①単項式…$3x, \ -\cfrac{2}{3}x^2y^3z$ など
多項式…$2x+1, \ 3a^2+5a+4$ など
また、$3a^2+5a+4$ の $4$ を定数項といいます。
②たとえば、$x$ は $1$ 次です。$x^2$ は $xx$ と考えて、$2$ 次です。$x^2y^3z$ は $xxyyyz$ と考えて、$6$ 次です。
多項式の次数についてですが、たとえば $3a^2+5a+4$ は、$3a^2$ が $2$ 次、$5a$ が $1$ 次なので、この式は $2$ 次式となります。
③たとえば $3x^2-4x+5x$ という式では、$-4x$ と $5x$ が同類項です。$3x^2$ と $-4x$ や、$3x^2$ と $5x$ は同類項ではありません。

①ひとつひとつ項にわけるときは、いちばんでだしはよしとして、そこから先は、$+$ や $-$ があったらスラッシュをいれるとわかりやすくなります。スラッシュというのは、$/$ のことです。ナナメの線です。これをいれます。こんな感じです。
$$\large{3xy/+4y/-5}$$ んで、ひとつひとつの次数をみていけばいいです。$3xy$ は $2$ 次、$4y$ は $1$ 次、$-5$ のような定数項は気にしません。なので、これは $2$ 次式と答えます。
②$m^3n$ というのは $mmmn$ と考えて、$4$ 次です。ここがいちばん次数の高い項なので、②は $4$ 次式と答えます。

「同類項をまとめなさい」というのは、「計算をしなさい」とおなじ意味です。多項式の足し算や引き算は、文字のところが同じならできます。ちがっていたらできません。$3x+2y$ とか、$2x^2-5x$ とかは、もうこれ以上できません。そこでやめてください。それ以上やっちゃダメです。 \begin{eqnarray*} &①& -2x+3y-5x-y\\ &=& -2x-5x+3y-y\\ &=& -7x+2y \end{eqnarray*} 分数の足し算・引き算はもちろん分母をそろえます。通分します。こういう問題のときは、$x$ は $x$ で、$y$ は $y$ で、べつべつに通分します。 \begin{eqnarray*} &②& -\cfrac{1}{4}a-2b-a+\cfrac{1}{3}b\\ &=& -\cfrac{1}{4}a-a-2b+\cfrac{1}{3}b\\ &=& -\cfrac{1}{4}a-\cfrac{4}{4}a-\cfrac{6}{3}b+\cfrac{1}{3}b\\ &=& -\cfrac{5}{4}a-\cfrac{5}{3}b \end{eqnarray*} かっこがあったらまずかっこをはずしましょう。 \begin{eqnarray*} &③& (4x-7y)+(-8x-y)\\ &=& 4x-7y-8x-y\\ &=& 4x-8x-7y-y\\ &=& -4x-8y \end{eqnarray*} かっこの前に $-$ があったら、かっこをはずしたときに、かっこの中の符号が逆になります。 \begin{eqnarray*} &④& (-5a^2b^2+3ab)-(7a^2b^2-4ab)\\ &=& -5a^2b^2+3ab-7a^2b^2+4ab\\ &=& -5a^2b^2-7a^2b^2+3ab+4ab\\ &=& -12a^2b^2+7ab \end{eqnarray*}

足し算は上から下に足せばよいです。引き算は、頭の中で下の式の符号を逆だと思って上から下に足せばよいです。
引き算についてですが、下の式の符号を実際に逆にかきかえて足していくひとがいます。逆の符号を実際に問題にかきくわえるのは、なるべくやめましょう。
これからしばらくしたら連立方程式を教わります。そこでこの手の計算をたくさんやることになります。初めのうちはミスします。自分がどこでまちがえたのかを確認するために、自分の計算の過程を見直すとき、符号を逆にしてあると、苦労します。わけがわからなくなったりします。
なので、符号を逆にしたのを書きくわえるのはやめましょう。すべて頭の中でやる練習をしましょう。慣れの問題だと思います。慣れたら自然にできるようになります。私が勉強を教えている生徒には、問題を書きかえているひとがいたら、やめてもらっています。みんな、だんだん慣れてきて、そのうちふつうに、書きかえなくてもできるようになってます。

