才塾 定期テスト対策

中3数学 冬休みの計算 第4回 全35問

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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$6-8\div2$

答え $2$

\begin{eqnarray*} &&6-8\div2\\ &=&6-4\\ &=&2 \end{eqnarray*}

$\cfrac{1}{4}-2+\cfrac{2}{3}$

答え $-\cfrac{13}{12}$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{4}-2+\cfrac{2}{3}\\ &=&\cfrac{3}{12}-\cfrac{24}{12}+\cfrac{8}{12}\\ &=&-\cfrac{13}{12} \end{eqnarray*}

$(-3)^3\times(-2)^2$

答え $-108$

\begin{eqnarray*} &&(-3)^3\times(-2)^2\\ &=&-27\times4\\ &=&-108 \end{eqnarray*}

$(4x+3)-(x+6)$

答え $3x-3$

\begin{eqnarray*} &&4x+3-x-6\\ &=&4x-x+3-6\\ &=&3x-3 \end{eqnarray*}

$(15a^2b-10ab^2)\div\cfrac{5}{2}ab$

答え $6a-4b$

\begin{eqnarray*} &&(15a^2b-10ab^2)\div\cfrac{5}{2}ab\\ &=&(15a^2b-10ab^2)\times\cfrac{2}{5ab}\\ &=&15a^2b\times\cfrac{2}{5ab}-10ab^2\times\cfrac{2}{5ab}\\ &=&6a-4b \end{eqnarray*}

$\cfrac{3x-2y}{2}-\cfrac{2x-4y}{3}$

答え $\cfrac{5x+2y}{6}\\\quad\left(\cfrac{5}{6}x+\cfrac{1}{3}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3x-2y}{2}-\cfrac{2x-4y}{3}\\ &=&\cfrac{3(3x-2y)-2(2x-4y)}{6}\\ &=&\cfrac{9x-6y-4x+8y}{6}\\ &=&\cfrac{5x+2y}{6} \end{eqnarray*}

$3(x+4)(x-7)$

答え $3x^2-9x-84$

\begin{eqnarray*} &&3(x+4)(x-7)\\ &=&3(x^2-3x-28)\\ &=&3x^2-9x-84 \end{eqnarray*}

$(5x-3y)^2$

答え $25x^2-30xy+9y^2$

$\left(8x+\cfrac{1}{3}y\right)\left(8x-\cfrac{1}{3}y\right)$

答え $64x^2-\cfrac{1}{9}y^2$

$-\cfrac{10}{\sqrt5}+\sqrt{45}$

答え $\sqrt5$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{10}{\sqrt5}+\sqrt{45}\\ &=&-\cfrac{10\sqrt5}{5}+3\sqrt5\\ &=&-2\sqrt5+3\sqrt5\\ &=&\sqrt5 \end{eqnarray*}

$\sqrt{8}\div6\sqrt{48}\times4\sqrt24$

答え $\cfrac{4}{3}$

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{8}\div6\sqrt{48}\times4\sqrt24\\ &=&\cfrac{\sqrt{8}\times4\sqrt{24}}{6\sqrt{48}}\\ &=&\cfrac{4}{3} \end{eqnarray*}

$\left(5\sqrt2-3\right)^2$

答え $59-30\sqrt2$

\begin{eqnarray*} &&\left(5\sqrt2-3\right)^2\\ &=&50-30\sqrt2+9\\ &=&59-30\sqrt2 \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の式を因数分解しなさい。

$8xy+4y$

答え $4y(2x+1)$

$x^2+6x-40$

答え $(x+10)(x-4)$

$4x^2-20xy+25y^2$

答え $(2x-5y)^2$

$x^2-144y^2$

答え $\left(x+12y\right)\left(x-12y\right)$

$2x^2+12x+18$

答え $2(x+3)^2$

\begin{eqnarray*} &&2x^2+12x+18\\ &=&2(x^2+6x+9)\\ &=&2(x+3)^2 \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 次の①~⑥の方程式を解きなさい。

$\cfrac{3}{10}x-2=\cfrac{3}{5}x+\cfrac{5}{2}$

答え $x=-15$

\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{10}x-2&=&\cfrac{3}{5}x+\cfrac{5}{2}\quad(\times10) \\ 3x-20&=&6x+25 \\ 3x-6x&=&25+20\\ -3x&=&45 \\ x&=&\cfrac{45}{-3}=-15 \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 5x-7(x+y)=-17\\ 3x-2y=3y-21 \end{array}\right.$

