$OCD$で、仮定から点$E,F$は$OC,OD$の中点ですから、中点連結定理より、$EF=\cfrac{1}{2}CD=3cm$です。
　また、$OE=\cfrac{1}{2}OC=3cm,$$OF=\cfrac{1}{2}OD=3cm$なので、$\triangle OEF$は１辺が$3cm$の正三角形となります。 １辺が$3cm$の正三角形の面積をこたえればよいわです。
　もし、「１辺が$a$の正三角形の面積は$\cfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$」というのをおぼえてしまっているのなら、$\cfrac{\sqrt{3}}{4}\times3^2=\cfrac{9\sqrt{3}}{4}(cm^2)$ とこたえておしまいです。
　おぼえていないのなら、地道に計算しましょう。たいした手間じゃありません。
　三角形の面積はもちろん、底辺$\times$高さ$\times\cfrac{1}{2}$です。
　$\triangle OEF$で、頂点$O$から$EF$に垂線をおろして、$EF$との交点を$H$とします。
　正三角形の１つの内角は$60^{ \circ }$ですから、$\angle OEH=60^{ \circ }$です。
　すると$\triangle OEH$は、$\angle OHE=90^{ \circ },$$\angle OEH=60^{ \circ },$$\angle EOH=30^{ \circ }$の直角三角形となって、$1:2:\sqrt{3}$の辺の比が使えることになります。
　$\triangle OEH$で、 \begin{eqnarray*} OE:OH&=&2:\sqrt3 \\ 3:OH&=&2:\sqrt3 \\ OH\times2&=&3\times\sqrt{3}\\ OH&=&\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\\ \end{eqnarray*} 　というわけで$OH$の長さがでました。
　$\triangle OEF$は、$EF$を底辺とすれば高さは$OH$です。
　なので$\triangle OEF$の面積は、 $$3\times\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{9\sqrt{3}}{4}(cm^2)$$

　$F$と$E$、$F$と$A$、$E$と$B$をむすんで、四角形$FABE$で考えます。
　まず、$\triangle OCD$で、中点連結定理より、$FE /\!/ DC$です。また、仮定より$AB /\!/ DC$ですから、$AB /\!/ FE$となって、四角形 $FABE$は台形ということになります。

　また、$\triangle OAD$における$FA$と、$\triangle OBC$における$EB$は、合同な二等辺三角形の１つの底角からむかいあう辺の中点にひいた線なので、 長さがおなじになります。なのでけっきょく四角形$FABE$は等脚台形ということになります。
　この問題は$EG$の長さをもとめるのが目標です。そのためには$EA$の長さが必要になります。$EA$を求めるためには$E$から$AB$におろした垂線の長さが必要になります。 この垂線の長さを求めるためには、$EB$の長さが必要です。というわけで、まず$EB$の長さを求めていきます。

　$EB$の長さをもとめるために、$\triangle OBC$に着目します。これは$OB=OC=6cm,$$BC=8cm$の二等辺三角形で、点$E$は$OC$の中点です。
　まず、$E$と$B$をむすびます。あと、頂点$O$、点$E$から$BC$に垂線をおろして、その交点をそれぞれ$I,J$ということにします。
【$IC$の長さ】
　$OI$というのは二等辺三角形$OBC$の頂角から底辺にひいた垂線なので、底辺を二等分します。なので$IC=\cfrac{1}{2}BC=4cm$です。

【$JC$の長さ】
　また、同位角が等しいので$OI /\!/ EJ$です。仮定から$OE:EC=1:1$なので、平行線と線分の比の定理から、$IJ:JC=1:1$になります。$J$は$IC$の中点になっている、ということです。 なので$JC=2cm$です。
【$EC$の長さ】
　仮定から、$EC=\cfrac{1}{2}OC=3cm$です。

【$EJ$の長さ】
　$\triangle EJC$は、$EC=3cm,$$JC=2cm,$$\angle EJC=90^{ \circ }$の直角三角形になるので、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (EJ)^2&=&(EC)^2-(JC)^2\\ &=&3^2-2^2\\ &=&5\\ EJ>0なので\\ EJ&=&\sqrt{5}cm \end{eqnarray*} 【$BJ$の長さ】
　$BJ$の長さは、$BC-JC=8-2=6cm$です。$BI+IJ=4+2=6cm$と考えてもいいです。どちらにしても$6cm$です。

【$EB$の長さ】
　すると$\triangle EJB$は、$EJ=\sqrt{5}cm,$$BJ=6cm,$$\angle EJB=90^{ \circ }$の直角三角形となって、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (EB)^2&=&(EA)^2+(BJ)^2\\ &=&\sqrt{5}^2+6^2\\ &=&41\\ EB>0なので\\ EB&=&\sqrt{41}cm \end{eqnarray*}
　これで$EB=\sqrt{41}cm$ともとめられました。

　ここで等脚台形$FABE$にもどります。頂点$F,E$から辺$AB$に垂線をおろし、$AB$との交点をそれぞれ$K,L$とします。

【$LB$の長さ】
　(1)の問題で、$EF=\cfrac{1}{2}CD=3cm$ともとめました。$EF=KL$なので、$KL=3cm$です。
　$FABE$は等脚台形なので、$\triangle FAK \equiv \triangle EBL$となります。合同な図形の対応する辺なので、$KA=LB$です。$KA+LB=AB-KL=6-3=3cm$なので、 $KA=LB=\cfrac{3}{2}cm$となります。

【$(EL)^2$の値】
$\triangle ELB$は、$EB=\sqrt{41}cm,$$LB=\cfrac{3}{2}cm,$$\angle ELB=90^{ \circ }$の直角三角形となるので、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (EL)^2&=&(EB)^2-(LB)^2\\ &=&\sqrt{41}^2-\left(=\cfrac{3}{2}\right)^2\\ &=&41-\cfrac{9}{4}\\ &=&\cfrac{155}{4} \end{eqnarray*} 　ほしいのは$(EL)^2$の値なので、ここはこのままでだいじょうぶです。

【$AL$の長さ】
　$AL=AK+KL=\cfrac{3}{2}+3=\cfrac{9}{2}cm$です。

【$EA$の長さ】
$\triangle EAL$は、$(EL)^2=\cfrac{155}{4},$$AL=\cfrac{9}{2}cm,$$\angle ELA=90^{ \circ }$の直角三角形となって、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (EA)^2&=&(EL)^2+(AL)^2\\ &=&\cfrac{155}{4}+\left(\cfrac{9}{2}\right)^2\\ &=&\cfrac{155}{4}+\cfrac{81}{4}\\ &=&\cfrac{236}{4}\\ &=&59\\ EA>0なので\\ EA&=&\sqrt{59}cm \end{eqnarray*}
　$EA=\sqrt{59}cm$ともとめられました。 ここで、$\triangle EFG$と$\triangle ABG$の相似を利用します。$AB /\!/ FE$なのですから、 ２組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle EFG$ ∽$\triangle ABG$です。
　$EF=3cm,$$AB=6cm$なので、$\triangle EFG$と$\triangle ABC$の相似比は$3:6=1:2$となります。
　なので$EG:GA=1:2$となります。ということは、$EG$の長さは$EA$の長さの$\cfrac{1}{3}$ということになります。なので、
【$EG$の長さ】
$$EG=EA\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{\sqrt{59}}{3}cm$$