才塾 定期テスト対策

中3数学 2学期の計算 第16回 全35問

16


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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。

問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$15-25\div5$

答え $10$

\begin{eqnarray*} &&15-25\div5\\ &=&15-5\\ &=&10 \end{eqnarray*}

$(-3^2)\times(-2)+(-6)^2\div(-9)$

答え $14$

\begin{eqnarray*} &&(-3^2)\times(-2)+(-6)^2\div(-9)\\ &=&-9\times(-2)+36\div(-9)\\ &=&18-4\\ &=&14 \end{eqnarray*}

$\cfrac{1}{10}+\cfrac{4}{21}\div\left(-\cfrac{12}{7}\right)$

答え $-\cfrac{1}{90}$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{10}+\cfrac{4}{21}\div\left(-\cfrac{12}{7}\right)\\ &=&\cfrac{1}{10}+\cfrac{4}{21}\times\left(-\cfrac{7}{12}\right)\\ &=&\cfrac{1}{10}-\cfrac{1}{9}\\ &=&\cfrac{9}{90}-\cfrac{10}{90}\\ &=&-\cfrac{1}{90} \end{eqnarray*}

$\cfrac{2}{11}(44x-121)-\cfrac{2}{13}(26x-169)$

答え $4x+4$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{11}(44x-121)-\cfrac{2}{13}(26x-169)\\ &=&8x-22-4x+26\\ &=&4x+4 \end{eqnarray*}

$(25x^2y+15xy^2)\div\left(-\cfrac{5}{3}xy\right)$

答え $-15x-9y$

\begin{eqnarray*} &&(25x^2y+15xy^2)\div\left(-\cfrac{5}{3}xy\right)\\ &=&(25x^2y+15xy^2)\times\left(-\cfrac{3}{5xy}\right)\\ &=&25x^2y\times\left(-\cfrac{3}{5xy}\right)+15xy^2\times\left(-\cfrac{3}{5xy}\right)\\ &=&-15x-9y \end{eqnarray*}

$\cfrac{x+3y}{3}-\cfrac{x+y}{2}$

答え $\cfrac{-x+3y}{6}\\\quad\left(-\cfrac{x-3y}{6},-\cfrac{1}{6}x+\cfrac{1}{2}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x+3y}{3}-\cfrac{x+y}{2}\\ &=&\cfrac{2(x+3y)-3(x+y)}{6}\\ &=&\cfrac{2x+6y-3x-3y}{6}\\ &=&\cfrac{-x+3y}{6} \end{eqnarray*}

$(x-7)(x+5)$

答え $x^2-2x-35$

$\left(\cfrac{2}{5}x-\cfrac{5}{6}y\right)^2$

答え $\cfrac{4}{25}x^2-\cfrac{2}{3}xy+\cfrac{25}{36}y^2$

$\left(0.1a+b\right)\left(0.1a-b\right)$

答え $0.01a^2-b^2$

$-(x+1)(x+2)-(x+3)(x-4)$

答え $-2x^2-2x+10$

\begin{eqnarray*} &&-(x+1)(x+2)-(x+3)(x-4)\\ &=&-(x^2+3x+2)-(x^2-x-12)\\ &=&-x^2-3x-2-x^2+x+12\\ &=&-2x^2-2x+10 \end{eqnarray*}

$-\sqrt{\cfrac{5}{2}}+\sqrt{\cfrac{45}{8}}$

答え $\cfrac{\sqrt{10}}{4}$

\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{\cfrac{5}{2}}+\sqrt{\cfrac{45}{8}}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{8}}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{10}}{2}+\cfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{10}}{2}+\cfrac{3\sqrt{10}}{4}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{10}}{4}+\cfrac{3\sqrt{10}}{4}\\ &=&\cfrac{\sqrt{10}}{4} \end{eqnarray*}

