\begin{eqnarray*} &①& 5+7\times(-3)\\ &=& 5-21\\ &=&-16 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& \cfrac{2}{5}-1+\cfrac{1}{3}\\ &=& \cfrac{6}{15}-\cfrac{15}{15}+\cfrac{5}{15}\\ &=& -\cfrac{4}{15} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &③& 6\times3-(-4)^2\\ &=& 6\times3-16\\ &=&18-16\\ &=&2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& 4(5a-3b)-5(6a-2b)\\ &=& 20a-12b-30a+10b\\ &=& 20a-30a-12b+10b\\ &=& -10a-2b \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑤& \cfrac{x-3y}{4}-\cfrac{3x-4y}{6}\\ &=& \cfrac{3(x-3y)-2(3x-4y)}{12}\\ &=& \cfrac{3x-9y-6x+8y}{12}\\ &=& \cfrac{3x-6x-9y+8y}{12}\\ &=& \cfrac{-3x-y}{12} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& 25ab^2\div(-5ab)\\ &=& -\cfrac{{}^5\bcancel{25}\bcancel{a}\bcancel{b}b}{\bcancel{5}\bcancel{a}\bcancel{b}}\\ &=&-5b \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑦& -18x\div(-72xy)\times16y^2\\ &=& \cfrac{18x\times16yy}{72xy}\\ &=& \cfrac{\bcancel{18}\bcancel{x}\times{}^4\bcancel{16}\bcancel{y}y}{{}^{\bcancel{4}}\bcancel{72}\bcancel{x}\bcancel{y}}\\ &=& 4y \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑧& 15x\div\cfrac{30}{7}x^2y^2\times\cfrac{4}{21}y^2\\ &=& \cfrac{15x}{1}\div\cfrac{30xxyy}{7}\times\cfrac{4yy}{21}\\ &=& \cfrac{15x}{1}\times\cfrac{7}{30xxyy}\times\cfrac{4yy}{21}\\ &=& \cfrac{\bcancel{15}\bcancel{x}}{1}\times\cfrac{\bcancel{7}}{{}^{\bcancel{2}}\bcancel{30}\bcancel{x}x\bcancel{y}\bcancel{y}}\times\cfrac{{}^2\bcancel{4}\bcancel{y}\bcancel{y}}{{}^3\bcancel{21}}\\ &=&\cfrac{2}{3x} \end{eqnarray*}

①番　代入法で、②の式を①の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} -x+8y+25=-23\quad…①\\ -\cfrac{1}{4}x=y\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の-\cfrac{1}{4}xを①のyに代入$ \begin{eqnarray*} -x+8\times\left(-\cfrac{1}{4}x\right)+25&=&-23\\ -x-2x+25&=&-23\\ -3x&=&-48\\ x&=&16 \end{eqnarray*} $x=16を②に代入$ \begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{4}\times(16)&=&y\\ -4&=&y \\ \left\{ \begin{array}{l} x=16\\ y=-4 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ②番　①の式のかっこをはずし、整理します。加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 2(x-2y)=-y+1\quad①\\ 5x-7y=1\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①を整理$ \begin{eqnarray*} 2(x-2y)&=&-y+1\\ 2x-4y&=&-y+1\\ 2x-4y+y&=&1\\ 2x-3y&=&1\quad…③ \end{eqnarray*} $②\times2 \ - \ ③\times5$ \begin{eqnarray*} 10x-14y=\phantom{-}2\\ \underline{-) \quad 10x-15y=\phantom{-}5}\\ y=-3 \end{eqnarray*} $y=-3を③に代入$ \begin{eqnarray*} 2x-3\times(-3)&=&1\\ 2x+9&=&1\\ 2x&=&-8\\ x&=&-4 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-4\\ y=-3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

