+11&=&25\\ 5x+2y&=&25-11\\ 5x+2y&=&14\qquad…③ \end{eqnarray*} 加減法で、①と③の $y$ の係数をそろえて解く。
$①\times2+③\times3$ \begin{eqnarray*} \phantom{1}8x-6y=50\\ \underline{+) \quad 15x+6y=42} \\ 23x\phantom{-14y}=92\\ x=4\phantom{9}\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=4を①に代入\\ 4\times4-3y&=&25\\ 16-3y&=&25\\ -3y&=&25-16\\ -3y&=&9\\ y&=&-3 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ y=-3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

$X=-\cfrac{1}{3}x+y,\ Y=2x-\cfrac{2}{5}y$ として、次の式を計算しなさい。
$\qquad -2(X-Y)-4(X-2Y)$

答え $22x-10y$

いきなり代入しても同じ答えがでますが、ちょっと損なやり方です。
文字のままやれるところまで計算して、それから代入したほうがラクです。
\begin{eqnarray*} &&-2(X-Y)-4(X-2Y) \\ &=&-2X+2Y-4X+8Y\\ &=&-2X-4X+2Y+8Y\\ &=&-6X+10Y\\ &&X=-\cfrac{1}{3}x+y,\ Y=2x-\cfrac{2}{5}y を代入\\ &=&-6\left(-\cfrac{1}{3}x+y\right)+10\left(2x-\cfrac{2}{5}y\right)\\ &=&2x-6y+20x-4y\\ &=&2x+20x-6y-4y\\ &=&22x-10y \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=-\cfrac{3}{4}$ のとき、 $y=-\cfrac{1}{6}$ である。 $x=-\cfrac{15}{2}$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{5}{3}$

比例の式の形は $y=ax$ $$y=ax\ に\ x=-\cfrac{3}{4}, \ y=-\cfrac{1}{6}\ を代入する\\ -\cfrac{1}{6}=-\cfrac{3}{4}a 左辺と右辺をとりかえる\\ -\cfrac{3}{4}a=-\cfrac{1}{6} 両辺に \times12\\ -9a=-2\\ a=\cfrac{2}{9}\\ y=\cfrac{2}{9}x\ に\ x=-\cfrac{15}{2}\ を代入する\\ y=\cfrac{2}{9}\times\left(-\cfrac{15}{2}\right)=-\cfrac{5}{3}$$

$y$ が $x$ に反比例し、 $x=\cfrac{4}{3}$ のとき、$y=-9$ である。 $x=-6$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=2$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x\times y=\cfrac{4}{3}\times(-9)=-12\\ y=-\cfrac{12}{x}\ に\ x=-6\ を代入する\\ y=-\cfrac{12}{-6}=2$$

次の式の項を答えなさい。また、何次式かを答えなさい。
$\qquad 2x^2y^2+2xy+\cfrac{1}{2}$

答え $項…2x^2y^2,\ 2xy,\ \cfrac{1}{2} \\4次式$

式の途中に $+$ や $-$ がでてきたら、その直前にスラッシュ(斜め線)をいれて、項にわけます。 それぞれの項の次数をみて、いちばん高いところの次数を答えます。 $$2x^2y^2/+2xy/+\cfrac{1}{2}$$ $2x^2y^2$ は $4$ 次、$2xy$ は $2$ 次です。なので、$4$ 次式と答えます。

次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
$-6b=3a-10\quad[b]$

答え $b=\cfrac{-3a+10}{6}\left(-\cfrac{3a-10}{6},-\cfrac{1}{2}a+\cfrac{5}{3}も可\right)$

\begin{eqnarray*} -6b&=&3a-10\quad両辺に \times(-1) \\ 6b&=&-3a+10 \\ b&=&\cfrac{-3a+10}{6} \end{eqnarray*}

次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
$y=-\cfrac{7}{10}x-21\quad[x]$

答え $x=\cfrac{-10y-210}{7}\left(-\cfrac{10y+210}{7},-\cfrac{10}{7}y-30も可\right)$

\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{7}{10}x-21\quad(両辺に\times10) \\ 10y&=&-7x-210 \\ 7x&=&-10y-210 \\ x&=&\cfrac{-10y-210}{7} \end{eqnarray*}

偶数と奇数の和は奇数となることを説明しなさい。

説明

偶数を $2m,$ 奇数を $2n+1$ とする。
ただし、$m \ ,n$ は整数とする。
\begin{eqnarray*} &&2m+2n+1 \\ &=&2(m+n)+1 \end{eqnarray*} $m \ ,n$ は整数だから、$2(m+n)+1$ は奇数である。
したがって、偶数と奇数の和は奇数である。

$10$ 人の生徒があるテストを受けた。 得点はそれぞれ、$295$ 点、$279$ 点、$233$ 点、$409$ 点、$427$ 点、$269$ 点、$334$ 点、$318$ 点、$293$ 点、$356$ 点だった。 このときの中央値(メジアン)を求めなさい。

答え $306.5\ 点$

得点を低い順にならべると、
$$233,\ 269,\ 279,\ 293,\ 295,\ 318,\ 334,\ 356,\ 409,\ 427$$ $10$ 人の中央値(メジアン)は $5$ 番目と $6$ 番目の平均だから、 $$(295+318)\div2=306.5$$

