中3数学 3学期の計算 第5回 全33問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $-7+2$
答え $-5$
② $(-2)^2\times(-7)-5\times(-2)^3$
答え $12$
\begin{eqnarray*} &&(-2)^2\times(-7)-5\times(-2)^3\\ &=&4\times(-7)-5\times(-8)\\ &=&-28+40\\ &=&12 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{2}{3}-\cfrac{5}{8}\div\left(-\cfrac{1}{4}\right)$
答え $\cfrac{19}{6}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{3}-\cfrac{5}{8}\div\left(-\cfrac{1}{4}\right)\\ &=&\cfrac{2}{3}-\cfrac{5}{8}\times\left(-\cfrac{4}{1}\right)\\ &=&\cfrac{2}{3}+\cfrac{5}{2}\\ &=&\cfrac{4}{6}+\cfrac{15}{6}\\ &=&\cfrac{19}{6} \end{eqnarray*}④ $3(x-4)-2(2x-5)$
答え $-x-2$
\begin{eqnarray*} &&3(x-4)-2(2x-5)\\ &=&3x-12-4x+10\\ &=&-x-2 \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{x-2y}{3}-\cfrac{2x+y}{4}$
答え $\cfrac{-2x-11y}{12}\\\quad\left(-\cfrac{2x+11y}{12},-\cfrac{1}{6}x-\cfrac{11}{12}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-2y}{3}-\cfrac{2x+y}{4}\\ &=&\cfrac{4(x-2y)-3(2x+y)}{12}\\ &=&\cfrac{4x-8y-6x-3y}{12}\\ &=&\cfrac{-2x-11y}{12} \end{eqnarray*}⑥ $-(2x-3)(3x+4)+2(2x+1)^2$
答え $2x^2+9x+14$
\begin{eqnarray*} &&-(2x-3)(3x+4)+2(2x+1)^2\\ &=&-(6x^2+8x-9x-12)+2(4x^2+4x+1)\\ &=&-6x^2-8x+9x+12+8x^2+8x+2\\ &=&2x^2+9x+14 \end{eqnarray*}⑦ $-\cfrac{16}{3\sqrt{2}}+2\sqrt{6}\times\sqrt{3}$
答え $\cfrac{10\sqrt{2}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{16}{3\sqrt{2}}+2\sqrt{6}\times\sqrt{3}\\ &=&-\cfrac{16\sqrt{2}}{6}+2\sqrt{18}\\ &=&-\cfrac{8\sqrt{2}}{3}+6\sqrt{2}\\ &=&-\cfrac{8\sqrt{2}}{3}+\cfrac{18\sqrt{2}}{3}\\ &=&\cfrac{10\sqrt{2}}{3} \end{eqnarray*}① $15m^2n-25mn^2-5mn$
答え $5mn(3m-5n-1)$
② $x^2-10x+9$
答え $(x-1)(x-9)$
③ $9x^2-6xy+y^2$
答え $(3x-y)^2$
④ $x^2-\cfrac{16}{25}y^2$
答え $\left(x+\cfrac{4}{5}y\right)\left(x-\cfrac{4}{5}y\right)$
⑤ $3x^2-6x-24$
答え $3(x+2)(x-4)$
\begin{eqnarray*} &&3x^2-6x-24\\ &=&3(x^2-2x-8)\\ &=&3(x+2)(x-4) \end{eqnarray*}① $-\cfrac{3}{2}x+1=\cfrac{x-2}{3}$
答え $x=\cfrac{10}{11}$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{3}{2}x+1&=&\cfrac{x-2}{3}\quad(\times6) \\ -9x+6&=&2x-4 \\ -9x-2x&=&-4-6\\ -11x&=&-10 \\ x&=&\cfrac{10}{11} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} -3x+5y=2\\ \cfrac{2x-3y}{2}=-1 \end{array}\right.$
答え $x=-4,y=-2$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} -3x+5y=2\qquad…①\\ \cfrac{2x-3y}{2}=-1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう$ \begin{eqnarray*} \cfrac{2x-3y}{2}&=&-1\quad両辺に\times2\\ 2x-3y&=&-2\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times2+③\times3$ \begin{eqnarray*} -6x+10y=\phantom{-}4\\ \underline{+) \quad 6x-\phantom{1}9y=-6} \\ y=-2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-2を①に代入\\ -3x+5\times(-2)&=&2\\ -3x-10&=&2\\ -3x&=&2+10\\ -3x&=&12\\ x&=&-4 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-4\\ y=-2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $ 6x-6y=9x-10y=1 $