③番　①の式を $6$ 倍して分母をはらいます。加減法で、$y$ を消去して解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{1}{3}x+\cfrac{5}{2}y=12\quad…①\\ 5x+6y=-9…\quad② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times6$ \begin{eqnarray*} 2x+15y&=&72\quad…③ \end{eqnarray*} $②\times5 \ - \ ③\times2$ \begin{eqnarray*} 25x+30y=-45\\ \underline{-) \quad 4x+30y=\phantom{1}144}\\ 21x\phantom{+30y}=-189\\ x=-9\phantom{18} \end{eqnarray*} $x=-9を②に代入$ \begin{eqnarray*} 5\times(-9)+6y&=&-9\\ -45+6y&=&-9\\ 6y&=&36\\ y&=&6 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-9\\ y=6 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ④番　まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくって整理し、②とします。①の式と②の式を連立させ、$x$ の係数をそろえて加減法で解きます。
\begin{eqnarray*} && \ 3x+2y=9x+5y-3=3 \end{eqnarray*} $まんなかをかくした式をたてる$ \begin{eqnarray*} 3x+2y&=&3\quad…① \end{eqnarray*} $左側をかくした式をたてて整理する$ \begin{eqnarray*} 9x+5y-3&=&3\\ 9x+5y&=&6\quad…② \end{eqnarray*} $①と②を連立させる$ \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=3\quad…①\\ 9x+5y=6\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times3 \ - \ ②\times2$ \begin{eqnarray*} 9x+6y=9\\ \underline{-) \quad 9x+5y=6}\\ y=3 \end{eqnarray*} $y=3を①に代入$ \begin{eqnarray*} 3x+2\times(3)&=&3\\ 3x+6&=&3\\ 3x&=&-3\\ x&=&-1 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ y=3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$1$ 次関数 $y=ax+b$ で変化の割合をきかれたときは、$a$ を答えといてください。計算もなんもありません。$a$ を答えておけばいいんです。テストのときはそうやっちゃってください。

$yの増加量=xの増加量\times変化の割合$ です。
この問題の場合、$x$ の値が $-4$ から $5$ まで増加したのですから、$x$ の増加量は $9$ です。
変化の割合は $\cfrac{2}{3}$ です。なので、
\begin{eqnarray*} yの増加量&=&xの増加量\times変化の割合\\ &=&9\times\cfrac{2}{3}\\ &=&6 \end{eqnarray*}

「$x$ の変域が $p \leqq x \leqq q$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-6 \leqq x \leqq 3$ の $-6$ と $3$ をそれぞれ問題の $y=\cfrac{2}{3}x-4$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-6$ を $y=\cfrac{2}{3}x-4$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{2}{3}\times(-6)-4\\ &=&-4-4\\ &=&-8\\ \end{eqnarray*} 次に、 $x=3$ を $y=\cfrac{2}{3}x-4$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{2}{3}\times3-4\\ &=&2-4\\ &=&-2\\ \end{eqnarray*} これで、$-8$ と $-2$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。$$-8 \leqq y \leqq -2$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-3$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-3x+b$$ となります。あと、「点$(2,-5)$を通る」というのは、$x=2$ のとき $y=-5$ という意味です。これをこの $y=-3x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -5&=&-3\times2+b\\ -5&=&-6+b\\ -5+6&=&b\\ 1&=&b \end{eqnarray*} $b$ は右辺においたままにして解いていくのがおすすめです。どうしてもなじめなかったら由緒正しく $b$ を左辺にもってって解いてもいいです。ただその場合、符号でまちがえるのをとてもよく見るので、注意してください。
ともかく、これでめでたく $a=-3$ , $b=1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-3x+1$$

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
1次関数のときは \(a=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)だから、この問題の場合は $a=\cfrac{-3}{2}=-\cfrac{3}{2}$ となります。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=-\cfrac{3}{2}x+b$$ となります。 $x=-2$ , $y=1$ をこの $y=-\cfrac{3}{2}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 1&=&-\cfrac{3}{2}\times(-2)+b\\ 1&=&3+b\\ 1-3&=&b\\ -2&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{3}{2}$ , $b=-2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{3}{2}x-2$$

