\begin{eqnarray*} &①& -25+10\div(-5)\\ &=&-25-2\\ &=& -27 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& (-4)-\{(-3)^2+6\times(-5)\}\\ &=& (-4)-\{9+6\times(-5)\}\\ &=& (-4)-(9-30)\\ &=& (-4)-(-21)\\ &=& -4+21\\ &=& 17 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &③& \cfrac{1}{3}-15\times\left(\cfrac{2}{3}-\cfrac{4}{5}\right)^2 \\ &=& \cfrac{1}{3}-15\times\left(\cfrac{10}{15}-\cfrac{12}{15}\right)^2 \\ &=& \cfrac{1}{3}-15\times\left(-\cfrac{2}{15}\right)^2 \\ &=& \cfrac{1}{3}-\bcancel{15}\times\cfrac{4}{\bcancel{15}\times15}\\ &=& \cfrac{1}{3}-\cfrac{4}{15}\\ &=& \cfrac{5}{15}-\cfrac{4}{15}\\ &=& \cfrac{1}{15} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& -4a+b-\cfrac{2a+3b}{2}\\ &=& \cfrac{-8a+2b}{2}-\cfrac{2a+3b}{2}\\ &=& \cfrac{-8a+2b-(2a+3b)}{2}\\ &=& \cfrac{-8a+2b-2a-3b}{2}\\ &=& \cfrac{-10a-b}{2}\\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑤& -\sqrt{20}+6\sqrt{10}\div4\sqrt{2}\\ &=&-2\sqrt{5}+\cfrac{^3\bcancel{6}\sqrt{^5\bcancel{10}}}{^2\bcancel{4}\sqrt{\bcancel{2}}}\\ &=&-2\sqrt{5}+\cfrac{3\sqrt{5}}{2}\\ &=&-\cfrac{4\sqrt{5}}{2}+\cfrac{3\sqrt{5}}{2}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& -\cfrac{5}{\sqrt{3}}+\sqrt{6}\times\sqrt{8}\\ &=&-\cfrac{5\sqrt{3}}{3}+\sqrt{48}\\ &=&-\cfrac{5\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}\\ &=&-\cfrac{5\sqrt{3}}{3}+\cfrac{12\sqrt{3}}{3}\\ &=&\cfrac{7\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} && 16-4x^2\\ &=&4(4-x^2)\\ &=&4(2+x)(2-x) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x-\cfrac{3y-1}{2}=-1\qquad…①\\ 6x+12y=5\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①の分母をはらって整理$ \begin{eqnarray*} x-\cfrac{3y-1}{2}&=&-1\quad(両辺に\times2)\\ 2x-3y+1&=&-2\\ 2x-3y&=&-3\qquad…③ \end{eqnarray*} $②+③\times4$ \begin{eqnarray*} 6x+12y=\phantom{-1}5\\ \underline{+) \quad 8x-12y=-12} \\ 14x\phantom{-112y}=-7\phantom{1}\\ x=-\cfrac{7}{14}\\ x=-\cfrac{1}{2}\phantom{1}\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-\cfrac{1}{2}を②に代入\\ 6\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)+12y&=&5\\ -3+12y&=&5\\ 12y&=&5+3\\ 12y&=&8\\ y&=&\cfrac{8}{12}\\ y&=&\cfrac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\cfrac{1}{2}\\ y=\cfrac{2}{3} \end{array} \right. \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 3x^2&-&5x-2=0\\ &2&次方程式の解の公式により\\ x&=&\cfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times3\times(-2)}}{2\times3}\\ &=&\cfrac{5\pm\sqrt{25+24}}{6}\\ &=&\cfrac{5\pm\sqrt{49}}{6}\\ &=&\cfrac{5\pm7}{6}\\ x&=&\cfrac{12}{6}, \ -\cfrac{2}{6}\\ x&=&2, \ -\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

長いすの数を $x$ 脚とすると、長いす $1$ 脚に $6$ 人ずつ座ると $5$ 人が座れないのだから、生徒の人数は、$6x+5$ 人。

また、長いす $1$ 脚に $7$ 人ずつ座ると $1$ 人だけ座った長いすが $1$ 脚できたのだから、生徒の人数は、$7x-6$ 人。

$6x+5=7x-6$ を解きます。 \begin{eqnarray*} 6x+5&=&7x-6\\ 6x-7x&=&-6-5\\ -x&=&-11\\ x&=&11 \end{eqnarray*} 長いすの数が $11$ 脚なので、生徒の人数は $6\times11+5=71$ 人。

昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにすると、 昨年度の生徒数は $850$ 人なのだから、$x+y=850$

男子の $8$ %減と、女子の $6$ %増をあわせたら、全体としては $12$ 人減っているのだから、$-\cfrac{8}{100}x+\cfrac{6}{100}y=-12$

この $2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=850\quad…①\\ -\cfrac{8}{100}x+\cfrac{6}{100}y=-12\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad-8x+6y&=&-1200\quad \class{mathbg-r}{（両辺を2で割る）}\\ -4x+3y&=&-600\quad…③ \end{eqnarray*} $

$①\times4 \ + \ ③$ \begin{eqnarray*} 4x+4y=\phantom{1}3400\\ \underline{+) \quad -4x+3y=-600}\\ 7y=\phantom{1}2800\\ y=\phantom{10}400 \end{eqnarray*} きかれているのは、今年度の男子と女子です。今年度の女子は、昨年度にくらべて $6$ %増えているのですから、 $$400\times1.06=424$$ また、今年度の生徒数は全体で $838$ 人ですから、今年度の男子の生徒数は、 $$838-424=414$$

\begin{eqnarray*} &&x^2-4x-45\\ &=&(x+5)(x-9)\\ &=&(2\sqrt{2}+2+5)(2\sqrt{2}+2-9)\\ &=&(2\sqrt{2}+7)(2\sqrt{2}-7)\\ &=&8-49\\ &=&-41 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2-4x-45\\ &=&(2\sqrt{2}+2)^2-4(2\sqrt{2}+2)-45\\ &=&8+8\sqrt{2}+4-8\sqrt{2}-8-45\\ &=&-41 \end{eqnarray*}

ア…階級の幅は、$10$ です。
イ…最頻値（モード）のふくまれる階級は $30$～$40$ のところで、度数は $4$ です。
ウ…$19$ 人の中央値は、$10$ 番目の生徒の得点です。$10$ 番目の生徒がふくまれるのは $40$～$50$ の階級です。その階級値は、 $$(40+50)\div2=45$$ こういうときの中央値（メジアン）は、階級値をいわなければいけません。なので、$45$ といわなければいけません。$40$～$50$ は誤りです。
エ…$70$ 点以上の生徒の度数は $4$ です。なのでその相対度数は、 $$4\div19=0.210\dots$$ 小数第二位を四捨五入すれば $0.2$ です。

$2$ つの箱から取り出した玉の積の表をかくとこうなります。 オレンジのところが、奇数です。 $$\cfrac{4}{12}=\cfrac{1}{3}$$

\begin{eqnarray*} \underline{2) \quad 150}\\ \underline{3) \quad \phantom{1}75}\\ \underline{5) \quad \phantom{1}25}\\ \quad\quad\phantom{25}5\\ \end{eqnarray*} 1. $150$ を素因数分解する
2.同じ数が $2$ 個あったら〇でかこむ
3.〇でかこまれなかった数をすべてかければそれが答え

というわけで、$5$ が〇でかこまれて、$2$ と $3$ が残るので、この問題の答えは $2\times3=6$

この問題のばあい、$n=6$ だとすると、$\sqrt{150\times6}=\sqrt{900}=30$ となります。

$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$
$y=ax^2$ に $x=-3, \ y=-\cfrac{1}{2}$ を代入して、 \begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{2}&=&a\times(-3)^2\\ -\cfrac{1}{2}&=&9a\quad両辺に\times2\\ -1&=&18a\\ -\cfrac{1}{18}&=&a \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{1}{18}x^2$ に $x=6$ を代入して、 \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{1}{18}\times6^2\\ &=&-\cfrac{1}{18}\times36\\ &=&-2\\ \end{eqnarray*}

手順１ $x$ の変域が $0$ をまたいでいるか。
この問題の場合は、$-3 \lt x \lt 6$ なので、$0$ をまたいでいます。

手順２ $x$ の変域が $0$ をまたいでいるのなら、$a$ はプラスかマイナスか。
この問題の場合は、$a$ は $-\cfrac{1}{3}$ なので、マイナスです。

