\begin{eqnarray*} &①& 5-3\times7\\ &=& 5-21\\ &=&-16 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& \cfrac{3}{4}-1+\cfrac{1}{3}\\ &=& \cfrac{9}{12}-\cfrac{12}{12}+\cfrac{4}{12}\\ &=& \cfrac{1}{12} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &③& -6+2\times\{(-3)^2-5\}\\ &=& -6+2\times(9-5)\\ &=&-6+2\times4\\ &=&-6+8\\ &=&2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& 2(4a-b)-3(7a-3b)\\ &=& 8a-2b-21a+9b\\ &=& 8a-21a-2b+9b\\ &=& -13a+7b \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑤& \cfrac{2x-3y}{6}-\cfrac{x-4y}{4}\\ &=& \cfrac{2(2x-3y)-3(x-4y)}{12}\\ &=& \cfrac{4x-6y-3x+12y}{12}\\ &=& \cfrac{4x-3x-6y+12y}{12}\\ &=& \cfrac{x+6y}{12} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& 12ab^2\times(-5ab)\\ &=& -60a^2b^3 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑦& 8x\div(-12xy)\times3y^2\\ &=& -\cfrac{8x\times3yy}{12xy}\\ &=& -\cfrac{{}^2\bcancel{8}\bcancel{x}\times\bcancel{3}\bcancel{y}y}{{}^{\bcancel{3}}\bcancel{12}\bcancel{x}\bcancel{y}}\\ &=& -2y \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑧& 6x^2\div\cfrac{12}{5}x^2y^2\times\cfrac{4}{15}y\\ &=& \cfrac{6xx}{1}\div\cfrac{12xxyy}{5}\times\cfrac{4y}{15}\\ &=& \cfrac{6xx}{1}\times\cfrac{5}{12xxyy}\times\cfrac{4y}{15}\\ &=& \cfrac{\bcancel{6}\bcancel{x}\bcancel{x}}{1}\times\cfrac{\bcancel{5}}{\bcancel{12}\bcancel{x}\bcancel{x}\bcancel{y}y}\times\cfrac{{}^2\bcancel{4}\bcancel{y}}{{}^3\bcancel{15}}\\ &=&\cfrac{2}{3y} \end{eqnarray*}

①番　代入法で、①の式を②の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} y=-2x+5\quad…①\\ 3x-2y=11\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 3x-2\times(-2x+5)&=&11\\ 3x+4x-10&=&11\\ 7x&=&21\\ x&=&3 \end{eqnarray*} $x=3を①に代入$ \begin{eqnarray*} y&=&-2\times3+5\\ &=&-6+5\\ &=&-1\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-1 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ②番　①の式のかっこをはずし、整理します。加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 5(x-3)+2y=-2y-5\quad…①\\ 2x+3y=11\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①を整理$ \begin{eqnarray*} 5(x-3)+2y&=&-2y-5\\ 5x-15+2y&=&-2y-5\\ 5x+2y+2y&=&-5+15\\ 5x+4y&=&10\quad…③ \end{eqnarray*} $②\times4 \ - \ ③\times3$ \begin{eqnarray*} 8x+12y=44\\ \underline{-) \quad 15x+12y=30}\\ -7x\phantom{++6y}=14\\ x=-2 \end{eqnarray*} $x=-2を②に代入$ \begin{eqnarray*} 2\times(-2)+3y&=&11\\ -4+3y&=&11\\ 3y&=&15\\ y&=&5 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=5 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

③番　分数があるときは分母の公倍数をかけて分母をはらいます。小数があるときは $\times10$ や $\times100$ をして小数を消します。そのへんは $1$ 次方程式のときと同じです。そのあとは $x$ か $y$ の係数をそろえて足すか引くかして、$1$ 文字消去していけばいいです。
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{2}{3}x+y=2\quad…①\\ 0.3x-y=-4.9\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①の式に3をかけて分母をはらう$ \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3}x+y&=&2\\ 2x+3y&=&6\qquad…③ \end{eqnarray*} $②の式に10をかけて小数をなくす$ \begin{eqnarray*} 0.3x-y&=&-4.9\\ 3x-10y&=&-49\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times3\ - \ ④\times2$ \begin{eqnarray*} 6x+\phantom{2}9y=\phantom{-}18\\ \underline{-) \quad 6x-20y=-98}\\ 29y=116\phantom{0}\\ y=4\phantom{110} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=4を③に代入\\ 2x+3\times4&=&6\\ 2x+12&=&6\\ 2x&=&-6\\ x&=&-3\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=4 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ④番　まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくり、②とします。①の式と②の式を連立させ、$x$ の係数をそろえて加減法で解きます。
まず、まんなかをかくせば、
$2x-y=9$ という式ができます。
それから、左がわをかくせば、
$x-5y=9$ という式ができます。 んで、この $2$ つの式を連立させて解いていくわけです。
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2x-y=9\qquad…①\\ x-5y=9\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①-②\times2$ \begin{eqnarray*} 2x-\phantom{10}y=\phantom{1}9\\ \underline{-) \quad 2x-10y=18} \\ 9y=-9 \\ y=-1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-1を①に代入\\ 2x-(-1)&=&9\\ 2x+1&=&9\\ 2x&=&9-1\\ 2x&=&8\\ x&=&4 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ y=-1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-\cfrac{2}{3}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-\cfrac{2}{3}x+b$$ となります。あと、「点$(-6,2)$を通る」というのは、$x=-6$ のとき $y=2$ という意味です。これをこの $y=-\cfrac{2}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 2&=&-\cfrac{2}{3}\times(-6)+b\\ 2&=&4+b\\ 2-4&=&b\\ -2&=&b \end{eqnarray*}