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y$ 切片というのは $b$ のことです。だから $b=3$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると $$y=ax+3$$ となります。 $x=-2$ , $y=4$ をこの $y=ax+3$ に代入して、 $a$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 4&=&-2a+3\\ 2a&=&3-4\\ 2a&=&-1\\ a&=&-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{1}{2}$ , $b=3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{2}x+3$$

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-10,-1),(15,4)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{4-(-1)}{15-(-10)}\\ &=&\cfrac{5}{25}\\ &=&\cfrac{1}{5}\\ \end{eqnarray*} これで $a=\cfrac{1}{5}$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=\cfrac{1}{5}x+b$$ ここに、 $(-10,-1),(15,4)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。今回は、 $(15,4)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} 4&=&\cfrac{1}{5}\times15+b\\ 4&=&3+b\\ 4-3&=&b\\ 1&=&b \end{eqnarray*} これで $a=\cfrac{1}{5}$ , $b=1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{5}x+1$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、両方ためして、好きなほうでやってください。連立方程式をたててやるやり方は、次の問題で説明します。

まず、$y$ を $x$ の式で表してしまいましょう。そのために、$x$ と $y$ がわかっている組を $2$ 組、見つけます。必ず $2$ 組はあるはずです。この問題の場合は、$x=-3$ のとき $y=5$, $x=1$ のとき $y=-3$ というのがありますね。これで $a$ を求めることができます。$(-3, 5), (1, -3)$ だと思ってもいいです。$a$ が求まりますよね？
$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ を使って、
$a=\cfrac{-3-5}{1-(-3)}=\cfrac{-8}{4}=-2$
$y=-2x+b$ に $(1,-3)$ を代入して、 \begin{eqnarray*} -3&=&-2+b\\ -3+2&=b\\ -1&=&b \end{eqnarray*} これで、式は $y=-2x-1$ だと求められました。あとはアとイとウをだしていきましょう。
アは $x=-7$ のときの $y$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} y&=&-2\times(-7)-1=14-1=13 \end{eqnarray*} イは $y=-1$ のときの $x$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} -1&=&-2x-1\\ 2x&=&-1+1\\ 2x&=&0\\ x&=&0 \end{eqnarray*} ウは $y=-13$ のときの $x$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} -13&=&-2x-1\\ 2x&=&-1+13\\ 2x&=&12\\ x&=&6 \end{eqnarray*} これですべて求まりました。答えを書きましょう。
ア…$13$, イ…$0$, ウ…$6$,　式 $y=-2x-1$

$①$ 切片が $-2$ なので、$y$ 軸の $-2$ をスタート地点にします。傾きが $\cfrac{2}{3}$ なので、右に $3$ 歩行って上に $2$ 歩行く点をとっていきます。点を定規で結びます。
$②$ まず式を $y$ について解きます。 \begin{eqnarray*} 6x-2y&=&-4\\ -2y&=&-6x-4\quad両辺に-1をかける\\ 2y&=&6x+4\quad両辺に\cfrac{1}{2}をかける\\ y&=&\cfrac{6}{2}x+\cfrac{4}{2}\\ y&=&3x+2\\ \end{eqnarray*} これで $y=ax+b$ の形になったので、あとはこのグラフをかけばよいです。
$③$ $y$ 軸に平行な線です。たて線です。$x$ 軸の $-1$ を通るようにします。

