中3数学 夏休みの計算 第13回 全32問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-8-(-2)\times3$
答え $-2$
\begin{eqnarray*} &&-8-(-2)\times3\\ &=&-8+6\\ &=&-2 \end{eqnarray*}② $\cfrac{3}{4}-\cfrac{1}{2}+1$
答え $\cfrac{5}{4}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{4}-\cfrac{1}{2}+1\\ &=&\cfrac{3}{4}-\cfrac{2}{4}+\cfrac{4}{4}\\ &=&\cfrac{5}{4} \end{eqnarray*}③ $(-6^2)-\{5-(-3)^2\}\times(-2)^3$
答え $-68$
\begin{eqnarray*} &&(-6^2)-\{5-(-3)^2\}\times(-2)^3\\ &=&-36-(5-9)\times(-8)\\ &=&-36-(-4)\times(-8)\\ &=&-36-32\\ &=&-68 \end{eqnarray*}④ $2(5x-9)+3(-2x+6)$
答え $4x$
\begin{eqnarray*} &&2(5x-9)+3(-2x+6)\\ &=&10x-18-6x+18\\ &=&4x \end{eqnarray*}⑤ $(88x^2y-121xy^2)\div\left(-\cfrac{11}{2}xy\right)$
答え $-16x+22y$
\begin{eqnarray*} &&(88x^2y-121xy^2)\div\left(-\cfrac{11}{2}xy\right)\\ &=&(88x^2y-121xy^2)\times\left(-\cfrac{2}{11xy}\right)\\ &=&88x^2y\times\left(-\cfrac{2}{11xy}\right)-121xy^2\times\left(-\cfrac{2}{11xy}\right)\\ &=&-16x+22y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{a-2b}{7}-\cfrac{9a-10b}{14}$
答え $\cfrac{-7a+6b}{14}\\\quad\left(-\cfrac{7a-6b}{14},-\cfrac{1}{2}a+\cfrac{3}{7}bも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{a-2b}{7}-\cfrac{9a-10b}{14}\\ &=&\cfrac{2(a-2b)-(9a-10b)}{14}\\ &=&\cfrac{2a-4b-9a+10b}{14}\\ &=&\cfrac{-7a+6b}{14} \end{eqnarray*}⑦ $(x-8)(x+1)$
答え $x^2-7x-8$
⑧ $\left(x-\cfrac{2}{3}y\right)^2$
答え $x^2-\cfrac{4}{3}xy+\cfrac{4}{9}y^2$
⑨ $\left(\cfrac{5}{6}x+\cfrac{1}{2}y\right)\left(\cfrac{5}{6}x-\cfrac{1}{2}y\right)$
答え $\cfrac{25}{36}x^2-\cfrac{1}{4}y^2$
⑩ $-(2x+y)(x-3y)-3(2x+y)^2$
答え $-14x^2-7xy$
\begin{eqnarray*} &&-(2x^2-5xy-3y^2)-3(4x^2+4xy+y^2)\\ &=&-2x^2+5xy+3y^2-12x^2-12xy-3y^2\\ &=&-14x^2-7xy \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{40}-\sqrt{\cfrac{9}{10}}$
答え $\cfrac{17\sqrt{10}}{10}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{40}-\sqrt{\cfrac{9}{10}}\\ &=&2\sqrt{10}-\cfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}}\\ &=&2\sqrt{10}-\cfrac{3}{\sqrt{10}}\\ &=&2\sqrt{10}-\cfrac{3\sqrt{10}}{10}\\ &=&\cfrac{20\sqrt{10}}{10}-\cfrac{3\sqrt{10}}{10}\\ &=&\cfrac{17\sqrt{10}}{10} \end{eqnarray*}⑫ $10\sqrt{18}\div3\sqrt{6}\div\sqrt{15}$
答え $\cfrac{2\sqrt{5}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&10\sqrt{18}\div3\sqrt{6}\div\sqrt{15}\\ &=&\cfrac{10\sqrt{18}}{3\sqrt{6}\times\sqrt{15}}\\ &=&\cfrac{10}{3\sqrt{5}}\\ &=&\cfrac{10\sqrt{5}}{15}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{5}}{3} \end{eqnarray*}⑬ $\left(2\sqrt{2}-3\right)^2$
答え $17-12\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(2\sqrt{2}-3\right)^2\\ &=&8-12\sqrt{2}+9\\ &=&17-12\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $24x^2y-72xy$
答え $24xy(x-3)$
② $x^2-20x-44$
答え $(x-22)(x+2)$
③ $\cfrac{1}{4}x^2+xy+y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{2}x+y\right)^2$
