数学 入試過去問
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【2014年の大問8】
直方体$ABCDEFGH$
$AB=3$
$AD=4$
$BF=3\sqrt{3}$
$BD$上に$\angle BIF=60^{ \circ }$となる点$I$をとる。
$DH$上に$\angle DIJ=60^{ \circ }$となる点$J$をとる。
$FD$と$IJ$の交点を$K$とする。
(1) 四角すい$JEFGH$の体積
答え
$4\sqrt{3}$
四角すいの体積を求めなさいというのだから、底面積$\times$高さ$\times\cfrac{1}{3}$をすればよいです。
四角すい$JEFGH$というのは、長方形$EFGH$を底面とすれば、$JH$が高さになる四角すいです。
底面の面積は$3\times4=12$です。
あとは高さ$JH$がだせればOKです。
$JH$をだすために、$BFHD$という長方形を考えます。直方体を、$B$と$D$と$F$と$H$を通るように
切ります。切り口にできた$BFHD$という長方形のことを考えます。
こんなふうに、「立体を切って、その切り口の平面で考える」というのが、定番のやりかたです。んで、今回はこの、切り口にできた長方形で考えていきます。
仮定から、$BF=3\sqrt{3}$です。
$BD$の長さは、$\triangle ABD$が直角三角形ですから、三平方の定理から、$\sqrt{3^2+4^2}=5$です。
仮定から、$\angle BIF=60^{ \circ }$なのですから、$\triangle BIF$は、辺の長さの比が$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形となります。
$BF=3\sqrt{3}$ですから、$BI=3$となります。
なので、$ID=5-3=2$となります。
仮定から、$\angle DIJ=60^{ \circ }$なのですから、$\triangle DIJ$は、辺の長さの比が$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形となります。
$ID=2$なのですから、$DJ=2\sqrt{3}$となります。
なので、$JH=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$です。
これで四角すい$JEFGH$の高さ$JH$がでました。
四角すい$JEFGH$の体積は、
\begin{eqnarray*}
&&12 \times \sqrt{3} \times \cfrac{1}{3} \\
&=&4\sqrt{3}
\end{eqnarray*}
(2) $GK$の長さ
答え
$\cfrac{\sqrt{85}}{2}$
どういう平面で切るとうまくいくか。$GK$をふくむのはあたりまえですが、あと$FK$もふくむ平面で直方体を切ってみましょう。
すると、$FK$の延長上には頂点$D$がありますから、$D$をふくむことになります。すると頂点$A$もふくむことになります。このように切ったときの切り口にできた平面で考えましょう。
$AD=FG=4$です。
$AF$は、$\triangle ABF$で考えます。
$\triangle ABF$は$\angle B$のところが直角の直角三角形ですから、三平方の定理から、
$AF=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=6$です。
これだけだと、$K$がどこにあるのかがわかりません。$DK:KF$を知るために、
(1)の問題で考えた長方形$BFHD$についてまた考えます。
$DJ=2\sqrt3$です。$JH=\sqrt3$です。なので、$DJ:JH=2:1$です。
$IJ$の延長と$FH$の延長の交点を$L$とします。$\triangle IJD$ ∽$\triangle LJH$です。相似比は$2:1$となります。$DJ:JH=2:1$だからです。
なので、$\triangle IJD$ ∽$\triangle LJH$で、$DI:HL=2:1$ですから、$HL=1$となります。
つぎに、$\triangle KDI$ ∽$\triangle KFL$について考えます。
$ID=2,FL=5+1=6$なのですから、$\triangle KDI$ ∽$\triangle KFL$で、相似比は$2:6=1:3$となります。なので、
$DK:KF=1:3$です。
これで$DK:KF=1:3$とわかったので、この比を長方形$AFGD$にもってきて考えます。
$K$から$FG$に垂線をおろして、交点を$M$とします。すると、$\triangle KMG$というのができます。
これは、$\angle KMG=90^{ \circ }$の直角三角形です。だから、$KM$と$MG$の長さが分かれば、
三平方の定理で$GK$が求まります。
$KM /\!/ DG$なので、$FK:KD=FM:MG$です。なので、$FM:MG=3:1$です。$FG=4$だから、$FM=3,MG=1$となります。
また、$KM /\!/ DG$なので、$\triangle FKM$ ∽$\triangle FDG$です。
$FK:KG=3:1$なので、$\triangle FKM$ と$\triangle FDG$の相似比は$3:4$となります。
$KM:DG=3:4$で、$DG=6$だから、$KM:6=3:4$となって、$KM=\cfrac{9}{2}$です。
これで、$MG=1,KM=\cfrac{9}{2}$というふうに、$MG$と$KM$の長さがわかりました。$\triangle KMG$において、
三平方の定理から、
$$GK=\sqrt{\left(\cfrac{9}{2}\right)^2+1^2}=\sqrt{\cfrac{85}{4}}=\cfrac{\sqrt{85}}{2}$$