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-2,9),(3,-1)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-9}{3-(-2)}\\ &=&\cfrac{-10}{5}\\ &=&-2\\ \end{eqnarray*} これで $a=-2$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=-2x+b$$ ここに、 $(-2,9),(3,-1)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。今回は、 $(3,-1)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} -1&=&-2\times3+b\\ -1&=&-6+b\\ -1+6&=&b\\ 5&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-2$ , $b=5$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-2x+5$$

「$x$ の変域が $p \leqq x \leqq q$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-1 \leqq x \leqq 3$ の $-1$ と $3$ をそれぞれ問題の $y=-3x-2$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-1$ を $y=-3x-2$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-3\times(-1)-2\\ &=&3-2\\ &=&1\\ \end{eqnarray*} 次に、 $x=3$ を $y=-3x-2$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-3\times3-2\\ &=&-9-2\\ &=&-11\\ \end{eqnarray*} これで、$1$ と $-11$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。$$-11 \leqq y \leqq 1$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。

$2$ 直線の交点は連立方程式の解です。直線 $l, \ m$ の式を連立方程式にして \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=2x+4\\ y=-\cfrac{1}{3}x-3\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} これを解けばいいです。解き方は、この手の連立方程式は代入法で、右辺 $=$ 右辺の式をたてて、$x$ を求めていきましょう。関数の問題でよく使うパターンです。

代入法で、右辺 ＝ 右辺の式にして、これを解きます。 \begin{eqnarray*} 2x+4&=&-\cfrac{1}{3}x-3\qquad(×3）\\ 6x+12&=&-x-9\\ 6x+x&=&-9-12\\ 7x&=&-21\\ x&=&-3\\ \end{eqnarray*} $y=2x+4$ に $x=-3$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&2×(-3)+4\\ &=&-6+4\\ &=&-2\\\\ &&答え\quad (-3, \ -2) \end{eqnarray*} ※座標をきかれているのだから、かならず座標の答え方で答えましょう。

三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$」です。 $AB$ を底辺とします。すると高さは $P$ から $AB$ におろした垂線と $AB$ との交点を $C$ とでもしておきます。すると $PC$ が高さということになります。それぞれの長さを求めて面積をだしましょう。

＜$AB$ について＞
$A$ の $y$ 座標は $y=2x+4$ の切片だから $4$。$B$ の $y$ 座標は $y=-\cfrac{1}{3}x-3$ の切片だから $-3$。だから $AB=7$。長さの話なのですから絶対値で考えるようにしましょう。

＜$PC$ について＞
$PC$ の長さは、点 $P$ の $x$ 座標をみればよいです。点 $P$ の $x$ 座標は $-3$ ですから、$PC$ の長さは $3$ です。これも長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

これで底辺と高さがわかりました。では面積をだしましょう。 $$7×3×\cfrac{1}{2}=\cfrac{21}{2}$$

対応する辺や角に注意する。

$DB=DC$ なのですから、$\triangle DBC$ は 二等辺三角形です。なので、$\angle DCB=35^{ \circ }$ です。…①

三角形の外角は、それととなり合わない $2$ つの内角の和に等しいです。$\triangle DBC$ で考えて、$\angle ADC=35^{ \circ }+35^{ \circ }=70^{ \circ }$ です。…②

$AC=DC$ なのですから、$\triangle CAD$ は 二等辺三角形です。なので、$\angle CAD=70^{ \circ }$ です。…③

$\triangle CAD$ で考えて、$\angle x=180^{ \circ }-(70^{ \circ }+70^{ \circ })=40^{ \circ }$ です。

正三角形の $3$つの辺の長さは等しいです。(定義)
正三角形の $3$つの角の大きさは等しくて、すべて $60^{ \circ }$ です。

仮定と結論をいれかえたものを逆といいます。
逆はつねに成り立つとは限りません。成り立つこともあれば、成り立たないこともあります。

※対応する辺や角に注意しましょう。
※直角三角形の合同条件をいうときは、「直角三角形で」と最初にいうのを忘れないようにしましょう。

$\triangle OAM \ \equiv \ \triangle OCN$ を証明すればいいです。合同条件は $1$辺両端角です。

①辺$BC$ を $C$側に延長します。
②$A$ と $C$ をむすびます。
③$D$ を通り、$AC$ と平行な線をひき、半直線$BC$ との交点を $E$ とします。平行な線は、だいたい見た感じで平行になってればOKです。コンパスとか使ってなくていいです。そういうことになってます。
④$A$ と $E$ をむすびます。
$\triangle ABE$ と 四角形$ABCD$ の面積は等しいです。理由は、$\triangle ACE =\triangle ACD$ だからです。どちらの三角形も、$AC$ を底辺とすれば、高さの長さ(赤線のところ)が同じになります。(⑤⑥)