④ $a^2-\cfrac{289}{361}$
答え $\left(a+\cfrac{17}{19}\right)\left(a-\cfrac{17}{19}\right)$
⑤ $32x^2-48xy+18y^2$
答え $2(4x-3y)^2$
\begin{eqnarray*} &&32x^2-48xy+18y^2\\ &=&2(16x^2-24xy+9y^2)\\ &=&2(4x-3y)^2 \end{eqnarray*}① $2x+4=\cfrac{4}{5}x-2$
答え $x=-5$
\begin{eqnarray*} 2x+4&=&\cfrac{4}{5}x-2\quad(\times5) \\ 10x+20&=&4x-10 \\ 10x-4x&=&-10-20 \\ 6x&=&-30\\ x&=&-5 \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 4x+3y=7\\ 6(x-2)=-5y \end{array}\right.$
答え $x=-\cfrac{1}{2},y=3$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x+3y=7\qquad…①\\ 6(x-2)=-5y\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 6(x-2)&=&-5y\\ 6x-12&=&-5y\\ 6x+5y&=&12\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3-③\times2$ \begin{eqnarray*} 12x+\phantom{1}9y=21\\ \underline{-) \quad 12x+10y=24} \\ -y=-3 \\ y=\phantom{-}3 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=3を①に代入\\ 4x+3\times3&=&7\\ 4x+9&=&7\\ 4x&=&7-9\\ 4x&=&-2\\ x&=&-\cfrac{2}{4}=-\cfrac{1}{2} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\cfrac{1}{2}\\ y=3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2-3x-10=0$
答え $x=5 ,\ x=-2$
\begin{eqnarray*} x^2-3x-10&=&0 \\ (x-5)(x+2)&=&0\\ x&=&5,\ x=-2 \end{eqnarray*}④ $128x^2+32x+2=0$
答え $x=-\cfrac{1}{8}$
\begin{eqnarray*} 128x^2+32x+2&=&0 \quad(\div2)\\ 64x^2+16x+1&=&0\\ (8x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{8} \end{eqnarray*}⑤ $25x^2-200=0$
答え $x=\pm2\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} 25x^2-200&=&0 \quad(\div25)\\ x^2-8&=&0 \\ x^2&=&8 \\ x&=&\pm \sqrt{8}=\pm2\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑥ $25x^2=300x$
答え $x=0 ,\ x=12$
\begin{eqnarray*} 25x^2&=&300x \quad(\div25)\\ x^2&=&12x\\ x^2-12x&=&0\\ x(x-12)&=&0\\ x&=&0,\ x=12 \end{eqnarray*}⑦ $4x^2+x=x^2-x+4$
答え $x=\cfrac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$
\begin{eqnarray*} 4x^2+x&=&x^2-x+4\\ 4x^2+x-x^2+x-4&=&0\\ 3x^2+2x-4&=&0 \end{eqnarray*} $2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times3\times(-4)}}{2\times3}\\ &=&\cfrac{-2\pm\sqrt{4+48}}{6}\\ &=&\cfrac{-2\pm\sqrt{52}}{6}\\ &=&\cfrac{-2\pm2\sqrt{13}}{6}\\ x&=&\cfrac{-1\pm\sqrt{13}}{3} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$-3x=\cfrac{3}{4}y-2\quad[y]$
答え $y=\cfrac{-12x+8}{3}\\ \left(-\cfrac{12x-8}{3},-4x+\cfrac{8}{3}も可\right)$
\begin{eqnarray*} -3x&=&\cfrac{3}{4}y-2\quad(\times4) \\ -12x&=&3y-8\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ 3y-8&=&-12x\\ 3y&=&-12x+8\\ y&=&\cfrac{-12x+8}{3} \end{eqnarray*}$x=4-2\sqrt{5}, \ y=4\sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$3x^2+3xy$
答え $-12$