$2$ 直線の交点は連立方程式の解です。ア、イの式を連立方程式にして \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{2}{3}x+4\quad…①\\ y=-\cfrac{4}{3}x-2\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} これを解けばいいです。解き方は、この手の連立方程式は代入法で、右辺 $=$ 右辺の式をたてて、$x$ を求めていきましょう。関数の問題でよく使うパターンです。 \begin{eqnarray*} 代入法で、右辺 &=& 右辺の式にする。\\\\ \cfrac{2}{3}x+4&=&-\cfrac{4}{3}x-2\quad(両辺に\times3)\\ 2x+12&=&-4x-6\\ 2x+4x&=&-6-12\\ 6x&=&-18\\ x&=&-3 \end{eqnarray*} $x=-3を①に代入$ \begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{2}{3}\times(-3)+4\\ &=&-2+4\\ &=&2 \\\\ 答え\\ (-3, \ 2) \end{eqnarray*} ※座標をきかれているのだから、かならず座標の答え方で答えましょう。

三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$」です。 $AB$ を底辺とします。$P$ から $AB$ におろした垂線と $AB$ との交点を $Q$ とでもしておきます。すると $PQ$ が高さということになります。それぞれの長さを求めて面積をだしましょう。

＜$AB$ について＞
点 $A$ の座標は、直線ア $y=\cfrac{2}{3}x+4$ の切片ですから、$(0, \ 4)$ です。
点 $B$ の座標は、直線イ $y=-\cfrac{4}{3}x-2$ の切片ですから、$(0, \ -2)$ です。
なので、$AB$ の長さは $4+2=6$ です。点 $B$ の $y$ 座標は $-2$ ですが、長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

＜$PQ$ について＞
$PQ$ の長さは、点 $P$ の $x$ 座標をみればよいです。点 $P$ の $x$ 座標は $-3$ ですから、$PQ$ の長さは $3$ です。長さの話なのですから、絶対値でいうようにしましょう。

これで底辺と高さがわかりました。では面積をだしましょう。 $$6\times3\times\cfrac{1}{2}=9$$ ※答えがでたあと、$9cm^2$ とかいうふうに、やみくもになんにでも単位をつけて答えてしまうひとがいますが、なんでもつけてはいけません。問題によります。この問題は単位をつけてはいけません。問題のどこにも $cm$ とはかかれていないからです。こういうときは答えに単位をつけてはいかんのです。気をつけて。

点 $P$ の $x$ 座標は $-2$ だと問題にかかれています。あとは $y$ 座標がわかればよいです。また、点 $P$ は直線ア上の点です。アの式はわかっているので、この式を使えば $y$ 座標が求められます。 \begin{eqnarray*} y&=&x-4 に、x=-2を代入\\\\ y&=&-2-4\\ &=&-6 \end{eqnarray*} これで $y=-6$ だとわかりました。なので答えは $(-2, \ -6)$ です。

イの式は、点 $B(-10, \ 0)$ を通っています。また、点 $P$ も通っているのですが、その座標は $(1)$ の問題で $(-2, \ -6)$ だと求めました。この $2$ 点を通る直線の式だということでやれば、イの式がでます。

直線の式を求めなさいといわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標になります。

$2$ 点 $(-10, \ 0), \ (-2, \ -6)$ を通る直線の式を求めます。 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y-y}{x-x}\\ &=&\cfrac{0-(-6)}{-10-(-2)}=\cfrac{6}{-8}=-\cfrac{3}{4}\\\\ y&=&-\cfrac{3}{4}x+bにx=-10,y=0 を代入する\\ 0&=&-\cfrac{3}{4}\times(-10)+b\\ 0&=&\cfrac{15}{2}+b\\ -\cfrac{15}{2}&=&b\\ \end{eqnarray*} これで $a$ と $b$ がでました。答えは $y=-\cfrac{3}{4}x-\cfrac{15}{2}$ です。

三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$」です。 $AB$ を底辺とします。$P$ から $x$ 軸におろした垂線と $x$ 軸との交点を $Q$ とでもしておきます。すると $PQ$ が高さということになります。それぞれの長さを求めて面積をだしましょう。