答え $x=-2,\ y=3$

連立方程式計算式

$x^2-8x=-12$

答え $x=6,\ x=2$

\begin{eqnarray*} x^2-8x&=&-12 \\ x^2-8x+12&=&0\\ (x-6)(x-2)&=&0\\ x&=&6,\ x=2 \end{eqnarray*}

$3x^2-12=0$

答え $x=\pm2$

\begin{eqnarray*} 3x^2-12&=&0 \\ 3x^2&=&12 \\ x^2&=&\cfrac{12}{3}=4\\ x&=&\pm \sqrt4=\pm 2 \end{eqnarray*}

$4x^2=-5x$

答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{5}{4}$

\begin{eqnarray*} 4x^2&=&-5x \\ 4x^2+5x&=&0\\ x(4x+5)&=&0\\ x&=&0,\ x=-\cfrac{5}{4} \end{eqnarray*}

$2x^2-4x-3=0$

答え $x=\cfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}$

\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times2\times(-3)}}{2\times2}\\ &=&\cfrac{4\pm\sqrt{16+24}}{4}\\ &=&\cfrac{4\pm\sqrt{40}}{4}\\ &=&\cfrac{4\pm2\sqrt{10}}{4}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{10}}{2} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$y=-\cfrac{6}{5}x-6\quad[x]$

答え $x=\cfrac{-5y-30}{6}\\ \left(-\cfrac{5y+30}{6},\ -\cfrac{5}{6}y-5も可\right)$

\begin{eqnarray*} \cfrac{6}{5}x&=&-y-6 \quad(\times5) \\ 6x&=&-5y-30\\ x&=&\cfrac{-5y-30}{6} \end{eqnarray*}

$x=\sqrt5+3,\ y=\sqrt5-3$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x^2-y^2$

答え $12\sqrt5$

\begin{eqnarray*} &&x^2-y^2\\ &=&(\sqrt5+3)^2-(\sqrt5-3)^2\\ &=&5+6\sqrt5+9-(5-6\sqrt5+9)\\ &=&5+6\sqrt5+9-5+6\sqrt5-9)\\ &=&12\sqrt5 \end{eqnarray*} <さすがにこれは別解もやっときます> \begin{eqnarray*} &&x^2-y^2\\ &=&(x+y)(x-y)\\ &=&\{(\sqrt5+3)+(\sqrt5-3)\}\{(\sqrt5+3)-(\sqrt5-3)\}\\ &=&(\sqrt5+3+\sqrt5-3)(\sqrt5+3-\sqrt5+3)\\ &=&2\sqrt5\times6\\ &=&12\sqrt5 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=5$ のとき、$y=20$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-12$

比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{20}{5}=4\\ y=4x\ に\ x=-5 を代入する\\ y=4\times(-3)=-12$$

$y$ が $x$ に反比例し、$x=\cfrac{3}{4}$ のとき、$y=8$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-2$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=\cfrac{3}{4}\times8=6\\ y=\cfrac{6}{x}\ に\ x=-3\ を代入する\\ y=\cfrac{6}{-3}=-2$$

$2$ 点 $(-3,\ 11),\ (2,\ -4)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え $y=-3x+2$

直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-4-11}{2-(-3)}=\cfrac{-15}{5}=-3\\ \end{eqnarray*} $y=-3x+b$ に $x=-3,\ y=11$ を代入 \begin{eqnarray*} 11&=&-3\times(-3)+b\\ 11&=&9+b\\ 2&=&b \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-3$ のとき、$y=-18$ である。$x=4$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-32$

$2$ 乗に比例する式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-18}{(-3)^2}=\cfrac{-18}{9}=-2\\ y=-2x^2\ に\ x=4 を代入する\\ y=-2\times4^2=-32$$

$10$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$5$ 点、$11$ 点、$16$ 点、$18$ 点、$10$ 点、$6$ 点、$16$ 点、$8$ 点、$12$ 点、$9$ 点だった。このときの中央値(メジアン)を求めなさい。

答え $10.5\ 点$

得点を低い順にならべると、
$$5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 16,\ 16,\ 18$$ $10$ 人の中央値(メジアン)は $5$ 番目と $6$ 番目の平均だから、 $$(10+11)\div2=10.5$$