$-\sqrt{3}\div(-6\sqrt{12})\times3\sqrt{2}$

答え $\cfrac{\sqrt{2}}{4}$

\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{3}\div(-6\sqrt{12})\times3\sqrt{2}\\ &=&\cfrac{\sqrt{3}\times3\sqrt{2}}{6\sqrt{12}}\\ &=&\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}

$\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+3\right)$

答え $-1+\sqrt{5}$

\begin{eqnarray*} &&\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+3\right)\\ &=&5+\sqrt{5}-6\\ &=&-1+\sqrt{5} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の式を因数分解しなさい。

$16m^2n-32mn^2+48mn$

答え $16mn(m-2n+3)$

$x^2-13x-48$

答え $(x-16)(x+3)$

$x^2+2xy+y^2$

答え $\left(x+y\right)^2$

$x^2y^2z^2-\cfrac{1}{225}$

答え $\left(xyz+\cfrac{1}{15}\right)\left(xyz-\cfrac{1}{15}\right)$

$(2x+3)^2-(2x+3)-6$

答え $2x(2x+5)$

\begin{eqnarray*} &&(2x+3)^2-(2x+3)-6\\ &&2x+3=Aとする\\ &=&A^2-A-6\\ &=&(A+2)(A-3)\\ &=&(2x+3+2)(2x+3-3)\\ &=&(2x+5)(2x)\\ &=&2x(2x+5) \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 次の①~⑦の方程式を解きなさい。

$-\cfrac{3x+4}{2}=\cfrac{7}{6}x-\cfrac{2}{3}$

答え $x=-\cfrac{1}{2}$

\begin{eqnarray*} -\cfrac{3x+4}{2}&=&\cfrac{7}{6}x-\cfrac{2}{3}\quad(\times6) \\ -9x-12&=&7x-4 \\ -9x-7x&=&-4+12\\ -16x&=&8 \\ x&=&-\cfrac{8}{16}=-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 0.2x+0.6y=1\\ 5x+2y+19=-2y \end{array}\right.$

答え $x=-7,y=4$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.2x+0.6y=1\qquad…①\\ 5x+2y+19=-2y\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times10$ \begin{eqnarray*} 0.2x+0.6y&=&1\quad(\times10)\\ 2x+6y&=&10\qquad…③ \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 5x+2y+19&=&-2y\\ 5x+2y+2y&=&-19\\ 5x+4y&=&-19\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times2-④\times3$ \begin{eqnarray*} 4x+12y=\phantom{-}20\\ \underline{+) \quad 15x+12y=-57} \\ -11x\phantom{-112y}=\phantom{-}77\\ x=-7\phantom{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-7を③に代入\\ 2\times(-7)+6y&=&10\\ -14+6y&=&10\\ 6y&=&10+14\\ 6y&=&24\\ y&=&4\\ \left\{ \begin{array}{l} x=-7\\ y=4 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$(x-3)(x-4)=90$

答え $x=13 ,\ x=-6$

\begin{eqnarray*} (x-3)(x-4)&=&90\\ x^2-7x+12&=&90\\ x^2-7x+12-90&=&0\\ x^2-7x-78&=&0 \\ (x-13)(x+6)&=&0\\ x&=&13,\ x=-6 \end{eqnarray*}

$\cfrac{5}{4}x^2-1=0$

答え $x=\pm\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$

\begin{eqnarray*} \cfrac{5}{4}x^2-1&=&0 \quad\left(両辺に\times4\right)\\ 5x^2-4&=&0 \\ 5x^2&=&4\\ x^2&=&\cfrac{4}{5}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{4}{5}}=\pm\cfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}=\pm\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\pm\cfrac{2\sqrt{5}}{5} \end{eqnarray*}

$9x^2=8x$

答え $x=0 ,\ x=\cfrac{8}{9}$

\begin{eqnarray*} 9x^2&=&8x\\ 9x^2-8x&=&0\\ x(9x-8)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=\cfrac{8}{9} \end{eqnarray*}