手順３ $x$ の変域が $0$ をまたいでいて、$a$ がマイナスのときは、最大値が $0$ です。最小値は、$x$ の変域、 $-3 \leqq x \leqq 6$ の両はじの数のうち、$0$ から遠いほうを $y=-\cfrac{1}{3}x^2$ に代入してでてくる数です。$-3$ と $6$ は、どちらのほうが $0$ から遠いかといえば、もちろん $6$ です。この $6$ を $y=-\cfrac{1}{3}x^2$ に代入します。 $$y=-\cfrac{1}{3}×6^2=-\cfrac{1}{3}×36=-12$$ この $-12$ というのが、最小値です。答えはこうなります。 $$-12 \lt y \leqq 0$$ この問題で注意が必要なのは、最大値の $0$ は $\lt$ ではなく、$\leqq$ にすることです。この式をグラフにすると、右のようになります。$0$ はふくまれるので、$\leqq$ になります。

①$x^{ \circ }=59^{ \circ }+26^{ \circ }=85^{ \circ }$
②$x^{ \circ }=(360^{ \circ }-148^{ \circ }) \times\cfrac{1}{2}$
$=212^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=106^{ \circ }$
③図のように補助線をひいて考えます。円周角の定理から、色のついた部分はどちらも同じ大きさです。$x^{ \circ }=39^{ \circ }-27^{ \circ }=12^{ \circ }$
④半円の弧に対する円周角は$90^{ \circ }$ です。黄色の直角三角形で考えて、水色の部分は $180^{ \circ }-(90^{ \circ }+53^{ \circ })=37^{ \circ }$。水色の部分と $x$ は同じです。

⑤半円の弧に対する円周角は$90^{ \circ }$ です。黄色の直角三角形で考えて、$x^{ \circ }=180^{ \circ }-(90^{ \circ }+40^{ \circ })=50^{ \circ }$



⑥図のように補助線をひいて考えます。半円の弧の円周角は$90^{ \circ }$ です。また、水色の部分の大きさは同じです。なので、$x^{ \circ }=90^{ \circ }-47^{ \circ }=43^{ \circ }$


⑦図のように補助線をひいて考えます。水色の三角形と緑の三角形はどちらも二等辺三角形なので、底角が等しいです。また、黄色の部分の大きさは $61^{ \circ }$ の $2$ 倍なので $122^{ \circ }$ です。なので、
$x^{ \circ }=360^{ \circ }-122^{ \circ }=238^{ \circ }$
⑧水色の三角形は二等辺三角形になるので、底角が等しいです。またこの三角形の頂角は $59^{ \circ }\times2=118^{ \circ }$ です。なのでこの三角形で考えて、$x^{ \circ }=( 180^{ \circ }-118^{ \circ } )\times\cfrac{1}{2}=62^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=31^{ \circ }$
⑨色のついた三角形は二等辺三角形になるので、底角が等しいです。また、その頂角は $360^{ \circ }-103^{ \circ }\times2=360^{ \circ }-206^{ \circ }=154^{ \circ }$ となります。なので、
$x^{ \circ }=(180^{ \circ }-154^{ \circ })\times\cfrac{1}{2}=26^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=13^{ \circ }$

⑩色のついた部分の大きさは、$360^{ \circ }\times\cfrac{3}{8}=135^{ \circ }$
なので $x^{ \circ }=135^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=67.5^{ \circ }$

⑪色のついた部分の大きさは、$360^{ \circ }\times\cfrac{2}{5}=144^{ \circ }$
なので $x^{ \circ }=144^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=72^{ \circ }$

⑫弧の長さは、その弧に対する円周角の大きさに比例します。なので、$51^{ \circ }:x^{ \circ }=\stackrel{ \Large \frown }{ AB } : \stackrel{ \Large \frown }{ CD }=3:1$


⑬水色の部分の大きさは同じです。黄色の三角形で考えて、$x^{ \circ }+12^{ \circ }=31^{ \circ }$


⑭右の形で、$\angle A + \angle B + \angle C = \angle D$ というのを利用すると簡単です。
⑭の図で、色のついた部分の角の大きさは同じなので、$41^{ \circ }+x^{ \circ }+x^{ \circ }=83^{ \circ }$

①$\angle BAC=\angle BDC$ ですから、$4$ 点 $A,B,C,D$ は $1$つの円周上にあります。円周角の定理より、$\angle x=\angle DAC=51^{ \circ }$
②$\angle DAC=\angle DBC$ ですから、$4$ 点 $A,B,C,D$ は $1$つの円周上にあります。色のついた三角形で考えると、$\angle ABD+22^{ \circ }+61^{ \circ }+72^{ \circ }=180^{ \circ }$ ですから、$\angle ABD=25^{ \circ }$ です。んで、円周角の定理より、$\angle x=\angle ABD$ です。

