三角形の面積は底辺$\times$高さ$\times \cfrac{1}{2}$です。
　$\triangle OAC$は$CA=4cm,$$OA=OC=8cm$の二等辺三角形です。
　$O$から$CA$におろした垂線と$CA$との交点を$M$とすると、$\triangle OCM \equiv \triangle OAM$です。理由は、「直角三角形の斜辺と他の１辺」でも 「直角三角形の斜辺と１鋭角」でも、どっちでもいけます。合同です。
　なので、$M$は$CA$の中点になります。
　なので$CM=2cm$です。
　$\triangle OCM$は、$OC=8cm,$$CM=2cm,$$\triangle OMC=90^{ \circ }$の直角三角形ですから、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (OM)^2&=&(OC)^2-(CM)^2\\ &=&8^2-2^2\\ &=&60\\ OM>0なので\\ OM&=&\sqrt{60}=2\sqrt{15}cm \end{eqnarray*} 　なので、$\triangle OAC$の面積は、 \begin{eqnarray*} &&底辺\times高さ\times\cfrac{1}{2}\\ &=&CA\times OM\times\cfrac{1}{2}\\ &=&4\times2\sqrt{15}\times\cfrac{1}{2}\\ &=&4\sqrt{15}cm^2\\ \end{eqnarray*}

　４点$P,A,B,C$を頂点とする立体というのは三角すいになります。三角すいの体積は、底面積$\times$高さ$\times\cfrac{1}{3}$です。
　底面を$\triangle ABC$とします。$P$からこの面にまっすぐにおろした線とこの面との交点を$Q$とします。$PQ$がこの三角すいの高さになります。
　底面の$\triangle ABC$は、１辺の長さがわかっている正三角形なので、面積はすぐにでます。あと、高さ$PQ$の長さがわかればこの問題はOKです。

　では$PQ$の長さはどう考えればよいのでしょうか。
　底面の$\triangle ABC$で、$B$から$AC$におろした垂線と$AC$との交点を$D$とします。すると、$Q$は$BD$上にあるはすです。
　３点$O,B,D$を通る平面でこの三角すいを切って、その断面図を考えます。$PQ \perp DB$です。また、$O$から$BD$に垂線をおろして、$BD$との交点を $R$とすると、２組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ORB$ ∽$\triangle PQB$です。この相似をつかえば、$PQ$の長さは求められそうです。
　相似比はどうやって求めるか、ですが、$OB$がもうわかっているので、あと$PB$の長さを求めることができれば、ここで相似比がだせそうです。
　$PB$の長さを求めるためにはまず、$P$が$OB$上のどこを通るかがわかっていなくてはなりません。

【$PB$の長さ】
　$AP+PC$の長さがもっとも短くなるときというのは、展開図で考えます。
　$AP+PC$に関係がある面は、$\triangle OCB$と$\triangle OAB$です。

　この部分を展開すると、図のようになります。
　$AP+PC$の長さがもっとも短くなるときというのはもちろん、$A$と$C$をまっすぐにむすんだときです。
　立体$OABC$は正三角すいだったので、$\triangle OCB$と$\triangle OAB$は合同です。なので、$\angle AOB= \angle COB$です。
　$\triangle OAC$は、$OA=OC$の二等辺三角形です。二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するので、$OB \perp AC$となります。
　…とまあ、いろいろ説明しましたが、四角形$OABC$のようなのをタコ型といって、タコ型の対角線は垂直に交わるというのをしっていると、話がはやいです。 タコ型というのは、四角形$OABC$でいうと、$OC=OA,$$BC=BA$みたいになってるカタチです。対角線垂直です。

