\begin{eqnarray*} ①&& -5+8+(-3)\\ &=&-5+8-3\\ &=&0 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} ②&& \cfrac{25}{26}\div\left(-\cfrac{15}{13}\right)\\ &=& \cfrac{{}^5\bcancel{25}}{{}^2\bcancel{26}}\times\left(-\cfrac{\bcancel{13}}{{}^3\bcancel{15}}\right)\\ &=& -\cfrac{5}{6} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} ③&& -\cfrac{3}{4}+1-\cfrac{1}{12}\\ &=&-\cfrac{9}{12}+\cfrac{12}{12}-\cfrac{1}{12}\\ &=&\cfrac{2}{12}\\ &=&\cfrac{1}{6} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} ④&& \ (-3)^2-(-5)\times(-3)\\ &=& 9+5\times(-3)\\ &=& 9-15\\ &=& -6 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} ⑦&& -3x+7+2x-6\\ &=&-3x+2x+7-6\\ &=&-x+1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} ⑧&& -8(3a-4)\\ &=& -24a+32 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} ⑨&& (3a-6)-(8a-7)\\ &=&3a-6-8a+7\\ &=&3a-8a-6+7\\ &=&-5a+1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} ⑩&& 24\times\cfrac{6x-7}{8}\\ &=& {}^3\bcancel{24}\times\cfrac{6x-7}{\bcancel{8}}\\ &=&18x-21 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &&-4a-3 \\ &=&-4\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)-3 \\ &=&2-3 \\ &=&-1 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} -2(x-3)&=&10x-3\\ -2x+6&=&10x-3\\ -2x-10x&=&-3-6\\ -12x&=&-9\\ x&=&\cfrac{9}{12}\\ x&=&\cfrac{3}{4} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} -0.7x+1&=&0.3x+1.6\quad両辺に\times10\\ -7x+10&=&3x+16\\ -7x-3x&=&16-10\\ -10x&=&6\\ x&=&-\cfrac{6}{10}\\ x&=&-\cfrac{3}{5} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \cfrac{4}{15}x+\cfrac{2}{3}&=&\cfrac{3}{5}x+1\quad両辺に\times15\\ 4x+10&=&9x+15\\ 4x-9x&=&15-10\\ -5x&=&5\\ x&=&-1 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 4:(2x-1)&=&7:(5x-3)\\ 4(5x-3)&=&7(2x-1)\\ 20x-12&=&14x-7\\ 20x-14x&=&-7+12\\ 6x&=&5\\ x&=&\cfrac{5}{6} \end{eqnarray*}

兄が家を出てから $x$ 分後に妹に追いつくとすると、$150x$ というのは、兄が自転車で進んだ道のりをあらわします。「速さ×時間＝道のり」です。

妹が進んだ時間は、兄より $6$ 分多いのですから、$(x+6)$ 分です。なので、妹の進んだ道のりは $70(x+6)$ とあらわせます。

「兄が妹に追いつく」というのは、「兄の進んだ道のり＝妹の進んだ道のり」というふうに考えて、

$150x=70(x+6)$

これが式です。あとは解くだけです。 \begin{eqnarray*} 150x&=&70(x+6)\\ 150x&=&70x+420\\ 150x-70x&=&420\\ 80x&=&420\\ x&=&\cfrac{420}{80}\\ x&=&\cfrac{21}{4} \end{eqnarray*}

$8$％ の食塩水を$xg$ まぜることにします。すると、できあがる食塩水は $(200+x)g$ です。



「濃度 $\times$ 食塩水 = 食塩」です。このことを使って、
「$15$％ の食塩水にふくまれる食塩」+「$8$％ の食塩水にふくまれる食塩」=「できあがった食塩水にふくまれる食塩」という式をたてて解いていきます。

$15$％ の食塩水にふくまれる食塩は、$\cfrac{15}{100}\times200$ グラムです。

$8$％ の食塩水にふくまれる食塩は、$\cfrac{8}{100}\times x$ グラムです。

できあがった食塩水にふくまれる食塩は、$\cfrac{10}{100}\times(200+x)$ グラムです。$200g$ の食塩水と $xg$ の食塩水をまぜるのだから、$(200+x)g$ の食塩水ができます。なので、「濃度 $\times$ 食塩水」をやるとこんな式になるわけです。