答え $x=\cfrac{2}{3},y=\cfrac{1}{2}$
$6x-6y=9x-10y=1$ のまんなかを隠した式をつくり、①とする。左側を隠した式をつくり、②とする。
①と②を連立方程式として解く。 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 6x-6y=1\qquad…①\\ 9x-10y=1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times3-②\times2$ \begin{eqnarray*} 18x-18y=3\\ \underline{-) \quad 18x-20y=2} \\ 2y=1\\ y=\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=\cfrac{1}{2}を①に代入\\ 6x-6\times\cfrac{1}{2}&=&1\\ 6x-3&=&1\\ 6x&=&1+3\\ 6x&=&4\\ x&=&\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\cfrac{2}{3}\\ y=\cfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray*}
④ $x^2-9x-36=0$
答え $x=12 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} x^2-9x-36&=&0 \\ (x-12)(x+3)&=&0\\ x&=&12,\ x=-3 \end{eqnarray*}⑤ $4x^2-10=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{10}}{2}$
\begin{eqnarray*} 4x^2-10&=&0 \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{2}\right)\\ 2x^2-5&=&0\\ 2x^2&=&5\\ x^2&=&\cfrac{5}{2}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{5}{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{10}}{2} \end{eqnarray*}⑥ $x^2+25=-10x$
答え $x=-5$
\begin{eqnarray*} x^2+25&=&-10x\\ x^2+10x+25&=&0\\ (x+5)^2&=&0\\ x&=&-5 \end{eqnarray*}⑦ $\cfrac{1}{3}x^2=5x$
答え $x=0 ,\ x=15$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{3}x^2&=&5x\quad(両辺に\times3)\\ x^2&=&15x\\ x^2-15x&=&0\\ x(x-15)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=15 \end{eqnarray*}⑧ $(x-5)^2=18$
答え $x=5\pm 3\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} (x-5)^2&=&18 \\ x-5&=&\pm\sqrt{18}\\ x&=&5\pm 3\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑨ $4x^2-4x-1=0\\$
答え $x=\cfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}$
$2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times4\times(-1)}}{2\times4}\\ &=&\cfrac{4\pm\sqrt{16+16}}{8}\\ &=&\cfrac{4\pm\sqrt{32}}{8}\\ &=&\cfrac{4\pm4\sqrt{2}}{8}\\ &=&\cfrac{1\pm\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}① ある施設の入場料は、大人 $1$ 人 $x$ 円で、子供 $1$ 人 $y$ 円である。この施設に大人 $2$ 人と子供 $3$ 人で入場したときの、入場料の合計は $3000$ 円未満である。この数量の関係を不等式で表しなさい。
②次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$\qquad 3x-2y=5\quad[y]$
答え $y=\cfrac{3x-5}{2}\\\left(\cfrac{3}{2}x-\cfrac{5}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} 3x-2y&=&5 \\ -2y&=&-3x+5 \quad両辺に\times(-1)\\ 2y&=&3x-5\\ y&=&\cfrac{3x-5}{2} \end{eqnarray*}③ $a=2+2\sqrt{3}, \ b=4\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad a^2-ab$