＜$AB$ について＞
点 $A$ の座標は、直線アと $x$ 軸との交点だということで求めます。
ここでポイントがあります。$x$ 軸上の点というのは、$y$ 座標がかならず $0$ です。あたりまえです。$y$ がかならず $0$ なんです。このことを利用して、アの式に $y=0$ を代入すれば、点 $A$ の $x$ 座標が求められます。 \begin{eqnarray*} y&=&x-4にy=0 を代入\\ 0&=&x-4\\ 4&=&x \end{eqnarray*} なので点 $A$ の座標は、$(4, \ 0)$ です。
点 $B$ の座標は、$(-10, \ 0)$ です。
というわけで、$AB$ の長さは $4+10=14$ です。点 $B$ の $x$ 座標は $-10$ ですが、長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

＜$PQ$ について＞
$PQ$ の長さは、点 $P$ の $y$ 座標をみればよいです。点 $P$ の $y$ 座標は $-6$ ですから、$PQ$ の長さは $6$ です。これも長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

これで底辺と高さがわかりました。では面積をだしましょう。 $$14\times6\times\cfrac{1}{2}=42$$

$\angle x$ の対頂角は $62^{ \circ }$ です。
$\angle y=180-(62+32)=86$

$\angle x$ の同位角は $98^{ \circ }$ です。
$\angle y$ の同位角や錯角の反対側が $81^{ \circ }$ なのを利用します。
$y=180-81=99$

$x=69+47\\y+48=63+42\\58+77+z=180$

※補助線をひいて考えます。色のついた部分の大きさがおなじです。
※最後の問題は、$A+B+C=D$になります。よく出てくる形なので、「この形は $A+B+C=D$」とおぼえてしまいましょう。また、なぜそうなるのか説明しなさいという問題もよくあるので、説明できるようにしておきましょう。

※$x$ の求め方 \begin{eqnarray*} ○&=&a^{ \circ },×=b^{ \circ } とすると、\\ 2a+2b+76&=&180\\ 2a+2b&=&104 \quad \class{mathbg-r}{（両辺を\div2）} \\ a+b&=&52\\ x&=&180-(a+b)\\ &=&180-52=128 \end{eqnarray*} ※$y$ の求め方 \begin{eqnarray*} ○&=&a^{ \circ },×=b^{ \circ } とすると、\\ a+b+131&=&180\\ a+b&=&49 \quad \class{mathbg-r}{（両辺に\times2）} \\ 2a+2b&=&98\\ y&=&180-(2a+2b)\\ &=&180-98=82 \end{eqnarray*}

$180\times(15-2)=2340$

$1800\div180+2=12$

$\{180\times(20-2)\}\div20=3240\div20=162$

別解　(外角の和$=360^{ \circ }$を利用する)←おすすめ
$180-(360\div20)=180-18=162$

$360\div15=24$

$360\div15=24$

内角が$135^{ \circ }$ということは、外角は$45^{ \circ }$だから、 $360\div45=8$

$x=540-(90+111+147+81)\\ y=180-\{360-(69+47+58+53+71)\}$

$x=180-(34+39+23+42)$
五芒星(ごぼうせい)は色のついた $5$ つの角の和が $180^{ \circ }$ になるとおぼえてしまいましょう。また、なぜこの $5$ つを足すと $180^{ \circ }$ になるのかもよく問われるので、その理由の説明ができるようにしておきましょう。
$y=180-(43+28+49+30)$
$y$ も $x$ とおなじように考えてしまえばよいです。

グラフから、Aさんは $2$ 分で $100m$ 進んでいます。
速さ $=$ 道のり $\div$ 時間ですから、答えは $100\div2=50(m/秒)$ です。

〈式〉
三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。底辺を $BC$、高さを$PB$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $6$ です。
$P$ が動いた長さが $x$ なので、$PB$ の長さは $x$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=6\times x \times \cfrac{1}{2}=3x$ となります。
〈変域〉
$P$ が $B$ 上にあるときは、$x=0$ です。最小値は $0$ です。$P$ が $A$ 上にきたときは、$x=4$ です。最大値は $4$ です。