①方べきの定理より、 \begin{eqnarray*} PA\times PB&=&PC\times PD\\ 4\times10&=&x\times 12\\ 12x&=&4\times10\\ x&=&\cfrac{4\times10}{12}=\cfrac{10}{3} \end{eqnarray*} ※$\triangle PAC$ ∽$\ \triangle PDB$ や、$\triangle PAD$ ∽$\ \triangle PCB$ で比例式をたててもいけます。好きなやり方でやってください。

②方べきの定理より、 \begin{eqnarray*} PA\times PB&=&PC\times PD\\ 8\times(8+11)&=&9\times(9+x)\\ 152&=&81+9x\\ 9x&=&152-81\\ 9x&=&71\\ x&=&\cfrac{71}{9} \end{eqnarray*} ※$\triangle PAC$ ∽$\ \triangle PDB$ や、$\triangle PAD$ ∽$\ \triangle PCB$ で比例式をたててもいけます。好きなやり方でやってください。

平行線の錯角なので、色のついた角の大きさは同じです。そして、円周角の定理より、$\angle ACB=\angle ADB$ です。なので、$\angle ACB=\angle DBE$ となります。

この問題は、円周角の定理を利用すればできるのですが、円に内接する四角形の性質を利用すれば、すごく簡単です。ていうか、即答できちゃう問題です。
円に内接する四角形の性質を利用するとラクになる問題がよく出題されるので、この性質はおぼえておきたいです。

接弦定理といわれてる定理がありまして、それは上の通りです。「接線と弦がつくる角の性質」というタイトルですが、これ、接弦定理というやつです。言葉でいうとややこしいですが、上の図の水色の角が等しくなります。接線と弦がつくる角と、その弦の弧がつくる円周角が等しくなります。
この定理により、この問題の緑の部分と赤の部分と水色の部分の角の大きさはそれぞれ等しいです。
なので $x=68$ です。
接弦定理も、知っているとすんなりできてしまう問題がよく出題されるので、おぼえておきたいです。ちょっとおぼえづらいです。図をよく見ておぼえてくださいね。

ア　$4^2=16, \ 6^2=36, \ 8^2=64$
$16+36\neq 64$ なので、アは直角三角形ではない
イ　$6^2=36, \ 8^2=64, \ 10^2=100$
$36+64=100$ なので、イは $10cm$ の辺を斜辺とする直角三角形
ウ　$(3\sqrt{3})^2=27, \ (4\sqrt{2})^2=32, \ (\sqrt{59})^2=59$
$27+32=59$ なので、ウは $\sqrt{59}cm$ の辺を斜辺とする直角三角形

①　$30^{ \circ }, \ 60^{ \circ }, \ 90^{ \circ }$ の直角三角形なので、$1:2:\sqrt{3}$ の比が使えます。 \begin{eqnarray*} x:2&=&\sqrt{2}:1 \\ x&=&2\sqrt{2} \end{eqnarray*}
②　$30^{ \circ }, \ 60^{ \circ }, \ 90^{ \circ }$ の直角三角形なので、$1:2:\sqrt{3}$ の比が使えます。 \begin{eqnarray*} x:\sqrt{3}&=&\sqrt{5}:2\\ 2x&=&\sqrt{3} \times \sqrt{5}=\sqrt{15} \\ x&=&\cfrac{\sqrt{15}}{2} \end{eqnarray*}
③　$30^{ \circ }, \ 60^{ \circ }, \ 90^{ \circ }$ の直角三角形なので、$1:2:\sqrt{3}$ の比が使えます。 \begin{eqnarray*} x:2&=&\sqrt{6}:\sqrt{3}\\ \sqrt{3}x&=&2\sqrt{6} \\ x&=&\cfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}\\ \end{eqnarray*}
④三角形の面積は、底辺$\times$高さ$\times \cfrac{1}{2}$ です。 また、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分します。
正三角形の $1$つの角の大きさは $60^{ \circ }$ です。
なので、$A$ から辺$BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $D$ とすると、$\triangle ABD$ は、$30^{ \circ }, \ 60^{ \circ }, \ 90^{ \circ }$ の直角三角形となり、$1:2:\sqrt{3}$ の辺の比が利用できることになります。
\begin{eqnarray*} AD:\sqrt{3}&=&\sqrt{3}:2\\ 2AD&=&3\\ AD&=&\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*} これで $AD$(高さ)が $\cfrac{3}{2}$ だと求められました。なので面積は、
$\sqrt{3}\times \cfrac{3}{2} \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{3\sqrt{3}}{4}$
※正三角形は、$1$ 辺の長さがわかれば、高さを求められます。なので、面積も求められます。このことは、入試でよく問われます。