答え $-8$
\begin{eqnarray*} &&a^2-ab\\ &=&a(a-b)\\ &=&(2+2\sqrt{3})(2+2\sqrt{3}-4\sqrt{3})\\ &=&(2+2\sqrt{3})(2-2\sqrt{3})\\ &=&4-12\\ &=&-8 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます。 \begin{eqnarray*} &&a^2-ab\\ &=&(2+2\sqrt{3})^2-(2+2\sqrt{3})\times4\sqrt{3}\\ &=&4+8\sqrt{3}+12-8\sqrt{3}-24\\ &=&-8 \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に比例し、$x=3$ のとき、$y=2$ である。$x=-5$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{10}{3}$
比例の式の形は $y=ax$\begin{eqnarray*} a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{2}{3} \end{eqnarray*} $y=\cfrac{2}{3}x$ に $x=-5$ を代入する \begin{eqnarray*} y=\cfrac{2}{3}\times(-5)=-\cfrac{10}{3} \end{eqnarray*}
⑤ $y$ が $x$ に反比例し、$x=3$ のとき、$y=2$ である。$x=-5$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{6}{5}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=3\times2=6\\ y=\cfrac{6}{x}\ に\ x=-5\ を代入する\\ y=\cfrac{6}{-5}=-\cfrac{6}{5}$$⑥ $2$ 点 $(-2, \ 1), \ (6, \ -11)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{2}x-2$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-11-1}{6-(-2)}=\cfrac{-12}{8}=-\cfrac{3}{2}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{3}{2}x+b$ に $x=-2,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&-\cfrac{3}{2}\times(-2)+b\\ 1&=&3+b\\ 1-3&=&b\\ -2&=&b \end{eqnarray*}⑦ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=2$ のとき、$y=3$ である。$x=-5$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{75}{4}$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$$y=ax^2$ に $x=2, \ y=3$ を代入 \begin{eqnarray*} 3&=&a\times(2)^2\\ 3&=&4a\\ \cfrac{3}{4}&=&a \end{eqnarray*} $y=\cfrac{3}{4}x^2$ に $ x=-5$ を代入する
$$y=\cfrac{3}{4}\times(-5)^2=\cfrac{3}{4}\times25=\cfrac{75}{4}$$
⑧ 大小 $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、大、小のサイコロの出た目をそれぞれ $a, \ b$ とする。 $a-b$ の絶対値が $1$ 以下になる確率を求めなさい。
⑨ $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 1\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$ と数字のかかれたカードが全部で $4$ 枚ある。この中から $3$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$3$ けたの整数をつくるとき、偶数となる確率を求めなさい。
答え $\cfrac{5}{9}$
「$3$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$3$ けたの整数をつくる」というのは、たとえば、$\boxed{\large{\ 1\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$ というのは、$123$ だということになります。左が百の位で、まん中が十の位で、右が一の位です。
気をつけなければならないのは、左側に $\boxed{\large{\ 0\ }}$ のカードは置けない、ということです。
$\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 1\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$ とか $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 1\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$ とかは、$3$ けたの整数とはいえません。
