中3数学 冬休みの計算 第1回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-8-4\div(-2)$
答え $-6$
\begin{eqnarray*} &&-8-4\div(-2)\\ &=&-8+2\\ &=&-6 \end{eqnarray*}② $\cfrac{2}{5}-2+\cfrac{3}{10}$
答え $-\cfrac{13}{10}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{5}-2+\cfrac{3}{10}\\ &=&\cfrac{4}{10}-\cfrac{20}{10}+\cfrac{3}{10}\\ &=&-\cfrac{13}{10} \end{eqnarray*}③ $(-2)^3\times(-1)^2$
答え $-8$
\begin{eqnarray*} &&(-2)^3\times(-1)^2\\ &=&-8\times1\\ &=&-8 \end{eqnarray*}④ $(3x+1)-(2x-3)$
答え $x+4$
\begin{eqnarray*} &&(3x+1)-(2x-3)\\ &=&3x+1-2x+3\\ &=&x+4 \end{eqnarray*}⑤ $(8a^2b+12ab^2)\div\cfrac{4}{3}ab$
答え $6a+9b$
\begin{eqnarray*} &&(8a^2b+12ab^2)\div\cfrac{4}{3}ab\\ &=&(8a^2b+12ab^2)\times\cfrac{3}{4ab}\\ &=&8a^2b\times\cfrac{3}{4ab}+12ab^2\times\cfrac{3}{4ab}\\ &=&6a+9b \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{2x-3y}{6}-\cfrac{2x-4y}{9}$
答え $\cfrac{2x-y}{18}\\\quad\left(\cfrac{1}{9}x-\cfrac{1}{18}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x-3y}{6}-\cfrac{2x-4y}{9}\\ &=&\cfrac{3(2x-3y)-2(2x-4y)}{18}\\ &=&\cfrac{6x-9y-4x+8y}{18}\\ &=&\cfrac{2x-y}{18} \end{eqnarray*}⑦ $3(x-10)(x-5)$
答え $3x^2-45x+150$
\begin{eqnarray*} &&3(x-10)(x-5)\\ &=&3(x^2-15x+50)\\ &=&3x^2-45x+150 \end{eqnarray*}⑧ $\left(\cfrac{1}{3}a-2b\right)^2$
答え $\cfrac{1}{9}a^2-\cfrac{4}{3}ab+4b^2$
⑨ $(13x+8y)(13x-8y)$
答え $169x^2-64y^2$
⑩ $-\cfrac{6}{\sqrt3}+\sqrt{27}$
答え $\sqrt3$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{6}{\sqrt3}+\sqrt{27}\\ &=&-\cfrac{6\sqrt3}{3}+3\sqrt3\\ &=&-2\sqrt3+3\sqrt3\\ &=&\sqrt3 \end{eqnarray*}⑪ $2\sqrt6\div6\sqrt3\div4\sqrt2$
答え $\cfrac{1}{12}$
\begin{eqnarray*} &&2\sqrt6\div6\sqrt3\div4\sqrt2\\ &=&\cfrac{2\sqrt6}{6\sqrt3\times4\sqrt2}\\ &=&\cfrac{1}{12} \end{eqnarray*}⑫ $\left(3\sqrt3-4\right)^2$
答え $43-24\sqrt3$
\begin{eqnarray*} &&\left(3\sqrt3-4\right)^2\\ &=&27-24\sqrt3+16\\ &=&43-24\sqrt3 \end{eqnarray*}① $12a^2-15a$
答え $3a(4a-5)$
② $x^2-8x+12$
答え $(x-6)(x-2)$
③ $4x^2-20xy+25y^2$
答え $(2x-5y)^2$
④ $49x^2-y^2$
答え $(7x+y)(7x-y)$
⑤ $3x^2y-12xy+12y$
答え $3y(x-2)^2$
\begin{eqnarray*} &&3x^2y-12xy+12y\\ &=&3y(x^2-4x+4)\\ &=&3y(x-2)^2 \end{eqnarray*}① $\cfrac{3}{8}x-1=\cfrac{5}{2}x+\cfrac{7}{4}$
答え $x=-\cfrac{22}{17}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{8}x-1&=&\cfrac{5}{2}x+\cfrac{7}{4}\quad(\times8) \\ 3x-8&=&20x+14 \\ 3x-20x&=&14+8\\ -17x&=&22 \\ x&=&\cfrac{22}{-17}=-\cfrac{22}{17} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 4x-y=6x-2y+9\\ -5x+4y=30 \end{array}\right.$
③ $x^2-12x+36=0$
答え $x=6$
\begin{eqnarray*} x^2-12x+36&=&0 \\ (x-6)^2&=&0\\ x&=&6 \end{eqnarray*}④ $12x^2=9$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt3}{2}$
\begin{eqnarray*} 12x^2&=&9 \\ x^2&=&\cfrac{9}{12}=\cfrac{3}{4}\\ x&=&\pm \sqrt {\frac{\ 3\ }{\ 4\ }}=\pm \cfrac{\sqrt3}{\sqrt4}=\pm \cfrac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}⑤ $x^2=-3x$
答え $x=0 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} x^2&=&-3x \\ x^2+3x&=&0\\ x(x+3)&=&0\\ x&=&0,\ x=-3 \end{eqnarray*}⑥ $2x^2-3x-2=0$
