中3数学 2学期の計算 第13回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-15+9\div(-3)$
答え $-18$
\begin{eqnarray*} &&-15+9\div(-3)\\ &=&-15-3\\ &=&-18 \end{eqnarray*}② $-1^2\times8+(-6)^2\div(-9)$
答え $-12$
\begin{eqnarray*} &&-1^2\times8+(-6)^2\div(-9)\\ &=&-1\times8+36\div(-9)\\ &=&-8-4\\ &=&-12 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{5}{4}+\cfrac{7}{12}\div\left(-\cfrac{14}{15}\right)$
答え $\cfrac{5}{8}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{5}{4}+\cfrac{7}{12}\div\left(-\cfrac{14}{15}\right)\\ &=&\cfrac{5}{4}+\cfrac{7}{12}\times\left(-\cfrac{15}{14}\right)\\ &=&\cfrac{5}{4}-\cfrac{5}{8}\\ &=&\cfrac{10}{8}-\cfrac{5}{8}\\ &=&\cfrac{5}{8} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{2}{3}(6x-18)-\cfrac{5}{6}(12x-24)$
答え $-6x+8$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{3}(6x-18)-\cfrac{5}{6}(12x-24)\\ &=&4x-12-10x+20\\ &=&-6x+8 \end{eqnarray*}⑤ $(16x^2y-28xy^2)\div\left(-\cfrac{4}{3}xy\right)$
答え $-12x+21y$
\begin{eqnarray*} &&(16x^2y-28xy^2)\div\left(-\cfrac{4}{3}xy\right)\\ &=&(16x^2y-28xy^2)\times\left(-\cfrac{3}{4xy}\right)\\ &=&16x^2y\times\left(-\cfrac{3}{4xy}\right)-28xy^2\times\left(-\cfrac{3}{4xy}\right)\\ &=&-12x+21y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{x-2y}{3}-\cfrac{4x+3y}{9}$
答え $\cfrac{-x-9y}{9}\\\quad\left(-\cfrac{x+9y}{9},-\cfrac{1}{9}x-yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-2y}{3}-\cfrac{4x+3y}{9}\\ &=&\cfrac{3(x-2y)-(4x+3y)}{9}\\ &=&\cfrac{3x-6y-4x-3y}{9}\\ &=&\cfrac{-x-9y}{9} \end{eqnarray*}⑦ $(x-3)(x+7)$
答え $x^2+4x-21$
⑧ $\left(\cfrac{1}{10}x-\cfrac{1}{20}y\right)^2$
答え $\cfrac{1}{100}x^2-\cfrac{1}{100}xy+\cfrac{1}{400}y^2$
⑨ $\left(0.1a+0.3b\right)\left(0.1a-0.3b\right)$
答え $0.01a^2-0.09b^2$
⑩ $-2(3x+1)^2+3(x+2)(4x-1)$
答え $-6x^2+9x-8$
\begin{eqnarray*} &&-2(3x+1)^2+3(x+2)(4x-1)\\ &=&-2(9x^2+6x+1)+3(4x^2-x+8x-2)\\ &=&-18x^2-12x-2+3(4x^2+7x-2)\\ &=&-18x^2-12x-2+12x^2+21x-6\\ &=&-6x^2+9x-8 \end{eqnarray*}⑪ $9\sqrt{3}\div\sqrt{6}-\sqrt{10}\times\sqrt{5}$
答え $-\cfrac{\sqrt{2}}{2}$
\begin{eqnarray*} &&9\sqrt{3}\div\sqrt{6}-\sqrt{10}\times\sqrt{5}\\ &=&\cfrac{9\sqrt{3}}{\sqrt{6}}-\sqrt{50}\\ &=&\cfrac{9}{\sqrt{2}}-5\sqrt{2}\\ &=&\cfrac{9\sqrt{2}}{2}-\cfrac{10\sqrt{2}}{2}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}⑫ $-7\sqrt{8}\div(-14\sqrt{32})\times3\sqrt{18}$
答え $\cfrac{9\sqrt{2}}{4}$
\begin{eqnarray*} &&-7\sqrt{8}\div(-14\sqrt{32})\times3\sqrt{18}\\ &=&\cfrac{7\sqrt{8}\times3\sqrt{18}}{14\sqrt{32}}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{9}}{2\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{9}{2\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{9\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}⑬ $\left(2\sqrt{6}-3\sqrt{3}\right)^2$
答え $51-36\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(2\sqrt{6}-3\sqrt{3}\right)^2\\ &=&24-12\sqrt{18}+27\\ &=&51-36\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $51p^2q-34pq^2$
答え $17pq(3p-2q)$
② $x^2+17x-38$
答え $(x+19)(x-2)$
③ $\cfrac{9}{16}x^2-\cfrac{3}{5}xy+\cfrac{4}{25}y^2$
答え $\left(\cfrac{3}{4}x-\cfrac{2}{5}y\right)^2$
④ $289a^2-256b^2$
答え $\left(17a+16b\right)\left(17a-16b\right)$
⑤ $(x+y)^2-4(x+y)+4$
答え $(x+y-2)^2$
\begin{eqnarray*} &&(x+y)^2-4(x+y)+4\\ &&(x+y)=Aとする\\ &=&A^2-4A+4\\ &=&(A-2)^2\\ &=&(x+y-2)^2 \end{eqnarray*}① $-\cfrac{x+3}{4}=-\cfrac{3x+1}{2}+1$