そのようなことをふまえて、樹形図をかきます。
全部で $18$ 通りのパターンがあります。なので分母は $18$ です。
赤でチェックしてあるところが、偶数です。
$$\cfrac{10}{18}=\cfrac{5}{9}$$
$①$ 点 $A$ の $x$ 座標が $2$ のとき、点 $B$ の座標を求めなさい。
答え
$\left(2, \ -\cfrac{4}{3}\right)$
点 $A$ と点 $B$ の $x$ 座標は同じです。点 $A$ の $x$ 座標が $2$ ならば、点 $B$ の $x$ 座標も $2$ になります。
点 $B$ は曲線イ上の点で、曲線イの式は $y=-\cfrac{1}{3}x^2$ です。
$y=-\cfrac{1}{3}x^2$ に $x=2$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
y&=&-\cfrac{1}{3}\times2^2=-\cfrac{4}{3}
\end{eqnarray*}
$②$ 点 $A$ の $x$ 座標が $3$ のとき、$AB=9$ となるような $a$ の値を求めなさい。
答え
$a=\cfrac{2}{3}$
＜点 $A$ の座標＞
点 $A$ は関数 $y=ax^2$ 上の点なのですから、この式に $x=3$ を代入すると、
$$y=a\times3^2=9a$$
となります。点 $A$ の $x$ 座標が $3$ のとき、$y$ 座標は $9a$ ということになります。点 $A$ の座標は、$(3, \ 9a)$ となります。
＜点 $B$ の座標＞
点 $B$ の $x$ 座標は 点 $A$ の $x$ 座標と同じです。点 $A$ の座標が $3$ ならば、点 $B$ の $x$ 座標も $3$ です。また、点 $B$ は関数 $y=-\cfrac{1}{3}x^2$ 上の点です。
$y=-\cfrac{1}{3}x^2$ に $x=3$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
y&=&-\cfrac{1}{3}\times3^2=-3
\end{eqnarray*}
なので、点 $A$ の $x$ 座標が $3$ のとき、点 $B$ の座標は $(3, \ -3)$ となります。
＜$AB$ の長さ＞
$AB$ の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $y$ 座標の差をいえばよいです。
$$AB=9a-(-3)=9a+3$$
$AB=9$ となるような $a$ の値を求めたいのですから、
\begin{eqnarray*}
9a+3&=&9\\
9a&=&9-3\\
9a&=&6\\
a&=&\cfrac{6}{9}=\cfrac{2}{3}
\end{eqnarray*}
というわけで、曲線アの式が $y=\cfrac{2}{3}x^2$ のとき、$AB=9$ となります。
＜別解＞
点 $B$ の座標は $(3, \ -3)$ なのだから、点 $A$ の座標が $(3, \ 6)$ になればよいわけで、$y=ax^2$ に $x=3, \ y=6$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
6&=&9a\\
9a&=&6\\
a&=&\cfrac{6}{9}=\cfrac{2}{3}
\end{eqnarray*}
こうやっちゃったほうが手っ取り早いです。
中央値（メジアン）がふくまれる階級の階級値を答えなさい。
答え
$7.5$
$121$ 人による記録ですから、その中央値（メジアン）は、$61$ 番目の生徒の記録です。
$61$ 番目の生徒がふくまれるのは、$6$～$9$ の階級ですから、その階級値は、
\begin{eqnarray*}
(6+9)\div2=7.5
\end{eqnarray*}
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-5②12③\cfrac{19}{6}④-x-2\\ ⑤\cfrac{-2x-11y}{12}\quad\left(-\cfrac{2x+11y}{12},-\cfrac{1}{6}x-\cfrac{11}{12}yも可\right)\\ ⑥2x^2+9x+14⑦\cfrac{10\sqrt{2}}{3}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①5mn(3m-5n-1)②(x-1)(x-9)\\ ③(3x-y)^2④\left(x+\cfrac{4}{5}y\right)\left(x-\cfrac{4}{5}y\right)\\ ⑤3(x+2)(x-4)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{10}{11}②x=-4, \ y=-2\\ ③x=\cfrac{2}{3}, \ y=\cfrac{1}{2}④x=12, \ x=-3\\ ⑤x=\pm\cfrac{\sqrt{10}}{2}⑥x=-5⑦x=0 ,\ x=15\\ ⑧x=5\pm3\sqrt{2}⑨x=\cfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①2x+3y\lt 3000 ②y=\cfrac{3x-5}{2}\left(\cfrac{3}{2}x-\cfrac{5}{2}も可\right)\\ ③-8 ④y=-\cfrac{10}{3}⑤y=-\cfrac{6}{5}⑥y=-\cfrac{3}{2}x-2\\ ⑦y=\cfrac{75}{4} ⑧\cfrac{4}{9}⑨\cfrac{5}{9}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①\left(2, \ -\cfrac{4}{3}\right) ②a=\cfrac{2}{3}\\ \boxed{\large{\ 6\ }}7.5 $