この答えでは、辺$BC$ を $C$側に延長して三角形をつくりましたが、このほかにもいくつか、面積の等しい三角形がかけます。同じやり方をしていれば、どれをかいてもOKです。

このようにして、面積の等しい図形をつくることを、数学では等積変形といいます。
この問題の手順を利用するととてもラクになる問題が、関数でよく出題されます。また、この等積変形の考え方を利用しないと、たぶん解けない問題が、特に私立高校の入試問題でよく出題されます。なので、ぜひおぼえておきたい手順です。

$EB$ を底辺とすれば、$\triangle EBC$ と $\triangle EBD$ は面積が等しいことがいえます。

$BD$ を底辺とすれば、$\triangle EBD$ と $\triangle FBD$ は面積が等しいことがいえます。

②「以上」なので $1$ は入ります。$\cfrac{6}{6}=1$
③「より大きい」なので $1$ は入りません。
④「以下」なので $1$ は入ります。
⑤「より小さい」なので $1$ は入りません。$\cfrac{0}{6}=0$
⑥$\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$
⑦偶数は $2, \ 4, \ 6$ の $3$ 通りです。$\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}$
⑧$3$ の倍数は $3, \ 6$ の $2$ 通りです。$\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$

①絵札は$12$枚です。$\cfrac{12}{52}=\cfrac{3}{13}$
②絵札でないのは$40$枚です。$\cfrac{40}{52}=\cfrac{10}{13}$
③スペードは$13$枚です。$\cfrac{13}{52}=\cfrac{1}{4}$
④スペードでないのは$39$枚です。$\cfrac{39}{52}=\cfrac{3}{4}$
⑦$\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}$
⑧$\cfrac{6}{9}=\cfrac{2}{3}$
⑨$\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}$

答えのような図を樹形図といいます。しらみつぶしに全パターンを調べるのに便利です。
右側の足の数を数えてください。それの本数が、全部で何パターンあるか、というのを表すことになります。全部で $8$ 通りのパターンがあります。なので分母は $8$ です。
下の図で、赤でチェックしてあるところが、問題に該当するところです。

「$2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくる」というのは、たとえば、$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$ というのは、$23$ だということになります。左が $10$ の位で、右が $1$ の位です。
気をつけなければならないのは、左側に $\boxed{\large{\ 0\ }}$ のカードは置けない、ということです。
$\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 1\ }}$ とか $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$ とかは、$2$ けたの整数とはいえません。
そのようなことをふまえて、樹形図をかきます。 足の本数が、全部で何パターンあるか、というのを表すことになります。全部で $9$ 通りのパターンがあります。なので分母は $9$ です。
赤でチェックしてあるところが、問題に該当するところです。

①樹形図をかいてもいけます。関数の座標のかき方みたいなのをかいてもいいです。右の図のような表をかいてもいいです。すきなやり方でやってください。ここでは表でやっておきます。
目の出方は、表のマス目の数だけパターンがあります。なので $36$ パターンあります。分母は $36$ です。
表で、出た目がおなじところに〇印をつけます。ここが問題に該当するところです。 なので、
$$\cfrac{6}{36}=\cfrac{1}{6}$$ ②出る目の和を表にかきこんでしまいます。「$5$ 以下」というのは、$5$ がふくまれます。なので、色のついているところが問題に該当するところです。なので、
$$\cfrac{10}{36}=\cfrac{5}{18}$$ ③出る目の積を表にかきこんでしまいます。「$8$ より大きい」というのは、$8$ はふくまれません。なので、色のついているところが問題に該当するところです。なので、
$$\cfrac{20}{36}=\cfrac{5}{9}$$

＜①の問題＞
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②が赤玉、③と④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じです。
んで、樹形図をかいてもいけます。または、関数の座標のかき方みたいなのをかいてもいいです。図のような表をかいてもいいです。すきなやり方でやってください。ここでは表でやっていきます。
玉の出方は、表のマス目の数だけパターンがあります。なので $25$ パターンあります。分母は $25$ です。
表で、玉の色がおなじところに〇印をつけます。ここが問題に該当するところです。 なので、
$$\cfrac{13}{25}$$ ＜②の問題＞
玉に番号をつけるところは同じです。今回も表でやりますが、はじめの問題とちがうのは、今回は同じ玉を取り出すことはできません。はじめの問題では、たとえば①①というふうに、同じ玉を$2$ 回取り出せますが、今回はそれができません。こういうときは、表に斜めの線がはいります。こんな感じです。
線をいれたのはもちろん、「同じ番号の玉はとり出せない」という意味です。
玉の出方は、表のマス目の数だけパターンがあります。なので $20$ パターンあります。分母は $20$ です。
表で、玉の色がおなじところに〇印をつけます。ここが問題に該当するところです。 なので、
$$\cfrac{8}{20}=\cfrac{2}{5}$$