$A$ 地点から $C$ 地点まで $360km$ の 道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは時速 $70km$ で進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは時速 $90km$ で 進んだところ、全部で $4$ 時間 $40$ 分かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、 $B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。

答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$210km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$150km$

POINT

$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xkm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ykm$ とします。 文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $360km$ ですから、 $$x+y=360$$ $2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $4$ 時間 $40$ 分で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、 $$\cfrac{x}{70}+\cfrac{y}{90}=4\cfrac{40}{60}$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=360\quad…①\\ \cfrac{x}{70}+\cfrac{y}{90}=4\cfrac{40}{60}\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}

②の帯分数を仮分数にし、分母をはらう
\begin{eqnarray*} \cfrac{x}{70}+\cfrac{y}{90}&=&4\cfrac{40}{60}\\ \cfrac{x}{70}+\cfrac{y}{90}&=&\cfrac{280}{60}\quad \class{mathbg-r}{(約分する)}\\ \cfrac{x}{70}+\cfrac{y}{90}&=&\cfrac{14}{3}\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times630)}\\ 9x+7y&=&2940\quad…③ \end{eqnarray*}

加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times7 \ - \ ③$ \begin{eqnarray*} 7x+7y=\phantom{-}2520\\ \underline{-) \quad 9x+7y=\phantom{-}2940}\\ -2x\phantom{+17y}=-\phantom{1}420\\ x\phantom{+17y}=\phantom{-1}210 \end{eqnarray*} $x=210$ を①に代入 \begin{eqnarray*} 210+y&=&360\\ y&=&360-210\\ &=&150 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=210\\ y=150 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

ある学校の昨年度の生徒数は $555$ 人 だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $4$ %減り、女子も $5$ %減ったため、$530$ 人となった。 今年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

答え
男子…$264$ 人
女子…$266$ 人

POINT

今年度の男子女子をきかれていたとしても、昨年度の男子女子を $x, \ y$ にして 式をたてましょう
ということで、昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。 文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $555$ 人ですから、 $$x+y=555$$ $2$ つ目は、男子の $4$ %減と、女子の $5$ %減をあわせたら、全体としては $25$ 人減っている、 ということで式をたてます。 $$-\cfrac{4}{100}x-\cfrac{5}{100}y=-25$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=555\quad…①\\ -\cfrac{4}{100}x-\cfrac{5}{100}y=-25\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} -\cfrac{4}{100}x-\cfrac{5}{100}y&=&-25\quad \class{mathbg-r}{(両辺に100をかける)}\\ \qquad-4x-5y&=&-2500\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ を消去します。

$①\times4\ + \ ③$ \begin{eqnarray*} 4x+4y=\phantom{-}2220\\ \underline{+) \quad -4x-5y=-2500}\\ -y=\phantom{1}-280\\ y=\phantom{-1}280 \end{eqnarray*} 昨年度の女子生徒数を $y$ ということにして、$y$ が求められました。きかれているのは、今年度の男子と女子です。 女子は昨年度にくらべて、$5$ %減っているのですから、 $$280\times0.95=266$$ となって、今年度の女子生徒は $266$ 人です。
また、今年度の生徒数は全体で $530$ 人ですから、 $$530-266=264$$ となって、今年度の男子生徒は $264$ 人です。

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①-4②-\cfrac{1}{12}③-1④-8x-44y⑤-\cfrac{11}{10}a+\cfrac{11}{12}b\\ ⑥2x⑦-a^2+2a⑧-100x+200y\\ ⑨-\cfrac{1}{4}a-\cfrac{1}{8}b⑩-100x^2+2x-\cfrac{1}{100}⑪-48a+64b\\ ⑫-20x+25y⑬-2a^2+12a\\ ⑭\cfrac{-a-6b}{15}\quad\left(-\cfrac{-a+6b}{15},-\cfrac{1}{15}a-\cfrac{2}{5}bも可\right)\\ ⑮8 ⑯-\cfrac{1}{3}a\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①x=300②x=\cfrac{1}{9}③x=-2, \ y=\cfrac{1}{3}\\ ④x=3, \ y=-7⑤x=4, \ y=-3\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①22x-10y②y=-\cfrac{5}{3}③y=2\\ ④項…2x^2y^2, \ 2xy, \ \cfrac{1}{2},4次式\\ ⑤b=\cfrac{-3a+10}{6}\quad\left(-\cfrac{3a-10}{6},-\cfrac{1}{2}a+\cfrac{5}{3}も可\right)\\ ⑥x=\cfrac{-10y-210}{7}\quad\left(-\cfrac{-10y+210}{7},-\cfrac{10}{7}y-30も可\right)\\ ⑥偶数を 2m \ , 奇数を 2n+1 とする。\\ ただし、m \ ,n は整数とする。\\ \begin{eqnarray*} &&2m+2n+1 \\ &=&2(m+n)+1 \end{eqnarray*}\\ m \ ,n は整数だから、2(m+n)+1 は奇数である。\\ したがって、偶数と奇数の和は奇数である。\\ ⑧306.5⑨A~B…210km,B~C…150km\\ ⑩男子264人,女子266人 $

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