\begin{eqnarray*} &&3x^2+3xy\\ &=&3x(x+y)\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=&3(4-2\sqrt{5})(4-2\sqrt{5}+4\sqrt{5})\\ &=&3(4-2\sqrt{5})(4+2\sqrt{5})\\ &=&3(16-20)\\ &=&3\times(-4)\\ &=&-12 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや、自信がないときは、単に代入して、がんばって計算すれば同じ答えがでます。 \begin{eqnarray*} &&3x^2+3xy\\ &=&3(4-2\sqrt{5})^2+3(4-2\sqrt{5})(4\sqrt{5})\\ &=&3(16-16\sqrt{5}+20)+12\sqrt{5}(4-2\sqrt{5})\\ &=&48-48\sqrt{5}+60+48\sqrt{5}-120\\ &=&-12 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=8$ のとき、$y=-2$ である。$x=\cfrac{2}{5}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{10}$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{-2}{8}=-\cfrac{1}{4}\\ y=-\cfrac{1}{4}xに\ x=\cfrac{2}{5}\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{5}=-\cfrac{1}{10}$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=3$ のとき、$y=-7$ である。$x=14$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{2}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=3\times(-7)=-21\\ y=-\cfrac{21}{x}\ に\ x=14\ を代入する\\ y=-\cfrac{21}{14}=-\cfrac{3}{2}$$⑤ 下の直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{3}x+2$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-6-6}{-12-6}=\cfrac{-12}{-18}=\cfrac{2}{3}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{2}{3}x+b$ に $x=6,\ y=6$ を代入 \begin{eqnarray*} 6&=&\cfrac{2}{3}\times6+b\\ 6&=&4+b\\ 6-4&=&b\\ 2&=&b \end{eqnarray*}⑥ $8$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$83$ 点、$66$ 点、$71$ 点、$84$ 点、$72$ 点、$65$ 点、$81$ 点、$77$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $74.5\ 点$
得点を低い順にならべると、$$65,\ 66,\ 71,\ 72,\ 77,\ 81,\ 83,\ 84$$ $8$ 人の中央値（メジアン）は $4$ 番目と $5$ 番目の平均だから、 $$(72+77)\div2=74.5$$
⑥ 箱の中にくじが $5$ 本はいっている。このうち、当たりくじは $2$ 本である。箱の中からくじを $1$ 本ひいて、箱に戻す。さらにもう一度くじをひくとき、はじめにひいたくじと、$2$ 回目にひいたくじのうち、少なくとも $1$ 本が当たる確率を求めなさい。
答え $\cfrac{16}{25}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 本のくじに番号をつけてしまいます。そして、①と②が当たり、③と④と⑤がはずれということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「いったんひいたくじをもとに戻し、またくじをひく」ときは、同じくじをひけるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{16}{25}$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-2②\cfrac{5}{4}③-68④4x⑤-16x+22y\\ ⑥\cfrac{-7a+6b}{14}\quad\left(-\cfrac{7a-6b}{14},-\cfrac{1}{2}a+\cfrac{3}{7}bも可\right)\\ ⑦x^2-7x-8 ⑧x^2-\cfrac{4}{3}xy+\cfrac{4}{9}y^2⑨\cfrac{25}{36}x^2-\cfrac{1}{4}y^2\\ ⑩-14x^2-7xy ⑪\cfrac{17\sqrt{10}}{10}⑫\cfrac{2\sqrt{5}}{3}⑬17-12\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①24xy(x-3)②(x-22)(x+2) ③\left(\cfrac{1}{2}x+y\right)^2\\ ④\left(a+\cfrac{17}{19}\right)\left(a-\cfrac{17}{19}\right) ⑤2(4x-3y)^2\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-5②x=-\cfrac{1}{2},y=3③x=5,x=-2\\ ④x=-\cfrac{1}{8}⑤x=\pm2\sqrt{2}⑥x=0,x=12\\ ⑦x=\cfrac{-1\pm\sqrt{13}}{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①y=\cfrac{-12x+8}{3} \left(-\cfrac{12x-8}{3},-4x+\cfrac{8}{3}も可\right)\\ ②-12③y=-\cfrac{1}{10} ④y=-\cfrac{3}{2}⑤y=\cfrac{2}{3}x+2\\ ⑥74.5点 ⑦\cfrac{16}{25} $