$2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が $7$ 以上になる確率を求めなさい。

答え $\cfrac{7}{12}$

確率表
出る目の和を表にするとこうなる。
オレンジ色のところが $7$ 以上。
$$\cfrac{21}{36}=\cfrac{7}{12}$$

放物線

$\boxed{\large{\ 5\ }}$ 右の図のように、関数 $y=-2x^2$ のグラフと直線 $l$ が $2$ 点 $A$,$B$ で交わっていて、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標はそれぞれ、$-2, \ 1$ である。このとき、以下の問いに答えなさい。





$①$ $2$ 点 $A, \ B$ の座標をそれぞれ求めなさい。

答え
$A(-2, \ -8)\quad B(1, \ -2)$

やりかた

$2$ 点とも、関数$y=-2x^2$ のグラフ上にあるのですから、この式を利用して、$x=-2$ のときの $y$ の値と、$x=1$ のときの $y$ の値をそれぞれ求めていけばよいです。
まず、$x=-2$ のとき
$y=-2x^2$ に $x=-2$ を代入して、 \begin{eqnarray*} y&=&-2\times(-2)^2=-8 \end{eqnarray*} 次に、 $x=1$ のとき
$y=-2x^2$ に $x=1$ を代入して、 \begin{eqnarray*} y&=&-2\times1^2=-2 \end{eqnarray*} これで、$x=-2$ のとき $y=-8, \ x=1$ のとき $y=-2$ というふに、$x$ と $y$ の $2$ つの組が求められました。

$②$ 直線 $l$ の式を求めなさい。

答え
$y=2x-4$

やりかた

$2$ 点 $(-2, \ -8), \ (1, \ -2)$ を通る直線の式を求めればよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-2-(-8)}{1-(-2)}=\cfrac{6}{3}=2\\ \end{eqnarray*} $y=2x+b$ に $x=1,\ y=-2$ を代入 \begin{eqnarray*} -2&=&2\times1+b\\ -2&=&2+b\\ -2-2&=&b\\ -4&=&b\\ \end{eqnarray*}

$③$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。

答え
$6$

やりかた

グラフ $\triangle OAB$ の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。
直線 $l$ の $y$ 切片は $-4$ なので、緑線の長さは $4$ です。赤の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標をみればよいです。なので、 $$3×4×\cfrac{1}{2}=6$$

$④$ 点 $B$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。

答え
$y=x-3$

やりかた

中線 <中線>
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
なので、$OA$ の中点を求めて、そこと点 $B$ を通る直線の式を答えればよいです。

<中点>
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。
点 $O$ の座標は $(0, \ 0),$ 点 $A$ の座標は $(-2, \ -8)$ です。なのでその中点を $M$ とすると、その座標は、 \begin{eqnarray*} &&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{0-2}{2}, \ \cfrac{0-8}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{-2}{2}, \ \cfrac{-8}{2}\right)\\ &=&(-1, \ -4)\\ \end{eqnarray*} というわけで中点 $M$ の座標は $(-1, \ -4)$ です。

中線 では答えをだしていきましょう。点 $B \ (1, \ -2)$ と点 $M \ (-1, \ -4)$ を通る直線の式を求めればよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標です。 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-4-(-2)}{-1-1}=\cfrac{-2}{-2}=1\\ \end{eqnarray*} $y=x+b$ に $x=1,\ y=-2$ を代入 \begin{eqnarray*} -2&=&1+b\\ -2-1&=&b\\ -3&=&b\\ \end{eqnarray*} これで $a$ と $b$ がわかりました。では答えです。 $$y=x-3$$

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①2②-\cfrac{13}{12}③-108④3x-3\\ ⑤6a-4b⑥\cfrac{5+2y}{6}⑦3x^2-9x-84\\ ⑧25x^2-30xy+9y^2⑨64x^2-\cfrac{1}{9}y^2\\ ⑩\sqrt{5}⑪\cfrac{4}{3}⑫59-30\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①4y(2x+1)②(x+10)(x-4)\\ ③(2x-5y)^2④(x+12y)(x-12y)\\ ⑤2(x+3)^2\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-15②x=-2,y=3\\ ③x=6,2④x=\pm2⑤x=0,-\cfrac{5}{4}\\ ⑥x=\cfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-5y-30}{6}②12\sqrt{5}③y=-12\\ ④y=-2⑤y=-3x+2⑥y=-32\\ ⑦10.5点⑧\cfrac{7}{12}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①A(-2, \ -8)\quad B(1, \ -2)\\ ②y=2x-4 ③6 ④y=x-3 $

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