　ところで、(1)の問題で、この三角すいの側面の面積を求めています。$4\sqrt{15}cm^2$です。なので、展開図の$\triangle COB$の面積も$4\sqrt{15}cm^2$です。 これを利用して、$CP$を求めることができます。三角形の面積は底辺$\times$高さ$\times\cfrac{1}{2}$ですから、$\triangle COB$で、$OB$を底辺とすると、 \begin{eqnarray*} OB\times CP\times\cfrac{1}{2}&=&4\sqrt{15}\\ 8\times CP\times\cfrac{1}{2}&=&4\sqrt{15}\\ 4\times CP&=&4\sqrt{15}\\ CP&=&\sqrt{15}cm \end{eqnarray*}
　すると$\triangle CPB$は、$CB=4cm,$$CP=\sqrt{15}cm,$$\angle CPB=90^{ \circ }$の直角三角形ということになって、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (PB)^2&=&(CB)^2-(CP)^2\\ &=&4^2-(\sqrt{15})^2\\ &=&1\\ PB>0なので\\ PB&=&\sqrt{1}=1cm \end{eqnarray*}
　これで$PB=1cm$だとわかりました。この長さを、$\triangle ORB$ ∽$\triangle PQB$にもってきます。
　仮定から、$OB=8cm$ですから、$\triangle ORB$と$\triangle PQB$の相似比は、$OB:PB=8:1$となります。
　つぎに$OR$の長さを求めていきます。これは$\triangle ORB$で三平方の定理を使います。そのために、$RB$の長さが必要です。

【$RB$の長さ】
　$R$というのは、頂点$O$から底面の$\triangle ABC$にまっすぐおろした垂線です。では、この$R$は、$\triangle ABC$で、どういう点になっているのでしょうか。
　$R$というのは、$\triangle ABC$の$BD$上にあるはずです。さらにいうと、$\triangle ABC$の、$A$から$BC$におろした垂線の上にもあるはずです。さらに、$C$から$AB$におろした垂線の上にもあるはずです。
　この状態を、つまり、底面の三角形に３本の中線をひいた状態を、三角すいの真上から見ると、こんなふうに見えるはずです。中線というのは、三角形のひとつの頂点から、むかいあう辺の中点にひいた線です。それを３本ひいて、真上からみると、こんなふうになるはずです。

　$A$から$BC$におろした垂線と$BC$との交点を$E$とします。んで、$\triangle BER$に着目します。
　$BD$は$\angle ABC$の二等分線ですから、$\angle EBR=30^{ \circ }$です。正三角形のひとつの内角は$60^{ \circ }$で、$\angle EBR$はその半分だからです。
　あと、$\triangle BER=90^{ \circ }$です。
　すると$\triangle BER$は、$30^{ \circ },$$60^{ \circ },$$90^{ \circ }$の直角三角形となって、$1:2:\sqrt{3}$の辺の比が使えることになります。
　$\triangle BER$で、 \begin{eqnarray*} RB:EB&=&2:\sqrt3 \\ RB:2&=&2:\sqrt3 \\ \sqrt3 \times RB&=&2\times2\\ RB&=&\cfrac{4}{\sqrt{3}}=\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\\ \end{eqnarray*} 　ちなみに$\triangle ABC$の$R$みたいな点を「三角形の重心」といいます。三角形の３本の中線は、１点で交わります。たとえ正三角形でなくても、３本の中線は、一点で交わるんです。そこを三角形の重心といって、中線を$2:1$の比にわけます。このことを知っていて、$R$は$\triangle ABC$の重心になってるなあ、と気がつくと話がはやかったです。 １辺が$4cm$の正三角形$\triangle ABC$の高さをだして、それに$\cfrac{2}{3}$をかければOKでした。
　ともかくこれで$RB$の長さがわかったので、$\triangle ORB$で三平方の定理から、$OR$の長さを求めていきます。


【$OR$の長さ】
$\triangle ORB$は、$OB=8cm,$$RB=\cfrac{4\sqrt{3}}{3}cm,$$\angle ORB=90^{ \circ }$の直角三角形ですから、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (OR)^2&=&(OB)^2-(RB)^2\\ &=&8^2-\left(\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2\\ &=&64-\cfrac{16}{3}=\cfrac{176}{3}\\ OR>0なので\\ OR&=&\sqrt{\cfrac{176}{3}}=\cfrac{4\sqrt{11}}{\sqrt{3}}=\cfrac{4\sqrt{33}}{3}cm \end{eqnarray*}
　これで$OR$の長さがわかったので、$\triangle ORB$ ∽$\triangle PQB$で、相似比が$8:1$なことを使えば$PQ$の長さが求まります。
　……。