答え $x=2,\ -\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times2\times(-2)}}{2\times2}\\ &=&\cfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}\\ &=&\cfrac{3\pm\sqrt{25}}{4}\\ &=&\cfrac{3\pm5}{4}\\ &=&\cfrac{8}{4},\ \cfrac{-2}{4}\\ &=&2,\ -\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=\cfrac{3}{2}x-5\quad[x]$
答え $x=\cfrac{2y+10}{3}\\\left(\cfrac{2}{3}y+\cfrac{10}{3}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{3}{2}x-5\quad(左辺と右辺をとりかえる） \\ \cfrac{3}{2}x-5&=&y\quad(\times2) \\ 3x-10&=&2y\\ 3x&=&2y+10\\ x&=&\cfrac{2y+10}{3} \end{eqnarray*}$x=\sqrt5-1$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-3x$
答え $9-5\sqrt5$
\begin{eqnarray*} &&x^2-3x\\ &=&(\sqrt5-1)^2-3(\sqrt5-1)\\ &=&5-2\sqrt5+1-3\sqrt5+3\\ &=&9-5\sqrt5 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=4$ のとき、$y=-36$ である。$x=-2$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=18$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-36}{4}=-9\\ y=-9xに\ x=-2\ を代入する\\ y=-9\times(-2)=18$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-\cfrac{1}{5}$ のとき、$y=15$ である。$x=-9$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{3}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-\cfrac{1}{5}\times15=-3\\ y=-\cfrac{3}{x}\ に\ x=-9\ を代入する\\ y=-\cfrac{3}{-9}=\cfrac{1}{3}$$⑤ $2$ 点 $(-2,\ 1),\ (3,\ 11)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=2x+5$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{11-1}{3-(-2)}=\cfrac{10}{5}=2\\ \end{eqnarray*} $y=2x+b$ に $x=-2,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&2\times(-2)+b\\ 1&=&-4+b\\ 5&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-3$ のとき、$y=18$ である。$x=5$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=50$
$2$ 乗に比例する式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{18}{(-3)^2}=\cfrac{18}{9}=2\\ y=2x^2\ に\ x=5 を代入する\\ y=2\times5^2=50$$⑦ $8$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$55$ 点、$15$ 点、$66$ 点、$19$ 点、$95$ 点、$88$ 点、$79$ 点、$84$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $72.5\ 点$
得点を低い順にならべると、$$15,\ 19,\ 55,\ 66,\ 79,\ 84,\ 88,\ 95$$ $8$ 人の中央値（メジアン）は $4$ 番目と $5$ 番目の平均だから、 $$(66+79)\div2=72.5$$
⑧ $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の差が $3$ より大きくなる確率を求めなさい。
$①$ $a$ の値を求めなさい。
答え
$a=\cfrac{1}{2}$
$y=ax^2$ が、 $(-2 , 2)$ を通っているのですから、
$y=ax^2$ に $x=-2, \ y=2$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
2&=&a\times(-2)^2\\
2&=&4a\\
a&=&\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
$②$ 点 $B$ の座標を求めなさい。
答え
$\left(3, \ \cfrac{9}{2}\right)$
2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。直線の式は $y=\cfrac{1}{2}x+3$ だと問題にかいてあります。放物線の式は、①の問題で求めたように、$y=\cfrac{1}{2}x^2$ です。なので、
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
y=\cfrac{1}{2}x+3\\
y=\cfrac{1}{2}x^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
を解けばいいです。代入法で、（右辺）＝（右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。
