中3数学 3学期の計算 第1回 全33問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-8+5$
答え $-3$
② $(-2)^2\times(-5)-3\times(-2)^3$
答え $4$
\begin{eqnarray*} &&(-2)^2\times(-5)-3\times(-2)^3\\ &=&4\times(-5)-3\times(-8)\\ &=&-20+24\\ &=&4 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{3}\div\cfrac{5}{6}$
答え $-\cfrac{7}{15}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{3}\div\cfrac{5}{6}\\ &=&\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{3}\times\cfrac{6}{5}\\ &=&\cfrac{1}{3}-\cfrac{4}{5}\\ &=&\cfrac{5}{15}-\cfrac{12}{15}\\ &=&-\cfrac{7}{15} \end{eqnarray*}④ $2(4x+3)-3(5x-2)$
答え $-7x+12$
\begin{eqnarray*} &&2(4x+3)-3(5x-2)\\ &=&8x+6-15x+6\\ &=&-7x+12 \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{3x-2y}{4}-\cfrac{2x-3y}{2}$
答え $\cfrac{-x+4y}{4}\\\quad\left(-\cfrac{x-4y}{4},-\cfrac{1}{4}x+yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3x-2y}{4}-\cfrac{2x-3y}{2}\\ &=&\cfrac{3x-2y-2(2x-3y)}{4}\\ &=&\cfrac{3x-2y-4x+6y}{4}\\ &=&\cfrac{-x+4y}{4} \end{eqnarray*}⑥ $-(3x+1)(x-5)-2(x-2)^2$
答え $-5x^2+22x-3$
\begin{eqnarray*} &&-(3x+1)(x-5)-2(x-2)^2\\ &=&-(3x^2-15x+x-5)-2(x^2-4x+4)\\ &=&-(3x^2-14x-5)-2x^2+8x-8\\ &=&-3x^2+14x+5-2x^2+8x-8\\ &=&-5x^2+22x-3 \end{eqnarray*}⑦ $-\cfrac{3}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\times\sqrt{6}$
答え $\cfrac{3\sqrt{2}}{2}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{3}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\times\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{18}\\ &=&-\cfrac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}\\ &=&-\cfrac{3\sqrt{2}}{2}+\cfrac{6\sqrt{2}}{2}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}① $9m^2n-6mn^2+3mn$
答え $3mn(3m-2n+1)$
② $x^2-11x+24$
答え $(x-3)(x-8)$
③ $25x^2-60xy+36y^2$
答え $(5x-6y)^2$
④ $x^2-\cfrac{4}{9}y^2$
答え $\left(x+\cfrac{2}{3}y\right)\left(x-\cfrac{2}{3}y\right)$
⑤ $2x^2+4x-6$
答え $2(x+3)(x-1)$
\begin{eqnarray*} &&2x^2+4x-6\\ &=&2(x^2+2x-3)\\ &=&2(x+3)(x-1) \end{eqnarray*}① $\cfrac{2}{3}x-1=\cfrac{x+1}{4}$
答え $x=3$
\begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3}x-1&=&\cfrac{x+1}{4}\quad(\times12) \\ 8x-12&=&3x+3 \\ 8x-3x&=&3+12\\ 5x&=&15 \\ x&=&3 \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 3x+5y=4\\ 2(x-y)=y-10 \end{array}\right.$
答え $x=-2,y=2$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x+5y=4\qquad…①\\ 2(x-y)=y-10\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 2(x-y)&=&y-10\\ 2x-2y&=&y-10\\ 2x-2y-y&=&-10\\ 2x-3y&=&-10\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times2-③\times3$ \begin{eqnarray*} 6x+10y=\phantom{-3}8\\ \underline{-) \quad 6x-\phantom{1}9y=-30} \\ 19y=\phantom{-}38 \\ y=\phantom{-}2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=2を①に代入\\ 3x+5\times2&=&4\\ 3x+10&=&4\\ 3x&=&4-10\\ 3x&=&-6\\ x&=&-2 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $ 2x-y=x-5y=9 $
答え $x=4,y=-1$
$2x-y=x-5y=9$ のまんなかを隠した式をつくり、①とする。左側を隠した式をつくり、②とする。
①と②を連立方程式として解く。 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2x-y=9\qquad…①\\ x-5y=9\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①-②\times2$ \begin{eqnarray*} 2x-\phantom{10}y=\phantom{1}9\\ \underline{-) \quad 2x-10y=18} \\ 9y=-9 \\ y=-1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-1を①に代入\\ 2x-(-1)&=&9\\ 2x+1&=&9\\ 2x&=&9-1\\ 2x&=&8\\ x&=&4 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ y=-1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}
④ $x^2+10x-24=0$
答え $x=2 ,\ x=-12$