答え $x=1$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{x+3}{4}&=&-\cfrac{3x+1}{2}+1\quad(\times4) \\ -x-3&=&-6x-2+4 \\ -x+6x&=&-2+4+3\\ 5x&=&5 \\ x&=&1 \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 0.3x+0.2y=-1.9\\ 4(x+y)=y-17 \end{array}\right.$
答え $x=-23,y=25$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.3x+0.2y=-1.9\qquad…①\\ 4(x+y)=y-17\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times10$ \begin{eqnarray*} 0.3x+0.2y&=&-1.9\quad(\times10)\\ 3x+2y&=&-19\qquad…③ \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 4(x+y)&=&y-17\\ 4x+4y&=&y-17\\ 4x+3y&=&-17\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times3-④\times2$ \begin{eqnarray*} 9x+6y=-57\\ \underline{-) \quad 8x+6y=-34} \\ x\phantom{+12y}=-23 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-23を③に代入\\ 3\times(-23)+2y&=&-19\\ -69+2y&=&-19\\ 2y&=&-19+69\\ 2y&=&50\\ y&=&25\\ \left\{ \begin{array}{l} x=-23\\ y=25 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2-20x+100=4$
答え $x=12 ,\ x=8$
\begin{eqnarray*} x^2-20x+100&=&4\\ x^2-20x+100-4&=&0\\ x^2-20x+96&=&0 \\ (x-12)(x-8)&=&0\\ x&=&12,\ x=8 \end{eqnarray*} ＜別なやりかた＞ \begin{eqnarray*} x^2-20x+100&=&4\\ (x-10)^2&=&4\\ x-10&=&\pm\sqrt{4}=\pm2 \\ x&=&10\pm2\\ x&=&12,\ x=8 \end{eqnarray*}④ $\cfrac{7}{12}x^2-3=0$
答え $x=\pm\cfrac{7\sqrt{6}}{7}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{7}{12}x^2-3&=&0 \quad\left(両辺に\times12\right)\\ 7x^2-36&=&0 \\ 7x^2&=&36\\ x^2&=&\cfrac{36}{7}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{36}{7}}=\pm\cfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{7}}=\pm\cfrac{6\sqrt{7}}{7} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{7}{12}x^2-3x=0$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{36}{7}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{7}{12}x^2-3x&=&0\qquad\left(両辺に\times12\right)\\ 7x^2-36x&=&0\\ x(7x-36)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=\cfrac{36}{7} \end{eqnarray*}⑥ $9.8x^2-16.8x+7.2=0$
答え $x=\cfrac{6}{7}$
\begin{eqnarray*} 9.8x^2-16.8x+7.2&=&0\quad\left(両辺に\times10\right)\\ 98x^2-168x+72&=&0\quad\left(両辺を2で割る\right)\\ 49x^2-84x+36&=&0\\ (7x-6)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{6}{7} \end{eqnarray*}⑦ $4(x-1)^2-36=0$
答え $x=4, \ x=-2$
\begin{eqnarray*} 4(x-1)^2-36&=&0\\ 4(x-1)^2&=&36\\ (x-1)^2&=&9\\ x-1&=&\pm\sqrt{9}=\pm3\\ x&=&1\pm3\\ x&=&4, \ x=-2 \end{eqnarray*}⑧ $\cfrac{7}{12}x^2-3x+3=0$
答え $x=\cfrac{-7\pm12\sqrt{2}}{14}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{7}{12}x^2&-&3x+3=0\quad\left(両辺に\times12\right)\\ 7x^2&-&36x+36=0\\ x&=&\cfrac{36\pm\sqrt{(-36)^2-4\times7\times36}}{2\times7}\\ &=&\cfrac{36\pm\sqrt{1296-1008}}{14}\\ &=&\cfrac{36\pm\sqrt{288}}{14}\\ &=&\cfrac{36\pm12\sqrt{2}}{14}\\ &=&\cfrac{18\pm6\sqrt{2}}{7} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=-\cfrac{5x-4}{10}\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-10y+4}{5}\\\left(x=-\cfrac{10y-4}{5},-2y+\cfrac{4}{5}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{5x-4}{10}\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ -\cfrac{5x-4}{10}&=&y\quad(両辺に\times10)\\ -5x+4&=&10y\quad(両辺に\times-1)\\ 5x-4&=&-10y\\ 5x&=&-10y+4\\ x&=&\cfrac{-10y+4}{5} \end{eqnarray*}$x=4+3\sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$6x^2-48x+96$
答え $270$