$(6x+1)^2=4(4x^2-2x-1)$

答え $x=-\cfrac{1}{2}$

\begin{eqnarray*} (6x+1)^2&=&4(4x^2-2x-1)\\ 36x^2+12x+1&=&16x^2-8x-4\\ 36x^2+12x+1&-&16x^2+8x+4=0\\ 20x^2+20x+5&=&0\quad\left(両辺を5で割る\right)\\ 4x^2+4x+1&=&0\\ (2x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}

$(x-4)^2=18$

答え $x=4\pm3\sqrt{2}$

\begin{eqnarray*} (x-4)^2&=&18\\ x-4&=&\pm\sqrt{18}\\ x-4&=&\pm3\sqrt{2}\\ x&=&4\pm3\sqrt{2} \end{eqnarray*}

$x^2+6x+3=0$

答え $x=-3\pm\sqrt{6}$

\begin{eqnarray*} x^2&+&6x+3=0\\ x&=&\cfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times3}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{2}\\ &=&\cfrac{-6\pm\sqrt{24}}{2}\\ &=&\cfrac{-6\pm2\sqrt{6}}{2}\\ &=&-3\pm\sqrt{6} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$x=-\cfrac{3y-9}{2}\quad[y]$

答え $y=\cfrac{-2x+9}{3}\\\left(y=-\cfrac{2x-9}{3},-\cfrac{2}{3}x+3も可\right)$

\begin{eqnarray*} x&=&-\cfrac{3y-9}{2}\quad[y]\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ -\cfrac{3y-9}{2}&=&x\quad(両辺に\times2)\\ -3y+9&=&2x\quad(両辺に\times-1)\\ 3y-9&=&-2x\\ 3y&=&-2x+9\\ y&=&\cfrac{-2x+9}{3} \end{eqnarray*}

$a=3-\sqrt{2}, \ b=3+\sqrt{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$a^2-2ab+b^2$

答え $8$

\begin{eqnarray*} &&a^2-2ab+b^2\\ &=&(a-b)^2\\ &=&\{(3-\sqrt{2})-(3+\sqrt{2})\}^2\\ &=&(3-\sqrt{2}-3-\sqrt{2})^2\\ &=&(-2\sqrt{2})^2\\ &=&8 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます。 \begin{eqnarray*} &&a^2-2ab+b^2\\ &=&(3-\sqrt{2})^2-2(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})^2\\ &=&9-6\sqrt{2}+2-2(9-2)+9+6\sqrt{2}+2\\ &=&8 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=-\cfrac{7}{18}$ のとき、$y=-\cfrac{14}{9}$ である。$x=-\cfrac{3}{8}$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{3}{2}$

比例の式の形は $y=ax$ \begin{eqnarray*} y&=&axに\ x=-\cfrac{7}{18}, \ y=-\cfrac{14}{9}\ を代入する\\ -\cfrac{14}{9}&=&-\cfrac{7}{18}a\quad(両辺に\times18)\\ -28&=&-7a\\ \cfrac{28}{7}&=&a\\ 4&=&a\\ y&=&4x \ に \ x=-\cfrac{3}{8} \ を代入する\\ y&=&4\times(-\cfrac{3}{8})=-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に反比例し、$x=9$ のとき、$y=-6$ である。$x=72$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{3}{4}$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=9\times\left(-6\right)=-54\\ y=-\cfrac{54}{x}\ に\ x=72\ を代入する\\ y=-\cfrac{54}{72}=-\cfrac{3}{4}$$

$2$ 点 $(-5, \ 3), \ (4, \ 12)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え $y=x+8$

直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{12-3}{4-(-5)}=\cfrac{9}{9}=1\\ \\ y&=&x+bに x=-5, \ y=3 を代入する\\ 3&=&-5+b\\ 3+5&=&b\\ 8&=&b \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=4$ のとき、$y=12$ である。$x=6$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=27$