以上のことを使って「$15$％ の食塩水にふくまれる食塩」+「$8$％ の食塩水にふくまれる食塩」=「できあがった食塩水にふくまれる食塩」という式をたてると、

$\cfrac{15}{100}\times200+\cfrac{8}{100}\times x=\cfrac{10}{100}\times(200+x)$

これが式です。あとは解くだけです。 \begin{eqnarray*} \cfrac{15}{100}\times200+\cfrac{8}{100}\times x&=&\cfrac{10}{100}\times(200+x)\quad両辺に\times100\\ 15\times200+8x&=&10(200+x)\\ 3000+8x&=&2000+10x\\ 8x-10x&=&2000-3000\\ -2x&=&-1000\\ x&=&500 \end{eqnarray*}

$y=1000-6x$ というのは、比例でも反比例でもありません

長方形の面積は、縦 $\times$ 横

$xy=20$ だから $y=\cfrac{20}{x}$

距離 $=$ 速さ $\times$ 時間

$xy=250$ だから $y=\cfrac{250}{x}$
または、「時間 $=$ 距離 $\div$ 速さ」と考えてもよいです。

$xy=300$ だから $y=\cfrac{300}{x}$

$y=300-20x$ というのは、比例でも反比例でもありません

$x$ になにを掛けたら $y$ になるかを考えましょう。この問題の場合は、$x=-2$ のとき $y=-10$ になっているから、$x$ に $5$ を掛けたら $y$ になります。つまり、$y=5x$ だということになります。
この手の問題は、かならずどこかに $x$ と $y$ の両方がわかっているところがあります。そこに注目して考えましょう。

「比例」といわれたら、式の形は $y=ax$ で、 $a$ を求めるのが目標になります。$a$ の求め方は、$a=\cfrac{y}{x}$ です。
$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-3}{9}=-\cfrac{1}{3}$

「比例」といわれたら、答えの形は $y=ax$ で、 $a$ を求めるのが目標になります。$a$ の求め方は、$a=\cfrac{y}{x}$ です。
$a=\cfrac{-6}{8}=-\cfrac{3}{4}$
$a$ が求められたら、$x=-4$ のときの $y$ の値を求めていきます。
$y=-\cfrac{3}{4}x$ に $x=-12$ を代入する
$y=-\cfrac{3}{4}\times(-12)=9$

　ア～エのグラフはすべて原点を通る直線です。比例のグラフです。比例のグラフについて、「$y$ を $x$ の式で表しなさい」といわれたら、式の形は $y=ax$ で、$a$ を求めるのが目標となります。$a$ の求め方は、$a=\cfrac{y}{x}$ です。グラフ上にある、どこかカドを通っているところをさがして、その座標を利用します。

＜アについて＞
アのグラフは、点$(4, \ 3)$ を通っています。なので、$x=4, \ y=3$ を $a=\cfrac{y}{x}$ に代入して $a$ を求めます。
$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{3}{4}$
これで $a=\cfrac{3}{4}$ だと求められました。なので答えは $y=\cfrac{3}{4}x$ です。
ここでは点$(4, \ 3)$ を代入して $a$ を求めましたが、ほかの点でもだいじょうぶです。グラフ上にある点の座標を代入すれば、どこをいれても全部おなじ答えになります。ただ、原点だけはいれちゃダメです。

＜イについて＞
イのグラフは、点$(1, \ 3)$ を通っています。なので、$x=1, \ y=3$ を $a=\cfrac{y}{x}$ に代入して $a$ を求めます。
$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{3}{1}=3$
これで $a=3$ だと求められました。なので答えは $y=3x$ です。
ここでは点$(1, \ 3)$ を代入して $a$ を求めましたが、ほかの点でもだいじょうぶです。グラフ上にある点の座標を代入すれば、どこをいれても全部おなじ答えになります。ただ、原点だけはいれちゃダメです。

＜ウについて＞
ウのグラフは、点$(-3, \ 5)$ を通っています。なので、$x=-3, \ y=5$ を $a=\cfrac{y}{x}$ に代入して $a$ を求めます。
$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{5}{-3}=-\cfrac{5}{3}$
これで $a=-\cfrac{5}{3}$ だと求められました。なので答えは $y=-\cfrac{5}{3}x$ です。
ここでは点$(-3, \ 5)$ を代入して $a$ を求めましたが、ほかの点でもだいじょうぶです。グラフ上にある点の座標を代入すれば、どこをいれても全部おなじ答えになります。ただ、原点だけはいれちゃダメです。