\begin{eqnarray*}
\cfrac{1}{2}x^2&=&\cfrac{1}{2}x+3\quad両辺に\times2\\
x^2&=&x+6\\
x^2-x-6&=&0\\
(x-3)(x+2)&=&0\\
x&=&3,\quad x=-2
\end{eqnarray*}
こんなふうに2つの $x$ が求められました。点 $A$ の $x$ 座標は $x=-2$ ですから、点 $B$ の $x$ 座標は $x=3$ のほうです。こんどは $B$ の $y$ 座標をだしていきましょう。使う式は $y=\cfrac{1}{2}x^2$ と $y=\cfrac{1}{2}x+3$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。なので計算がラクな $y=\cfrac{1}{2}x^2$ を使いましょう。
$x=3$ のとき
$$y=\cfrac{1}{2}×3^2=\cfrac{9}{2}$$
こうして、$x=3$ のとき $y=\cfrac{9}{2}$ というふうに、$x$ と $y$ の組が求められました。
$③$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。
答え
$\cfrac{15}{2}$
$\triangle OAB$ の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。
直線の $y$ 切片は $3$ です。赤の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標をみればよいです。なので、
$$5×3×\cfrac{1}{2}=\cfrac{15}{2}$$
$④$ 原点を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。
答え
$y=\cfrac{13}{2}x$
＜中線＞
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
なので、$AB$ の中点を求めて、そこと原点を通る直線の式を答えればよいです。
＜中点＞
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。
点 $A$ の座標は $(-2, \ 2),$ 点 $B$ の座標は $\left(3, \ \cfrac{9}{2}\right)$ です。なのでその中点を $M$ とすると、その座標は、
\begin{eqnarray*}
&&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{-2+3}{2}, \ \cfrac{2+\cfrac{9}{2}}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{\cfrac{4}{2}+\cfrac{9}{2}}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{\cfrac{13}{2}}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{13}{2}\div2\right)\\
&=&\left(\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{13}{2}\times\cfrac{1}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{13}{4}\right)\\
\end{eqnarray*}
分数の分母や分子にさらに分数がでてきてしまったときは、いったん割り算の式にして、ひっくり返してかけるようにすれば、分母や分子の分数がなくせます。
というわけで中点 $M$ の座標は $\left(\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{13}{4}\right)$ です。
では答えをだしていきましょう。原点と点 $M\left(\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{13}{4}\right)$ を通る直線の式を求めればよいです。原点を通る直線なのですから、比例の式をいえばよくて、答えの形は $y=ax$ です。
$y=ax$ に $x=\cfrac{1}{2}, \ y=\cfrac{13}{4}$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
\cfrac{13}{4}&=&\cfrac{1}{2}a\quad両辺に\times2\\
\cfrac{13}{2}&=&a
\end{eqnarray*}
これで $a$ がわかりました。では答えです。
$$y=\cfrac{13}{2}x$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-6②-\cfrac{13}{10}③-8④x+4\\ ⑤6a+9b⑥\cfrac{2x-y}{18}⑦3x^2-45x+150\\ ⑧\cfrac{1}{9}a^2-\cfrac{4}{3}ab+4b^2⑨169x^2-64y^2\\ ⑩\sqrt{3}⑪\cfrac{1}{12}⑫43-24\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①3a(4a-5)②(x-6)(x-2)\\ ③(2x-5y)^2④(7x+y)(7x-y)\\ ⑤3y(x-2)^2\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{22}{17}②x=-2,y=5\\ ③x=6④x=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}⑤x=0,-3\\ ⑥x=2,-\cfrac{1}{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{2y+10}{3}②9-5\sqrt{5}③y=18\\ ④y=\cfrac{1}{3}⑤y=2x+5⑥y=50⑦72.5点⑧\cfrac{1}{6}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①a=\cfrac{1}{2}②\left(3, \ \cfrac{9}{2}\right)③\cfrac{15}{2} ④y=\cfrac{13}{2}x $