$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{12}{4^2}=\cfrac{12}{16}=\cfrac{3}{4}\\ y=\cfrac{3}{4}x^2に\ x=6\ を代入する\\ y=\cfrac{3}{4}\times6^2=\cfrac{3}{4}\times36=27$$

下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
グラフ

答え 放物線…$y=\cfrac{1}{3}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(3, \ 3\right)$

<放物線の式>
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P\left(-4, \ \cfrac{16}{3}\right)$ だから、 \begin{eqnarray*} y=ax^2&に&\ x=-4, \ y=\cfrac{16}{3}\ を代入する\\ \cfrac{16}{3}&=&a\times(-4)^2\\ \cfrac{16}{3}&=&16a\quad(両辺に\times3)\\ 16&=&48a\\ \cfrac{16}{48}&=&a\\ \cfrac{1}{3}&=&a\\ \end{eqnarray*} <点 $Q$ の座標>
$x$ 座標は $3$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=\cfrac{1}{3}x^2$ に $x=3$ を代入
$ y=\cfrac{1}{3}\times3^2=3 $

箱の中にくじが $5$ 本はいっている。このうち、当たりくじは $2$ 本である。箱の中からくじを $1$ 本ひいて、箱に戻す。さらにもう一度くじをひくとき、はじめにひいたくじと、$2$ 回目にひいたくじのうち、少なくとも $1$ 本が当たる確率を求めなさい。

答え $\cfrac{16}{25}$

①,②,③,④,⑤と、$5$ 本のくじに番号をつけてしまいます。そして、①と②が当たり、③と④と⑤がはずれということにします。①②③④⑤という感じ。
んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
くじ
「いったんひいたくじをもとに戻し、またくじをひく」ときは、同じくじをひけるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{16}{25}$$

袋の中に赤玉が $2$ 個と白玉が $4$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の色が少なくとも $1$ 個は赤である確率を求めなさい。

答え $\cfrac{3}{5}$

①,②,③,④,⑤,⑥と、$6$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②が赤玉、③と④と⑤と⑥が白玉ということにします。①②③④⑤⑥という感じ。
んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
赤玉白玉
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{18}{30}=\cfrac{3}{5}$$

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①10②14③-\cfrac{1}{90}④4x+4 ⑤-15x-9y\\ ⑥\cfrac{-x+3y}{6}\quad\left(-\cfrac{x-3y}{6},-\cfrac{1}{6}x+\cfrac{1}{2}yも可\right)\\ ⑦x^2-2x-35 ⑧\cfrac{4}{25}x^2-\cfrac{2}{3}xy+\cfrac{25}{36}^2\\ ⑨0.01a^2-b^2 ⑩-2x^2-2x+10\\ ⑪\cfrac{\sqrt{10}}{4}⑫\cfrac{\sqrt{2}}{4}⑬-1+\sqrt{5}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①16mn(m-2n+3)②(x-16)(x+3)\\ ③\left(x+y\right)^2④\left(xyz+\cfrac{1}{15}\right)\left(xyz-\cfrac{1}{15}\right)\\ ⑤2x(2x+5)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{1}{2}②x=-7,y=4\\ ③x=13,x=-6④x=\pm\cfrac{2\sqrt{5}}{5}⑤x=0,x=\cfrac{8}{9}\\ ⑥x=-\cfrac{1}{2}⑦x=4\pm3\sqrt{2}⑧x=-3\pm\sqrt{6}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①y=\cfrac{-2x+9}{3}\left(y=-\cfrac{2x-9}{3},-\cfrac{2}{3}x+3も可\right)\\ ②8③y=-\cfrac{3}{2}④y=-\cfrac{3}{4} ⑤y=x+8⑥y=27\\ ⑦放物線…y=\cfrac{1}{3}x^2,Qの座標\left(3,3\right)\\ ⑧\cfrac{16}{25}⑨\cfrac{3}{5} $

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