\begin{eqnarray*} &&6x^2-48x+96\\ &=&6(x^2-8x+16)\\ &=&6(x-4)^2\\ &=&6(4+3\sqrt{5}-4)^2\\ &=&6(3\sqrt{5})^2\\ &=&6\times45\\ &=&270 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&6x^2-48x+96\\ &=&6(4+3\sqrt{5})^2-48(4+3\sqrt{5})+96\\ &=&6(16+24\sqrt{5}+45)-192-144\sqrt{5}+96\\ &=&6(61+24\sqrt{5})-192-144\sqrt{5}+96\\ &=&366+144\sqrt{5}-192-144\sqrt{5}+96\\ &=&270 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-3$ のとき、$y=-6$ である。$x=4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=8$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-6}{-3}=2\\ y=2xに\ x=4\ を代入する\\ y=2\times4=8$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=6$ のとき、$y=-3$ である。$x=-4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{9}{2}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=6\times(-3)=-18\\ y=-\cfrac{18}{x}\ に\ x=-4\ を代入する\\ y=-\cfrac{18}{-4}=\cfrac{9}{2}$$⑤ $2$ 点 $(-12, \ -7), \ (4, \ 5)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{3}{4}x+2$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{5-(-7)}{4-(-12)}=\cfrac{12}{16}=\cfrac{3}{4}\\ \\ y&=&\cfrac{3}{4}x+bに x=4, \ y=5 を代入する\\ 5&=&\cfrac{3}{4}\times4+b\\ 5&=&3+b\\ 2&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-3$ のとき、$y=\cfrac{3}{2}$ である。$x=-4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{8}{3}$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ \begin{eqnarray*} y&=&ax^2に\ x=-3, \ y=\cfrac{3}{2}\ を代入する\\ \cfrac{3}{2}&=&a\times(-3)^2\\ \cfrac{3}{2}&=&9a\quad(両辺に\times2)\\ 3&=&18a\\ \cfrac{1}{6}&=&a\\ \\ y&=&\cfrac{1}{6}x^2 \ に \ x=-4 \ を代入する\\ y&=&\cfrac{1}{6}\times(-4)^2=\cfrac{8}{3} \end{eqnarray*}⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=-\cfrac{7}{6}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(-3, \ -\cfrac{21}{2}\right)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P\left(2, \ -\cfrac{14}{3}\right)$ だから、 \begin{eqnarray*} y=ax^2&に&\ x=2, \ y=-\cfrac{14}{3}\ を代入する\\ -\cfrac{14}{3}&=&a\times2^2\\ -\cfrac{14}{3}&=&4a\quad(両辺に\times3)\\ -14&=&12a\\ -\cfrac{14}{12}&=&a\\ -\cfrac{7}{6}&=&a\\ \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $-3$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=-\cfrac{7}{6}x^2$ に $x=-3$ を代入
$ y=-\cfrac{7}{6}\times(-3)^2=-\cfrac{21}{2} $
⑧ $1$ 枚の硬貨を $3$ 回投げるとき、$2$ 枚が表、$1$ 枚が裏である確率を求めなさい。
⑨ 袋の中に赤玉が $2$ 個と白玉が $3$ 個はいっている。袋の中から玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す。このとき、取り出した玉の少なくとも $1$ 個が白玉である確率を求めなさい。
答え $\cfrac{21}{25}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②が赤玉、③と④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す」ときは、同じ玉を取り出せるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところ。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-18②-12③\cfrac{5}{8}④-6x+8 ⑤-12x+21y\\ ⑥\cfrac{-x-9y}{9}\quad\left(-\cfrac{x+9y}{9},-\cfrac{1}{9}x-yも可\right)\\ ⑦x^2+4x-21 ⑧\cfrac{1}{100}x^2-\cfrac{1}{100}xy+\cfrac{1}{400}y^2\\ ⑨0.01a^2-0.09b^2 ⑩-6x^2+9x-8\\ ⑪-\cfrac{\sqrt{2}}{2}⑫\cfrac{9\sqrt{2}}{4}⑬51-36\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①17pq(3p-2q)②(x+19)(x-2)\\ ③\left(\cfrac{3}{4}x-\cfrac{2}{5}y\right)^2④\left(17a+16b\right)\left(17a-16b\right)\\ ⑤(x+y-2)^2\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=1②x=-23,y=25\\ ③x=12,x=8④x=\pm\cfrac{6\sqrt{7}}{7}⑤x=0,x=\cfrac{36}{7}\\ ⑥x=\cfrac{6}{7}⑦x=4,x=-2⑧x=\cfrac{18\pm6\sqrt{2}}{7}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-10y+4}{5}\left(x=-\cfrac{10y-4}{5},-2y+\cfrac{4}{5}も可\right)\\ ②270③y=8④y=\cfrac{9}{2} ⑤y=\cfrac{3}{4}x+2⑥y=\cfrac{8}{3}\\ ⑦放物線…y=-\cfrac{7}{6}x^2，Ｑの座標\left(-3,-\cfrac{21}{2}\right)\\ ⑧\cfrac{3}{8}⑨\cfrac{21}{25} $