「生徒を長いすに座らせるのに、長いす $1$ 脚に $8$ 人ずつ座ると $6$ 人が座れず、$9$ 人ずつ座ると $6$ 人だけ座った長いすが $1$ 脚できた。長いすの数と生徒の人数を求めなさい。」
という問題を、生徒の人数を $x$ 人ということにして式をたてて解いていきましょう。
＜説明＞
生徒の人数を $x$ 人ということにして、（長いすの数）＝（長いすの数）という式をたてます。
まず、ひとつのいすに $8$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x-6}{8}$ 脚となります。生徒の人数があと $6$ 人少なければ、ぴったり $8$ で割れて、その商は長いすの数をあらわします。

つぎに、ひとつのいすに $9$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x+3}{9}$ 脚となります。生徒の人数があと $3$ 人多ければ、ぴったり $9$ で割れて、その商は長いすの数をあらわします。

じゃあこれをもとにして、長いすの数＝長いすの数という式をたてます。
$$\cfrac{x-6}{8}=\cfrac{x+3}{9}$$ これはもちろん、（ $8$ 人ずつ座ったときの長いすの数）＝（ $9$ 人ずつ座ったときの長いすの数）という意味です。さあ解きましょう。 \begin{eqnarray*} \cfrac{x-6}{8}&=&\cfrac{x+3}{9} \class{mathbg-r}{（両辺に×72）} \\ 9(x-6)&=&8(x+3)\\ 9x-54&=&8x+24\\ 9x-8x&=&24+54\\ x&=&78 \end{eqnarray*} ＜ここから先は確かめの話＞
というわけで $x=78$ というふうに解が求められました。生徒の人数を$x$ 人、ということにして $x$ を求めたわけだから、生徒の人数は $78$ 人ということになります。
$78$ 人の生徒が長いすに $8$ 人ずつ座ったらあと $6$ 人が座れなかったということは、長いすの数は $(78-6)\div8=9$ 脚。
$78$ 人の生徒が長いすに $9$ 人ずつ座ったらあと $3$ 人ぶんの空席ができたということは、長いすの数は $(78+3)\div9=9$ 脚。
どちらで計算しても $9$ 脚ってでてきますね。じゃあ答え書きます。

長いすの数　9脚
生徒の人数　78人