どちらもかっこをつけて足したり引いたりします。足すときはまあ、どうでもいいっちゃいいのですが、引き算のときは、かならずかっこをつけてください。そしてかっこをはずすと、符号が逆になります。
\begin{eqnarray*} ①　和 &&(4x-7y+3)+(x-2y+9)\\ &=& 4x-7y+3+x-2y+9\\ &=& 4x+x-7y-2y+3+9\\ &=& 5x-9y+12 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ①　差 &&(4x-7y+3)-(x-2y+9)\\ &=& 4x-7y+3-x+2y-9\\ &=& 4x-x-7y+2y+3-9\\ &=& 3x-5y-6 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ②　和 &&(-6x+5y-1)+(-4x-y-5)\\ &=& -6x+5y-1-4x-y-5\\ &=& -6x-4x+5y-y-1-5\\ &=& -10x+4y-6 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ②　差 &&(-6x+5y-1)-(-4x-y-5)\\ &=& -6x+5y-1+4x+y+5\\ &=& -6x+4x+5y+y-1+5\\ &=& -2x+6y+4 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &①&y \times y \times y=y^3\\ &②&-3x^2\times6x^5=-3\times xx \times 6\times xxxxx=-18x^{7} \end{eqnarray*} かけ算のときは指数は足すんだ、と思っちゃったほうがいいです。$x^2\times x^5=x^{2+5}=x^{7}$ というふうに。これがおすすめ。

かっこの $2$ 乗やかっこの $3$ 乗は、マイナスのときは符号に注意しましょう。指数が偶数のときはプラスになります。奇数のときはマイナスになります。なので $$④(-5x)^2=25x^2,\quad⑤\left(-\cfrac{2}{3}x\right)^3=-\cfrac{8}{27}x^3$$ です。

⑥は、$(2x)^2$ とか $(-2a)^3$ といった、指数のついたかっこがあったら、それは、計算の順番として、優先順位がいちばん高いと思っちゃうといいです。なによりもそこが先です。まず指数のかっこをはずしましょう。 $$⑥-9a^2b\times(-2ab)^2=-9a^2b\times4a^2b^2=-36a^4b^3$$

割り算は分数にして、約分できるところは約分しましょう。そのさい、$x^3$ を $xxx$ というふうにかいてしまうとわかりやすくなります。ミスが心配なひとは、そうかきましょう。 \begin{eqnarray*} \require{cancel} &①&81xy^2 \div 9xy=\cfrac{81xy^2}{9xy}=\cfrac{{}^9\bcancel{81}\bcancel{x}y\bcancel{y}}{\bcancel{9}\bcancel{x}\bcancel{y}}=9y\\ &②&-24x^9\div8x^3=-\cfrac{24x^9}{8x^3}=-\cfrac{{}^3\bcancel{24}\bcancel{xxx}xxxxxx}{\bcancel{8}\bcancel{xxx}}=-3x^6 \end{eqnarray*} ③分数の割り算は逆数をかけます。いわゆる「ひっくり返して掛ける」というやつです。そのさい、注意点があります。$xy$ は分母のほうにいきます。
$\qquad \cfrac{8}{3}xy=\cfrac{8xy}{3}$ なので、逆数にすると$\cfrac{3}{8xy}$
なので、 \begin{eqnarray*} ③&& 12x^2y \div \cfrac{8}{3}xy\\ &=& 12x^2y \times \cfrac{3}{8xy}\\ &=& {}^3\bcancel{12}\bcancel{x}x\bcancel{y} \times \cfrac{3}{{}^2\bcancel{8}\bcancel{x}\bcancel{y}} = \cfrac{9}{2}x \end{eqnarray*} まちがえやすい注意点なので、もういちど整理しておきますね。
$\qquad \cfrac{8}{3}xy$ を逆数にすると $\cfrac{3}{8}xy$　←まちがい
$\qquad \cfrac{8}{3}xy$ を逆数にすると $\cfrac{3}{8xy}$　←正しい