　いやちょっと待てよ。これ、三角すい$OABC$と三角すい$PABC$というのは、底面が共通で、高さの比が$8:1$なのだから、 体積の比も$8:1$になるはず。じゃあ$PQ$の長さを求めなくても、このまま三角すい$OABC$の体積をだして、それを$\cfrac{1}{8}$倍すればよいわけですよね。
　三角すいの体積は、底面積$\times$高さ$\times\cfrac{1}{3}$です。三角すい$OABC$の高さ$OR$の長さはもうわかっています。
　じゃあ、底面の$\triangle ABC$の面積を求めましょう。

【$\triangle ABC$の面積】
　$\triangle ABC$は１辺が$4cm$の正三角形です。んで、$BD \perp AC$です。すると$\triangle BAD$は、$30^{ \circ },$$60^{ \circ },$$90^{ \circ }$の直角三角形となって、$1:2:\sqrt{3}$の辺の比が使えることになります。
　$\triangle BAD$で、 \begin{eqnarray*} AD:BD&=&1:\sqrt3 \\ 2:BD&=&1:\sqrt3 \\ BD&=2\sqrt{3}\\ \end{eqnarray*} 　なので$\triangle ABC$の面積は、 \begin{eqnarray*} &&底辺\times高さ\times\cfrac{1}{2}\\ &=&4\times2\sqrt{3}\times\cfrac{1}{2}\\ &=&4\sqrt{3}cm^2 \end{eqnarray*}
【三角すい$PABC$の体積】
　というわけで、 \begin{eqnarray*} &&三角すいPABCの体積\\ &=&三角すいOABCの体積\times\cfrac{1}{8}\\ &=&\triangle ABCの面積\times OR\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{8}\\ &=&4\sqrt{3}\times\cfrac{4\sqrt{33}}{3}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{8}\\ &=&\cfrac{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{33}}{9}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{11}}{3}(cm^3)\\ \end{eqnarray*} 　もちろん相似を使って$PQ$の長さをだして、底面積$\times$高さ（$PQ$）$\times\cfrac{1}{3}$とやってもぜんぜんOKです。手間もたいしてかわりません。 ただ、三角すい$OABC$の体積$\times\cfrac{PB}{OB}$とやると、三角すい$PABC$の体積になっている、みたいなパターンは、さらに応用された問題が出たりします。 なのでこの考え方はおぼえておきたいところです。


　この問題の解説は以上です。あと、とちゅうででてきた重心についてちょっと。
【三角形の重心のこと】
　三角形の３本の中線は１点で交わります。その交わった点を「三角形の重心」といって、それぞれの中線を$2:1$にわけます。なぜそういえるのかの説明です。

　$\triangle ABC$の辺$AB,BC,CA$の中点をそれぞれ$D,E,F$とします。
　まず、$B$と$F,C$と$D$をむすんで、$BF$と$CD$の交点を$G$とします。中点連結定理により、$DF /\!/ BC$,$DF=\cfrac{1}{2}BC$です。
　$DF /\!/ BC$なのだから、$\triangle GBC$ ∽$\triangle GFD$で、相似比は$BC:FD=2:1$です。
　なので$BG:GF=CG:GD=2:1$です。…①

　つぎに、$B$と$F,A$と$E$をむすんで、$BF$と$AE$の交点を$H$とします。中点連結定理により、$FE /\!/ AB$,$FE=\cfrac{1}{2}AB$です。
　$FE /\!/ AB$なのだから、$\triangle ABH$ ∽$\triangle EFH$で、相似比は$AB:FE=2:1$です。
　なので$BH:HF=AH:HE=2:1$です。…②

　ここでよくみてほしいのですが、①から、$BG:GF=2:1$です。また、②から、$BH:HF=2:1$です。じゃあ、$G$と$H$はおなじところにある点です。 どちらも$BF$を$2:1$にわける点だからです。おなじじゃないとツジツマあいません。

　というわけで、三角形の３本の中線は１点で交わります。その交わった点を「三角形の重心」といって、それぞれの中線を$2:1$にわけます。