＜エについて＞
エのグラフは、点$(1, \ -1)$ を通っています。なので、$x=1, \ y=-1$ を $a=\cfrac{y}{x}$ に代入して $a$ を求めます。
$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-1}{1}=-1$
これで $a=-1$ だと求められました。なので答えは $y=-x$ です。
ここでは点$(1, \ -1)$ を代入して $a$ を求めましたが、ほかの点でもだいじょうぶです。グラフ上にある点の座標を代入すれば、どこをいれても全部おなじ答えになります。ただ、原点だけはいれちゃダメです。

「反比例」といわれたら、答えの形は $y=\cfrac{a}{x}$ で、 $a$ を求めるのが目標になります。$a$ の求め方は、$a=xy$ です。$x$ と $y$ をかけちゃえばいいんです。比例よりこっちのほうがもっとかんたん。
$a=xy=-4\times3=-12$

「反比例」といわれたら、式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ で、 $a$ を求めるのが目標になります。$a$ の求め方は、$a=xy$ です。
$a=-6\times5=-30$
$a$ が求められたら、$x=10$ のときの $y$ の値を求めていきます。
$y=-\cfrac{30}{x}$ に $x=10$ を代入する
$y=-\cfrac{30}{10}=-3$

①反比例のグラフをかくときは、まず表をつくります。表をつくるところからはじめなきゃならんのです。めんどくさいのです。あきらめてください。グラフ用紙のマス目が $+6$ から $-6$ まであるので、$x$ が $+6$ から $-6$ までのあいだで、$x$ と $y$ がどちらも整数になるところをかんがえて、表をかきます。
　　$y=\cfrac{6}{x}$ \begin{array}{c|ccccccccccc} \hline \small{x}&\cdots&\small{-6}&\small{-3}&\small{-2}&\small{-1}&\small{\phantom{-}0}&\small{\phantom{-}1}&\small{\phantom{-}2}&\small{\phantom{-}3}&\small{\phantom{-}6}&\cdots\\ \hline \small{y}&\cdots&\small{-1}&\small{-2}&\small{-3}&\small{-6}&\phantom{-}\times&\small{\phantom{-}6}&\small{\phantom{-}3}&\small{\phantom{-}2}&\small{\phantom{-}1}&\cdots&\\ \hline \end{array} 表をかいたらグラフ用紙に点をとっていきます。とれる点をすべてとったら、双曲線になるように、点をむすびます。比例定数が正のとき($a\gt 0$)のときは、座標平面の右上と左下に双曲線をひくことになります。



②これもまず表をつくります。$x$ が $+6$ から $-6$ までのあいだで、$x$ と $y$ がどちらも整数になるところをかんがえて、表をかきます。
　　$y=-\cfrac{4}{x}$ \begin{array}{c|ccccccccc} \hline \small{x}&\cdots&\small{-4}&\small{-2}&\small{-1}&\small{\phantom{-}0}&\small{\phantom{-}1}&\small{\phantom{-}2}&\small{\phantom{-}4}&\cdots\\ \hline \small{y}&\cdots&\small{\phantom{-}1}&\small{\phantom{-}2}&\small{\phantom{-}4}&\phantom{-}\times&\small{-4}&\small{-2}&\small{-1}&\cdots&\\ \hline \end{array} 表をかいたらグラフ用紙に点をとっていきます。とれる点をすべてとったら、双曲線になるように、点をむすびます。比例定数が負のとき($a\lt 0$)のときは、座標平面の左上と右下に双曲線をひくことになります。

　双曲線なのだから、反比例のグラフです。反比例のグラフについて、「$y$ を $x$ の式で表しなさい」といわれたら、式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ で、$a$ を求めるのが目標となります。$a$ の求め方は、$a=xy$ です。$x$ と $y$ をかければよいです。グラフ上にある、どこかカドを通っているところをさがして、その座標を利用します。

＜アについて＞
アのグラフは、点$(3, \ 3)$ を通っています。なので、$x=3, \ y=3$ を $a=xy$ に代入して $a$ を求めます。
$a=xy=3\times3=9$
これで $a=9$ だと求められました。なので答えは $y=\cfrac{9}{x}$ です。
ここでは点$(3, \ 3)$ を代入して $a$ を求めましたが、ほかの点でもだいじょうぶです。グラフ上にある点の座標を代入すれば、どこをいれても全部おなじ答えになります。というかこの問題の場合は、あとはいれるとしたら $(-3, \ -3)$ しかありませんけど。
＜イについて＞
イのグラフは、点$(5, \ -2)$ を通っています。なので、$x=5, \ y=-2$ を $a=xy$ に代入して $a$ を求めます。
$a=xy=5\times(-2)=-10$
これで $a=-10$ だと求められました。なので答えは $y=-\cfrac{10}{x}$ です。
ここでは点$(5, \ -2)$ を代入して $a$ を求めましたが、ほかの点でもだいじょうぶです。グラフ上にある点の座標を代入すれば、どこをいれても全部おなじ答えになります。