①　直角二等辺三角形なので、$1:1:\sqrt{2}$ の比が使えます。 \begin{eqnarray*} x:\sqrt{2}&=&\sqrt{2}:1 \\ x&=&2 \end{eqnarray*}
②　直角二等辺三角形なので、$1:1:\sqrt{2}$ の比が使えます。 \begin{eqnarray*} x:1&=&\sqrt{3}:\sqrt{2}\\ \sqrt{2}x&=&\sqrt{3}\\ x&=&\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}
③　水色の三角形は直角二等辺三角形なので、$1:1:\sqrt{2}$ の比が使えます。 \begin{eqnarray*} x:\sqrt{2}&=&\sqrt{6}:1\\ x&=&\sqrt{12}=2\sqrt{3} \end{eqnarray*}
※正方形は、対角線で $2$つの三角形にわけると、$45^{ \circ }, \ 45^{ \circ }, \ 90^{ \circ }$ の合同な直角二等辺三角形になっています。

三角形の面積は底辺 $\times$ 高さ $ \times \cfrac{1}{2}$ です。また、二等辺三角形の頂角の二等分線をひいて、三角形を $2$つにわけると、合同な直角三角形ができています。
①　頂角$A$ の二等分線を底辺におろしたときの長さを $x$ とします。水色の三角形は直角三角形なので、 \begin{eqnarray*} x^2&=&9^2-7^2\\ &=&32\\ x&=&\pm \sqrt{32}=4\sqrt{2}\\ x&\gt&0 \ だから \\ x&=&4\sqrt{2}\\ \end{eqnarray*} なので、$\triangle ABC$ の面積は、$BC$ を底辺として、
$14 \times 4\sqrt{2} \times \cfrac{1}{2}=28\sqrt{2}$
②　頂角$A$ の二等分線を底辺におろしたときの長さを $x$ とします。水色の三角形は直角三角形なので、 \begin{eqnarray*} x^2&=&3^2-2^2\\ &=&5\\ x&=&\pm \sqrt{5}\\ x&\gt&0 \ だから \\ x&=&\sqrt{5}\\ \end{eqnarray*} なので、$\triangle ABC$ の面積は、$BC$ を底辺として、
$4 \times \sqrt{5} \times \cfrac{1}{2}=2\sqrt{5}$

台形の面積は、(上底$+$下底)$\times$高さ$\times \cfrac{1}{2}$ です。
①頂点$A$ から 辺$BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $E$ とすると、$\triangle ABE$ は直角三角形なので、三平方の定理が使えます。
また、四角形 $AECD$ は長方形になるので、$EC=3$ です。なので $BE$ の長さは、$8-3=5$ です。
$\triangle ABE$ で、$AE$ の長さを $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} x^2&=&7^2-5^2\\ &=&24\\ x&=&\pm \sqrt{24}=\pm 2\sqrt{6}\\ x&\gt&0 \ だから \\ x&=&2\sqrt{6}\\ \end{eqnarray*} これで台形の高さが求められました。面積をだしましょう。
$(3+8)\times 2\sqrt{6} \times \cfrac{1}{2}=11\sqrt{6}$

②頂点$A, \ D$ から辺 $BC$ に垂線をおろし、それぞれの交点を $E, \ F$ とします。すると$\triangle ABE$ は直角三角形なので、三平方の定理が使えます。
また、四角形 $AEFD$ は長方形なので、$AD=EF$ です。それから、$\triangle ABE \ \equiv \ \triangle DCF$ なので、$BE=CF$ です。なので、$BE=FC=(24-6)\times \cfrac{1}{2}=9$ となります。
$\triangle ABE$ で、$AE$ の長さを $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} x^2&=&15^2-9^2\\ &=&144\\ x&=&\pm \sqrt{144}=\pm 12\\ x&\gt&0 \ だから \\ x&=&12\\ \end{eqnarray*} これで台形の高さが求められました。面積をだしましょう。
$(6+24)\times 12 \times \cfrac{1}{2}=180$
※$AB=DC$ のような台形を等脚台形といいます。三平方の定理を使った求積問題でよくでてきます。