分配法則でまんべんなくかけていきましょう。または、まんべんなく割っていきましょう。③の割り算は、分数にしなくてもわかるときは、いちいち分数にする必要はありません。でも慣れてないうちはひとつひとつ分数にしたほうがよいかもしれません。めんどくさいけど。④の分数の割り算は、逆数をかける形にします。「ひっくり返してかける」です。そのあとは分配法則。 \begin{eqnarray*} &①& 8(5a-7b)\\ &=&8\times5a+8\times(-7b)\\ &=&40a-56b\\ \\ &②& -\cfrac{3}{7}(21x+14y)\\ &=&-\cfrac{3}{7}\times21x-\cfrac{3}{7}\times14y\\ &=&-9x-6y\\ \\ &③& (15a-50b)\div5\\ &=&\cfrac{15a}{5}-\cfrac{50b}{5}\\ &=&\cfrac{{}^3\bcancel{15}a}{\bcancel{5}}-\cfrac{{}^{10}\bcancel{50}b}{\bcancel{5}}\\ &=&3a-10b\\ \\ &④& (36x+54y)\div\cfrac{18}{5}\\ &=&(36x+54y)\times\cfrac{5}{18}\\ &=&36x\times\cfrac{5}{18}+54y\times\cfrac{5}{18}\\ &=&{}^2\bcancel{36}x\times\cfrac{5}{\bcancel{18}}+{}^3\bcancel{54}y\times\cfrac{5}{\bcancel{18}}\\ &=&10x+15y \end{eqnarray*}

①$\times$ と $\div$ だけの式のときは、まず最初に答えの符号がプラスなのかマイナスなのかをみきわめたあと、ひとつの分数にして、上と下にハッキリとわけて、約分すればよいです。そのさい、$\div$ の直後にかかれているものは分母にかきます。また、たとえば $x^2$ を $xx$ のようにかくと、約分がしやすいです。 \begin{eqnarray*} &①& -3xy\div12xy^2\times(-6xy)\\ &=& \cfrac{3xy\times6xy}{12xy^2}\\ &=& \cfrac{3xy\times6xy}{12xyy}\\ &=& \cfrac{\bcancel{3}\bcancel{x}\bcancel{y}\times{}^3\bcancel{6}x\bcancel{y}}{{}^{2\bcancel{4}}\bcancel{12}\bcancel{x}\bcancel{y}\bcancel{y}}\\ &=& \cfrac{3}{2}x \end{eqnarray*} ②$\times$ と $\div$ だけの式に分数があるときは、まず最初に答えの符号がプラスなのかマイナスなのかをみきわめたあと、すべてをかけ算になおします。そのさい、上と下にハッキリとわけるとミスがすくなくなります。それから約分すればよいです。 \begin{eqnarray*} &②& \cfrac{1}{4}xy^2\div\cfrac{5}{12}x^2y\times10x\\ &=& \cfrac{xy^2}{4}\times\cfrac{12}{5x^2y}\times\cfrac{10x}{1}\\ &=& \cfrac{xyy}{4}\times\cfrac{12}{5xxy}\times\cfrac{10x}{1}\\ &=& \cfrac{\bcancel{x}\bcancel{y}y}{\bcancel{4}}\times\cfrac{{}^3\bcancel{12}}{\bcancel{5}\bcancel{x}\bcancel{x}\bcancel{y}}\times\cfrac{{}^2\bcancel{10}\bcancel{x}}{1}\\ &=&6y \end{eqnarray*} ③④の問題は、分配法則でかっこをはずしたあと、文字の同じ項どうしを足したり引いたりすればOKです。 \begin{eqnarray*} &③& 3(2x-3y)+4(5x-2y)\\ &=& 6x-9y+20x-8y\\ &=& 6x+20x-9y-8y\\ &=& 26x-17y\\ \\ &④& 5(4a+b)-4(6a-3b)\\ &=&20a+5b-24a+12b\\ &=&20a-24a+5b+12b\\ &=&-4a+17b\\ \end{eqnarray*} ⑤⑥の問題は、こういうのは分母をひとつにして、なが～い分数の線をひいて、そこに分子をぜんぶ乗せてしまうといいです。とくに⑥は符号のことでまちがえやすいので、いったんかっこをつけて分子をかくといいです。それからかっこをはずしてください。そうやると符号のまちがいがなくなります。 \begin{eqnarray*} &⑤& \cfrac{4a+b}{2}+\cfrac{2a-2b}{3}\\ &=& \cfrac{3(4a+b)+2(2a-2b)}{6}\\ &=& \cfrac{12a+3b+4a-4b}{6}\\ &=& \cfrac{12a+4a+3b-4b}{6}\\ &=& \cfrac{16a-b}{6} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑥& \cfrac{2x-3y}{6}-\cfrac{4x-y}{3}\\ &=& \cfrac{(2x-3y)-2(4x-y)}{6}\\ &=& \cfrac{2x-3y-8x+2y}{6}\\ &=& \cfrac{2x-8x-3y+2y}{6}\\ &=& \cfrac{-6x-y}{6} \end{eqnarray*} 約分についてですが、たとえば、 $$\cfrac{9x+5y}{6}$$ こういうのは約分できません。$9$ と $5$ と $6$ はいっぺんに割れないからです。なのでここでやめてください。それから、 $$\cfrac{9x+y}{6}$$ こういうのも約分しちゃダメです。これでやめてください。そんで、 $$\cfrac{9x+3y}{6}=\cfrac{{}^3\bcancel{9}x+\bcancel{3}y}{{}^2\bcancel{6}}=\cfrac{3x+y}{2}$$ こういうときが約分できます。$9$ と $3$ と $6$ は $3$ で割れます。約分してください。約分できるのにしてないと、それはそれでバツになります。

