$\triangle DBP$を考えます。
　これは、$\angle DBP=90^{ \circ }$の直角三角形です。
　$DB$は$1$辺が$3$の正方形の対角線ですから、その長さは$3\sqrt{2}$です。
　なので、三平方の定理から、 \begin{eqnarray*} DP&=&\sqrt{DB^2+BP^2} \\ &=&\sqrt{(3\sqrt{2})^2+2^2} \\ &=&\sqrt{22} \end{eqnarray*} 　
【べつなやりかた】
　$ABCD$を底面、$BP$を高さとする直方体を考えます。そうすれば、 その対角線が$DP$です。
　仮定から、$BP=2,AB=BC=3$です。
　底面は$1$辺が$3$の正方形で、高さが$2$の直方体の対角線を求めればよいことになります。
　縦が$a$，横が$b$，高さが$c$の直方体の対角線は、$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$です。
　というわけで、 $$\sqrt{3^2+3^2+2^2}=\sqrt{22}$$

　点$P$や線分$DP$はこの問題には関係ないので消します。
　四角すい$BAQRC$というのはどういう立体でしょうか。それぞれの頂点を結んで考えましょう。
　台形$AQRC$を底面とすれば、四角すいになります。
　すい体の体積を求めよというのだから、ふつうは底面積$\times$高さ$\times\cfrac{1}{3}$をすればよいです。
　台形$AQRC$は、三平方の定理を使って求めていけば$4$辺の長さがわかる等脚台形だから、面積はでます。高さ（頂点$B$から$AQRC$にまっすぐおろした線の長さ） は、これもがんばればでます。そういうふうにやっていけば答えはでますが、この問題の場合は、損なやり方です。
　この問題は、 大きい三角すいを考えて、そこからよぶんなところを切り取ってしまう、というふうにやったほうがラクです。
　まず、$AQ$と$BF$と$CR$を延長して、その交点を$S$ということにします。
　こうしてできた大きな三角すい$BASC$から、三角すい$BQSR$を切り取ってしまえば、その残りがこの問題の答えになっています。
　みやすくした図をならべて、このことをもういちど説明しましょう。

　上の図で、緑の三角すいから黄色い三角すいを切り取れば、オレンジの部分が残る、とうことです。オレンジの部分というのはもちろん、この問題できかれている立体です。
　緑の三角すいの体積から黄色い三角すいの体積をひくわけですが、どちらの三角すいの体積もそれほど苦労せずにだせそうです。ですから、こちらのほうがラクに答えがだせそうです。 このようにやっていきましょう。

　緑の三角すいも、黄色い三角すいも、どちらの三角すいも、$FS$の長さがわかっていないと体積がだせません。$FS$を求めるために、 $\triangle ABS$という直角三角形について考えます。
　仮定から、$AB=BF=3,QF=2$です。
　また、$AB /\!/ QF$なので、$\triangle ABS$ ∽$\triangle QFS$で、相似比は$3:2$です。$AB=3,QF=2$だからです。
　$FS=x$とすると、$\triangle ABS$ ∽$\triangle QFS$から、$3+x:x=3:2$ですから、$x=6$となります。
　$FS=6$ならば、$BS=3+6=9$です。
　$BS$の長さがわかったので、緑の三角すいと黄色い三角すいの体積をだしていきましょう。

　まず緑の三角すいは、$\triangle ABC$を底面とすれば、その面積は$3\times3\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{9}{2}$です。 $\triangle ABC$を底面とすれば、高さは$BS$ですから、その長さは$9$です。なので、緑の三角すいの体積は、 $$\cfrac{9}{2}\times9\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{27}{2}$$ 　次に黄色の三角すいは、$\triangle QSB$を底面とすれば、$BS$が底辺で$QF$が高さの三角形とみることができますから、その 面積は$9\times2\times\cfrac{1}{2}=9$です。 $\triangle QSB$を底面とすれば、高さは$RF$ですから、その長さは$2$です。なので、黄色い三角すいの体積は、 $$9\times2\times\cfrac{1}{3}=6$$ 　なので、四角すい$BAQRC$の体積は、 $$\cfrac{27}{2}-6=\cfrac{15}{2}$$