「生徒を長いすに座らせるのに、長いす $1$ 脚に $6$ 人ずつ座ると $5$ 人が座れず、$7$ 人ずつ座ると $1$ 人だけ座った長いすが $1$ 脚できた。長いすの数と生徒の人数を求めなさい。」
という問題を、生徒の人数を $x$ 人ということにして式をたてて解いていきましょう。
＜説明＞
生徒の人数を $x$ 人ということにして、（長いすの数）＝（長いすの数）という式をたてます。
まず、ひとつのいすに $6$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x-5}{6}$ 脚となります。生徒の人数があと $5$ 人少なければ、ぴったり $6$ で割れて、その商は長いすの数をあらわしますよね。

つぎに、ひとつのいすに $7$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x+6}{7}$ 脚となります。生徒の人数があと $6$ 人多ければ、ぴったり $7$ で割れて、その商は長いすの数をあらわします。

じゃあこれをもとにして、長いすの数＝長いすの数という式をたてます。
$$\cfrac{x-5}{6}=\cfrac{x+6}{7}$$ これはもちろん、（ $6$ 人ずつ座ったときの長いすの数）＝（ $7$ 人ずつ座ったときの長いすの数）という意味です。さあ解きましょう。 \begin{eqnarray*} \cfrac{x-5}{6}&=&\cfrac{x+6}{7} \class{mathbg-r}{（両辺に×42）} \\ 7(x-5)&=&6(x+6)\\ 7x-35&=&6x+36\\ 7x-6x&=&36+35\\ x&=&71 \end{eqnarray*} ＜ここから先は確かめの話＞
というわけで $x=71$ というふうに解が求められました。生徒の人数を$x$ 人、ということにして $x$ を求めたわけだから、生徒の人数は $71$ 人ということになります。
$71$ 人の生徒が長いすに $6$ 人ずつ座ったらあと $5$ 人が座れなかったということは、長いすの数は $(71-5)\div6=11$ 脚。
$71$ 人の生徒が長いすに $7$ 人ずつ座ったらあと $6$ 人ぶんの空席ができたということは、長いすの数は $(71+6)\div7=11$ 脚。
どちらで計算しても $11$ 脚ってでてきますね。じゃあ答え書きます。

長いすの数　11脚
生徒の人数　71人