\begin{eqnarray*} x^2+10x-24&=&0 \\ (x-2)(x+12)&=&0\\ x&=&2,\ x=-12 \end{eqnarray*}⑤ $6x^2-9=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{2}$
\begin{eqnarray*} 6x^2-9&=&0 \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{3}\right)\\ 2x^2-3&=&0\\ 2x^2&=&3\\ x^2&=&\cfrac{3}{2}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{3}{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}⑥ $x^2=-8x-16$
答え $x=-4$
\begin{eqnarray*} x^2&=&-8x-16 \\ x^2+8x+16&=&0\\ (x+4)^2&=&0\\ x&=&-4 \end{eqnarray*}⑦ $\cfrac{1}{2}x^2=5x$
答え $x=0 ,\ x=10$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}x^2&=&5x\quad(両辺に\times2)\\ x^2&=&10x\\ x^2-10x&=&0\\ x(x-10)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=10 \end{eqnarray*}⑧ $(x-3)^2=12$
答え $x=3\pm 2\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} (x-3)^2&=&12 \\ x-3&=&\pm\sqrt{12}\\ x&=&3\pm 2\sqrt{3} \end{eqnarray*}⑨ $2x^2-2x-1=0$
答え $x=\cfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}$
$2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times2\times(-1)}}{2\times2}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{4+8}}{4}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{12}}{4}\\ &=&\cfrac{2\pm2\sqrt{3}}{4}\\ &=&\cfrac{1\pm\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}① $x$ グラムの分銅 $6$ 個と、 $y$ グラムの分銅 $1$ 個の重さの合計は、$20$ グラム未満である。この数量の関係を不等式で表しなさい。
②次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$\qquad 2x=\cfrac{2}{3}y-5\quad[y]$
答え $y=\cfrac{6x+15}{2}\\\left(3x+\cfrac{15}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} 2x&=&\cfrac{2}{3}y-5\quad(左辺と右辺をとりかえる） \\ \cfrac{2}{3}y-5&=&2x\quad(\times3) \\ 2y-15&=&6x\\ 2y&=&6x+15\\ y&=&\cfrac{6x+15}{2} \end{eqnarray*}③ $x=\sqrt{2}+5$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad x^2-10x+25$
答え $2$
\begin{eqnarray*} &&x^2-10x+25\\ &=&(x-5)^2\\ &=&(\sqrt{2}+5-5)^2\\ &=&(\sqrt{2})^2\\ &=&2 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2-10x+25\\ &=&(\sqrt{2}+5)^2-10(\sqrt{2}+5)+25\\ &=&2+10\sqrt{2}+25-10\sqrt{2}-50+25\\ &=&2 \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に比例し、$x=4$ のとき、$y=-8$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=6$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-8}{4}=-2\\ y=-2xに\ x=-3\ を代入する\\ y=-2\times(-3)=6$$⑤ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-\cfrac{1}{4}$ のとき、$y=-12$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-1$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-\cfrac{1}{4}\times(-12)=3\\ y=\cfrac{3}{x}\ に\ x=-3\ を代入する\\ y=\cfrac{3}{-3}=-1$$⑥ $2$ 点 $(-2, \ 4), \ (6, \ 0)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{2}x+3$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{0-4}{6-(-2)}=\cfrac{-4}{8}=-\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=6,\ y=0$ を代入 \begin{eqnarray*} 0&=&-\cfrac{1}{2}\times6+b\\ 0&=&-3+b\\ 3&=&b \end{eqnarray*}⑦ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=\cfrac{1}{2}$ のとき、$y=-\cfrac{1}{3}$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-12$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$$y=ax^2$ に $x=\cfrac{1}{2}, \ y=-\cfrac{1}{3}$ を代入 \begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{3}&=&a\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)^2\\ -\cfrac{1}{3}&=&\cfrac{1}{4}a\quad両辺に\times4\\ -\cfrac{4}{3}&=&a \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{4}{3}x^2$ に $ x=-3$ を代入する
$$y=-\cfrac{4}{3}\times(-3)^2=-\cfrac{4}{3}\times9=-12$$