あと答えの書き方ですが、 $\cfrac{-6x-y}{6}$ となったときに、これを $-\cfrac{6x-y}{6}$ とかくとバツになります。式の意味がちがってしまうので、ダメです。やらないでください。マイナスを前にだしたいのであれば、 $$-\cfrac{6x+y}{6}$$ こうかくことになります。気をつけてね。だからおすすめは、余計なことは考えずにそのまま $\cfrac{-6x-y}{6}$ と答えておくことです。マイナスを前にださなきゃいいんです。そうすりゃバツにならんです。

\begin{eqnarray*} &①& 8x^2-9x^2\\ &=& -x^2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& \cfrac{4}{3}ab-2ab\\ &=& \cfrac{4}{3}ab-\cfrac{6}{3}ab\\ &=& -\cfrac{2}{3}ab \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &③& \cfrac{2}{3}x^2+\cfrac{3}{4}x-2x^2-\cfrac{3}{5}x\\ &=& \cfrac{2}{3}x^2-2x^2+\cfrac{3}{4}x-\cfrac{3}{5}x\\ &=& \cfrac{2}{3}x^2-\cfrac{6}{3}x^2+\cfrac{15}{20}x-\cfrac{12}{20}x\\ &=& -\cfrac{4}{3}x^2+\cfrac{3}{20}x \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &④& (3s-5t+2u)-(8s+3t+5u)\\ &=& 3s-5t+2u-8s-3t-5u\\ &=& 3s-8s-5t-3t+2u-5u\\ &=& -5s-8t-3u \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑤& -\cfrac{8}{3}x^2 \times \left(-\cfrac{1}{2}x\right)^3\\ &=& -\cfrac{8}{3}x^2 \times \left(-\cfrac{1}{8}x^3\right)\\ &=& -\cfrac{\bcancel{8}}{3}\times xx\times\left(-\cfrac{1}{\bcancel{8}}\times xxx\right)\\ &=& \cfrac{1}{3}x^5 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑥& 50x^6\div(-25x^2)\\ &=& -\cfrac{50x^6}{25x^2}\\ &=& -\cfrac{{}^2\bcancel{50}\bcancel{xx}xxxx}{\bcancel{25}\bcancel{xx}}\\ &=& -2x^4 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑦& \cfrac{10}{7}xy^2\div \cfrac{5}{21}xy\\ &=& \cfrac{10xyy}{7}\times \cfrac{21}{5xy}\\ &=& \cfrac{{}^2\bcancel{10}\bcancel{x}\bcancel{y}y}{\bcancel{7}}\times \cfrac{{}^3\bcancel{21}}{\bcancel{5}\bcancel{x}\bcancel{y}}\\\\ &=& 6y \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑧& -\cfrac{2}{9}(36pq-27p)\\ &=& -\cfrac{2}{9}\times36pq-\cfrac{2}{9}\times(-27p)\\ &=& -8pq+6p \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑨& (39x-52y)\div(-13)\\ &=& -\cfrac{39x}{13}+\cfrac{52y}{13}\\ &=& -\cfrac{{}^3\bcancel{39}x}{\bcancel{13}}+\cfrac{{}^4\bcancel{52}y}{\bcancel{13}}\\ &=& -3x+4y \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑩& (16a+24b)\div\cfrac{4}{5}\\ &=& (16a+24b)\times\cfrac{5}{4}\\ &=& 16a\times\cfrac{5}{4}+24b\times\cfrac{5}{4}\\ &=& {}^4\bcancel{16}a\times\cfrac{5}{\bcancel{4}}+{}^6\bcancel{24}b\times\cfrac{5}{\bcancel{4}}\\ &=& 20a+30b \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑪& 7x^2\div28xy\times6y^2\\ &=& \cfrac{7x^2\times6y^2}{28xy}\\ &=& \cfrac{\bcancel{7}\bcancel{x}x\times{}^3\bcancel{6}\bcancel{y}y}{{}^{2\bcancel{4}}\bcancel{28}\bcancel{x}\bcancel{y}}\\ &=& \cfrac{3}{2}xy \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑫& 30x^2y^2\div(-6y)\div\cfrac{5}{2}xy\\ &=& -\cfrac{30x^2y^2}{1}\times\cfrac{1}{6y}\times\cfrac{2}{5xy}\\ &=& -\cfrac{{}^\bcancel{5}\bcancel{30}\bcancel{x}x\bcancel{y}\bcancel{y}}{1}\times\cfrac{1}{\bcancel{6}\bcancel{y}}\times\cfrac{2}{\bcancel{5}\bcancel{x}\bcancel{y}}\\ &=& -2x \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑬& 4(3a+8b)-2(4a-3b)\\ &=& 12a+32b-8a+6b\\ &=& 12a-8a+32b+6b\\ &=& 4a+38b \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑭& \cfrac{x+5y}{6}-\cfrac{2x+3y}{4}\\ &=& \cfrac{2(x+5y)-3(2x+3y)}{12}\\ &=& \cfrac{2x+10y-6x-9y}{12}\\ &=& \cfrac{2x-6x+10y-9y}{12}\\ &=& \cfrac{-4x+y}{12} \end{eqnarray*}