コピー用紙の枚数と重さは比例します。
比例のときの式の形は $y=ax$ で、$a$ を求めるのが目標になります。$a$ の求め方は $a=\cfrac{y}{x}$ です。
コピー用紙の枚数を $x$ 枚、重さを $y$ ｇとして、 $40$ 枚の重さが $100$ ｇなのですから、
$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{800}{350}=\cfrac{16}{7}$
なので、$y=\cfrac{16}{7}x$

①の問題の答えを利用して、$x$ が $290$ のときの $y$ を求めればよいです。
$y=\cfrac{16}{7}x$ に $x=224$ を代入して、
$y=\cfrac{16}{7}\times224=512$

速さと時間は反比例します。
反比例のときの式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ で、$a$ を求めるのが目標になります。$a$ の求め方は $a=xy$ です。
速さを分速 $x$ ｍ、時間を $y$ 分として、分速 $120$ ｍときにかかる時間が $9$ 分なのですから、
$a=xy=120\times9=1080$
なので、$y=\cfrac{1080}{x}$

①の問題の答えを利用して、$x$ が $80$ のときの $y$ を求めればよいです。
$y=\cfrac{1080}{x}$ に $x=80$ を代入して、
$y=\cfrac{1080}{80}=\cfrac{27}{2}$

$速さ=\cfrac{距離}{時間}$です。
グラフで、カドを通っているところをさがします。$(2, \ 100)$ のところを通っています。$2$ 分で $100$ ｍ進んだということですから、
$\cfrac{100}{2}=50$ ｍ/分。

分速 $50$ ｍならば、 $2$ 分で $100$ ｍ進むことになります。グラフ上で、原点をスタート地点として、右に $1$ マスいって縦に $1$ マスいくように点をとっていきます。このグラフ用紙だと、カドとカドをぜんぶ通っていくようになるわけですが。そしてそこをむすびます。

$2$ 人のグラフ上で、縦に $600$ ｍ離れるところをさがします。縦に $6$ マスぶん離れるところです。もしちょうどいいところがない場合は、計算から求めていくことになりますが、この問題にはちょうどいいところがあります。$6$ 分後のところです。

$2$ 人のグラフ上で、 $600$ ｍのところを弟が通過したあと、何分後に兄が通過するを確認します。もし、ちょうどカドを通っていない場合は計算から求めていくことになりますが、この問題はちょうどカドとカドを通っています。 $4$ マスぶん離れています。なので $8$ 分後です。

三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。 $\triangle ABP$ は、$BP$ を底辺、$AB$ を高さとみることができますので、その面積 $y$ は
$y=BP\times AB\times\cfrac{1}{2}=x\times8\times\cfrac{1}{2}=4x$

$BP$ の長さは、$0cm$ 以上 $10cm$ 以下です。
なので $\triangle ABP$ の面積は、$BP=0$ のとき最小で、$0$ です。$BP=10$ のとき最大で、$10\times8\times\cfrac{1}{2}=40$ です。

①の答えから、比例のグラフをかくことになります。$x=1$ のとき $y=4$ です。$(1, \ 4)$ という座標はグラフのカドになっています。というわけで、原点をスタート地点として、右に $1$ マスいって縦に $2$ マスいく点をグラフ上にとっていき、定規でむすびます。
注意点があります。グラフは点$ (10, \ 40)$ のところでとめてください。そこから先をかいてはいけません。かいてあるとバツになります。$x$ や $y$ の値に範囲があるときは、それを考えてグラフをかかなくちゃなりません。気をつけてください。

$y=30$ となるところの座標がグラフ上でちょうどカドになっていればいいのですが、なっていません。こういう場合は計算して求めていきます。
$y=4x$ の $y$ に $30$ を代入して、 \begin{eqnarray*} 30&=&4x\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ 4x&=&30\\ x&=&\cfrac{30}{4}=\cfrac{15}{2} \end{eqnarray*}