まず、$AP$と$CP$の長さについて考えます。$AB=AD=3cm$で、$AP:PB=2:1$、$AQ:QD=2:1$なのだから、 $AP=AQ=2cm$です。
すると$\triangle APG$は、$AP=AQ,$$\angle PAQ=90^{ \circ }$の直角二等辺三角形となるので、 $\angle APQ=45^{ \circ }$です。対頂角は等しいので、$\angle BPR$もまた$45^{ \circ }$になります。 すると$\triangle BPR$は、$\angle BPR=45^{ \circ }$、$\angle PBR=90^{ \circ }$になるので、 これも直角二等辺三角形になります。なので、$BP=BR$です。
　$AB=3cm$で、$AP:PB=2:1$なのだから、$PB$の長さは$1cm$です。$RB$の長さは$PB$とおなじなので、$1cm$です。

　三角すい$CRGS$の体積を利用します。
　三角すいの体積は、底面積$\times$高さ$\times \cfrac{1}{3}$です。
　三角すい$CRGS$の体積は、$\triangle CRS$を底面とすると、 $\triangle CRS \times CG \times \cfrac{1}{3}$です。$CG$は$3cm$なので、 あとは$\triangle CRS$の面積を求めれば、三角すい$CRGS$の体積は求まります。
　また、三角すい$CRGS$の体積は、$\triangle RGS$を底面とすると、 $\triangle RGS \times CI \times \cfrac{1}{3}$になります。
この三角すいは、底面を$\triangle RGS$とすると、高さが$CI$となっている、というのがポイントです。
　この三角すいの体積と、$\triangle RGS$の面積がわかるなら、$CI$の長さが求められるわけです。 そういうふうにしてやっていきましょう。まず、$\triangle CRS$の面積をだして、三角すい$CRGS$の体積を求めます。

【$\triangle CRS$の面積】
　(1)の問題で、$RB=1cm$と求めました。なので$CR=3+1=4cm$です。また、 $CS$の長さもおなじことで、$RB$の長さを求めたときとおなじことをすれば、$RB=1cm$になります。 なので$CS=3+1=4cm$です。というわけで$\triangle CRS$は$CR=CS=4,$$\angle PAQ=90^{ \circ }$の直角二等辺三角形に なります。なのでその面積は、 $$4\times4\times\cfrac{1}{2}=8cm^2$$
【三角すい$CRGS$の体積】
なので三角すい$CRGS$は、$\triangle CRS$を底面とすると、 底面積は$\triangle CRS$の面積だから$8$、高さは$CG$の長さだから$2$となって、その体積は $$8\times3\times\cfrac{1}{3}=8cm^3$$
【$\triangle RGS$の面積】
　まず$RS$の長さについてです。$\triangle CRS$は$CR=CS=4,$$\angle PAQ=90^{ \circ }$の直角二等辺三角形です。 直角二等辺三角形は$1:1:\sqrt{2}$の辺の比になっています。$CR=CS=4$であるのならば、$RS=4\sqrt{2}cm$です。

　つぎに$RG$の長さについてです。これは$\triangle CRG$で考えます。 $\triangle CRG$は$CR=4$、$CG=3$、$\angle RCG=90^{ \circ }$の直角三角形 なので、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (RG)^2&=&(CR)^2+(CG)^2\\ &=&4^2+3^2\\ &=&25\\ RG>0なので\\ RG&=&\sqrt{25}=5cm \end{eqnarray*} 　つぎに$SG$の長さについてです。これは$\triangle CSG$で考えて、同じことになります。 $\triangle CSG$は$CR=4$、$CS=3$、$\angle RCG=90^{ \circ }$の直角三角形 なので、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (SG)^2&=&(CS)^2+(CG)^2\\ &=&4^2+3^2\\ &=&25\\ SG>0なので\\ SG&=&\sqrt{25}=5cm \end{eqnarray*}
　というわけで、$\triangle RGS$は、$RS=4\sqrt{2}cm$、$RG=SG=5cm$の二等辺三角形となります。 　この三角形で、頂点$G$から辺$RS$に垂線をおろして、その交点を$M$とすると、$M$は辺$RS$の中点になっています。 $\triangle GRM$と$\triangle GSM$が合同になるからです。
　なので$RM$の長さは$RS$の半分ということになって、$2\sqrt{2}cm$です。 すると$\triangle GRM$は$GR=5$、$RM=2\sqrt{2}$、$\angle GMR=90^{ \circ }$の直角三角形 なので、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (GM)^2&=&(GR)^2-(RM)^2\\ &=&5^2-(2\sqrt{2})^2\\ &=&25-8=17\\ GM>0なので\\ GM&=&\sqrt{17}cm \end{eqnarray*}
　$\triangle RGS$は、$RS$を底辺とすると、高さは$GM$です。面積は、 \begin{eqnarray*} &&RS \times GM \times\cfrac{1}{2}\\ &=&4\sqrt{2}\times\sqrt{17}\times\cfrac{1}{2}\\ &=&2\sqrt{34}cm^2 \end{eqnarray*} 　三角すい$CRGS$の体積は$8cm^3$でした。三角すいの体積は、底面積$\times$高さ$\times\cfrac{1}{3}$です。

　三角すい$CRGS$を、$\triangle RGS$を底面として考えると、その体積は、 $\triangle RGS\times CI \times\cfrac{1}{3}$となります。なので、 \begin{eqnarray*} \triangle RGS\times CI \times\cfrac{1}{3}&=&8\\ 2\sqrt{34}\times CI\times\cfrac{1}{3}&=&8\quad (両辺に\times3)\\ 2\sqrt{34}\times CI&=&24\\ CI&=&\cfrac{24}{2\sqrt{34}}\\&=&\cfrac{12}{\sqrt{34}}\\&=&\cfrac{12\sqrt{34}}{34}\\&=&\cfrac{6\sqrt{34}}{17}cm \end{eqnarray*}