図２は図１の展開図です。図２を$BC$と$BD$と$CD$のところで折り曲げて組み立てると図１になるのだから、$AB=BF,AC=CE$です。
$\triangle ABC$と$\triangle AFE$で、
$\angle A$は共通
$AB:AF=AC:AE=1:2$
$2$組の辺の比とその間の角が等しいので、
　$\triangle ABC$ ∽$\triangle AFE$です。
　そしてその相似比は$1:2$です。
相似比が$1:2$なら、面積比は$1:4$です。
　なので$\triangle ABC$の面積は$\triangle AFE$の$\cfrac{1}{4}$です。
　なので$\triangle ABC$の面積は、四角形$AEDF$の$\cfrac{1}{8}$です。

　【別解】

　図を見てください。こんなふうに考えれば、８つの合同な三角形にわけることができますから、$\triangle ABC$の面積は、四角形$AEDF$の$\cfrac{1}{8}$ですよね。
　なぜ８つの合同な三角形になるのかを簡単に説明すると、ひし形は平行四辺形にふくまれます。平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、ひし形$AEDF$対角線の交点を$M$とすると、 $FM=EM$です。あと、$AB=BF,AC=CE$です。$\triangle AEF$で、中点連結定理より、$BC /\!/ FE,BM /\!/ AE,CM /\!/ AF$となって、四角形$ACMB$,四角形$BCMF$,四角形$BCEM$は、 ぜんぶ平行四辺形になります。平行四辺形を対角線で切れば、合同な２つの三角形になりますよね。３組の辺がそれぞれ等しい２つの三角形になるのだから。なので、▱$ACMB$において、 $\triangle ACB \ \equiv \ \triangle MCB$です。さらに、▱$BCMF$において、…という感じでぜんぶ合同になっていきます。

$AH$の長さを求めるために、図３の$\triangle AGD$について考えます。
その３辺の$AG,GD,AD$の長さについて考えます。

【$AG$の長さ】
　まず$AG$について。図２の展開図で、$AD$と$FE$の交点を$M$とします。
　図２は図３の展開図なのだから、$BC$と$BD$と$CD$のところで折り曲げて組み立てたときに、点$A$と点$F$と点$E$は重なります。なので、$AB=BF,AC=CE$です。
　比でいうと、$AB:BF=AC:CE=1:1$です。
　ということは、$\triangle AEF$で、中点連結定理により、$BC /\!/ FE$ということになります。
　なので$AG:GM$も$AB:BF$や$AC:CE$と等しくなって、その比は$1:1$です。
　$AG$は$AM$の半分になる、ということです。
　$AM$は$AD$の半分なのだから$4cm$，$AG$はその半分なのだから$2cm$となります。

【$GD$の長さ】
　$AD=8cm,AG=2cm$なのだから$GD$は$6cm$です。

【$AD$の長さ】
　図２と図３見比べてください。$BC$と$BD$と$CD$のところで折り曲げて図２を組み立てると図３になるのだから、$ED$と$FD$と$AD$は重なります。長さでいうと、$AD=FD=ED$です。
　それから、図２の四角形$AEDF$はひし形です。ひし形の対角線は垂直に交わるので、$\triangle FMD$は直角三角形です。

　また、ひし形は平行四辺形にふくまれているので、対角線がそれぞれの中点で交わります。
　なので$FM=3cm,MD=4cm$です。
　というわけで$\triangle FMD$において三平方の定理から、 \begin{eqnarray*} (FD)^2&=&(FM)^2+(MD)^2\\ &=&3^2+4^2=25\\ FD>0なので\\ FD&=&\sqrt{25}=5 \end{eqnarray*} 　$FD$は$AD$と同じですから、$AD=5cm$です。
　これで図３の$\triangle AGD$の３辺、$AG,GD,AD$の長さがわかりました。

　３辺の長さがわかっている三角形なので、三平方の定理を使って、点$A$から$GD$におろした垂線$AH$の長さを求めていきましょう。
　そのためにまず、$GH$の長さを求めていきます。

【$GH$の長さ】
　$\triangle AGH$は$\angle AHG=90^{ \circ }$の直角三角形だから、$GH$の長さを$x$とすると、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (AH)^2&=&(AG)^2-x^2\\ &=&2^2-x^2\\ &=&-x^2+4 \end{eqnarray*}
　$\triangle AHD$は$\angle AHD=90^{ \circ }$の直角三角形だから、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (AH)^2&=&(AD)^2-(HD)^2\\ &=&(AD)^2-(GD-x)^2\\ &=&5^2-(6-x)^2\\ &=&25-(36-12x+x^2)\\ &=&25-36+12x-x^2\\ &=&-x^2+12x-11 \end{eqnarray*} 　これで$AH^2$を２通りの表し方で表せました。並べて書くと、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} (AH)^2=-x^2+4\qquad…①\\ (AH)^2=-x^2+12x-11\qquad…② \end{array} \right.\\ \end{eqnarray*} 　こんなふうになります。①と②の式について、代入法で、右辺$=$右辺の式をたてて$x$を求めていきます。 \begin{eqnarray*} -x^2+4&=&-x^2+12x-11\\ -x^2+x^2-12x&=&-11-4\\ -12x&=&-15\\ x&=&\cfrac{15}{12}=\cfrac{5}{4}\\ \end{eqnarray*}
　これで$x$が求まりました。
【$AH$の長さ】
　いま求めた$x$を利用して、$\triangle AGH$で、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (AH)^2&=&(AG)^2-x^2\\ &=&2^2-\left(\cfrac{5}{4}\right)^2\\ &=&4-\cfrac{25}{16}\\ &=&\cfrac{64}{16}-\cfrac{25}{16}\\ &=&\cfrac{39}{16} \end{eqnarray*} $AH>0$なので \begin{eqnarray*} AH&=&\sqrt{\cfrac{39}{16}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{39}}{4} \end{eqnarray*}