問題の式に $x$ や $y$，$a$ や $b$ の値を代入しても答えは求められますが、めんどうくさいことになります。整理できるところまで整理してから代入するとラクになります。 \begin{eqnarray*} &①& 3(2x-y)-7x+4y\\ &=& 6x-3y-7x+4y\\ &=& 6x-7x-3y+4y\\ &=& -x+y \quad \class{mathbg-r}{（ここまでやってから代入する）} \\ &=& -(5.7)+(8.4)\\ &=& -5.7+8.4\\ &=& 2.7 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& 4a^2 \div (-4ab)^2 \times8ab\\ &=& 4a^2 \div 16a^2b^2 \times8ab\\ &=& \cfrac{4aa\times 8ab}{16aabb}\\ &=& \cfrac{\bcancel{4}\bcancel{aa}\times {}^2\bcancel{8}a\bcancel{b}}{{}^{\bcancel{4}}\bcancel{16}\bcancel{aa}\bcancel{b}b}\\ &=& \cfrac{2a}{b} \quad \class{mathbg-r}{（ここまでやってから代入する）} \\ &=& \cfrac{2\times5}{-6}\\ &=& -\cfrac{5}{3} \end{eqnarray*}

＜おぼえておきたい数学のおやくそく＞
偶数…$2n$
奇数…$2n+1 \quad (2n-1)$
$3$の倍数…$3n$
$5$の倍数…$5n$
連続する $2$つの数…$n, \ n+1$
連続する $3$つの数…$n-1, \ n, \ n+1 \quad (n, \ n+1, \ n+2)$
連続する $2$つの偶数…$2n, \ 2n+2$
連続する $2$つの奇数…$2n-1, \ 2n+1$
※ただし、$n$ は整数とする。

＜おぼえておきたい数学のおやくそく＞
$3$ けたの数
$\large{100x+10y+z}$
百の位と一の位をいれかえた数
$\large{100z+10y+x}$
※ただし、$x, \ z$ は $1$ から $9$ までの整数とする。

\begin{eqnarray*} ①\\ y&=&2x-6\quad \class{mathbg-r}{（左辺と右辺をとりかえる）}\\ 2x-6&=&y\\ 2x&=&y+6\\ x&=&\cfrac{y+6}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ②\\ S&=&\cfrac{1}{2}(a+b)h\quad \class{mathbg-r}{（左辺と右辺をとりかえる）}\\ \cfrac{1}{2}(a+b)h&=&S\quad \class{mathbg-r}{（両辺に\times2）}\\ (a+b)h&=&2S\\ h&=&\cfrac{2S}{a+b} \end{eqnarray*}