⑧ 大小 $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、大、小のサイコロの出た目をそれぞれ $a, \ b$ とする。 $\sqrt{ab}$ が無理数となる確率を求めなさい。
⑨ 袋の中に赤玉が $3$ 個と白玉が $2$ 個と青玉が $1$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{4}{15}$
①，②，③，④，⑤, ⑥と、$6$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②と③が赤玉、④と⑤が白玉、⑥が青玉ということにします。①②③④⑤⑥という感じ。
んで、樹形図をかいてもいけます。または、サイコロの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、
$$\cfrac{8}{30}=\cfrac{4}{15}$$
$①$ $a$ の値を求めなさい。
答え
$a=\cfrac{1}{3}$
$y=ax^2$ が、 $(3 , 3)$ を通っているのですから、
$y=ax^2$ に $x=3, \ y=3$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
3&=&a\times3^2\\
3&=&9a\\
a&=&\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}
\end{eqnarray*}
$②$ 直線 $l$ の式を求めなさい。
答え
$y=\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{2}$
右の図のように、点 $A, \ B$ から $x$ 軸へ垂線をおろし、その交点をそれぞれ $D, \ E$ とします。$ AD /\!/ BE$ ですから、$\triangle CAD$ ∽$\ \triangle CBE$ になります。
こんなふうに、この問題は三角形の相似を利用して考えます。
$CA:AB=1:3$ なのですから、$CA:CB=1:4$ です。なので、$\triangle CAD$ と $\triangle CBE$ の相似比は、$1:4$ です。
なので、$AD:BE=1:4$ となります。
点 $B$ の $y$ 座標は $3$ なのですから、$BE=3$ です。なので、$AD=3\times\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}$ となります。点 $A$ の $y$ 座標は、$\cfrac{3}{4}$ です。
次に点 $A$ の $x$ 座標を求めます。①の問題で、この放物線の式は $y=\cfrac{1}{3}x^2$ だということがわかっています。この式に $y=\cfrac{3}{4}$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
\cfrac{3}{4}&=&\cfrac{1}{3}x^2\quad両辺に\times3\\
\cfrac{9}{4}&=&x^2\\
\pm\sqrt{\cfrac{9}{4}}&=&x\\
\pm\cfrac{3}{2}&=&x\\
\end{eqnarray*}
グラフから、$x\lt0$ ですから、$x=-\cfrac{3}{2}$ です。
これで点 $A$ の座標は $\left(-\cfrac{3}{2}, \ \cfrac{3}{4}\right)$ だとわかりました。直線 $l$ の式は、$2$ 点 $A\left(-\cfrac{3}{2}, \ \cfrac{3}{4}\right), \ B(3, \ 3)$ を通る直線の式、ということで求めていけばよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{3-\cfrac{3}{4}}{3-\left(-\cfrac{3}{2}\right)}\\
&=&\cfrac{3-\cfrac{3}{4}}{3+\cfrac{3}{2}}\\
&=&\cfrac{\cfrac{12}{4}-\cfrac{3}{4}}{\cfrac{6}{2}+\cfrac{3}{2}}\\
&=&\cfrac{\cfrac{9}{4}}{\cfrac{9}{2}}\\
&=&\cfrac{9}{4}\div\cfrac{9}{2}\\
&=&\cfrac{9}{4}\times\cfrac{2}{9}\\
&=&\cfrac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}
$y=\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=3,\ y=3$ を代入
\begin{eqnarray*}
3&=&\cfrac{1}{2}\times3+b\\
3&=&\cfrac{3}{2}+b\\
3-\cfrac{3}{2}&=&b\\
\cfrac{3}{2}&=&b
\end{eqnarray*}
中央値（メジアン）がふくまれる階級の相対度数を、小数第 $3$ 位を四捨五入して求めなさい。
答え
$0.19$
$31$ 人による記録ですから、その中央値（メジアン）は、$16$ 番目の生徒の記録です。
$16$ 番目の生徒がふくまれるのは、$20$～$25$ の階級ですから、度数は $6$ です。
なのでその相対度数は $\cfrac{6}{31}$ です。
\begin{eqnarray*}
6\div31=0.193...
\end{eqnarray*}
なので答えは $0.19$ です。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-3②4③-\cfrac{7}{15}④-7x+12\\ ⑤\cfrac{-x+4y}{4}\quad\left(-\cfrac{x-4y}{4},-\cfrac{1}{4}x+yも可\right)\\ ⑥-5x^2+22x-3⑦\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①3mn(3m-2n+1)②(x-3)(x-8)\\ ③(5x-6y)^2④\left(x+\cfrac{2}{3}y\right)\left(x-\cfrac{2}{3}y\right)\\ ⑤2(x+3)(x-1)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=3②x=-2, \ y=2\\ ③x=4, \ y=-1④x=2, \ x=-12\\ ⑤x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{2}⑥x=-4⑦x=0 ,\ x=10\\ ⑧x=3\pm2\sqrt{3}⑨x=\cfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①6x+y\lt20 ②y=\cfrac{6x+15}{2}\left(3x+\cfrac{15}{2}も可\right)\\ ③2 ④y=6⑤y=-1⑥y=-\cfrac{1}{2}x+3⑦y=-12\\ ⑧\cfrac{7}{9}⑨\cfrac{4}{15}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①a=\cfrac{1}{3} ②y=\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{2}\\ \boxed{\large{\ 6\ }}0.19 $