中3数学 2学期の計算 第14回 全35問
ページがちゃんと表示されるまで$10$秒くらいかかります。印刷するときは、ちょっと待ってからにしてください。
$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $8+4\div(-2)$
答え $6$
\begin{eqnarray*} &&8+4\div(-2)\\ &=&8-2\\ &=&6 \end{eqnarray*}② $-2^2\times4+(-8)^2\div(-2)$
答え $-48$
\begin{eqnarray*} &&-2^2\times4+(-8)^2\div(-2)\\ &=&-4\times4+64\div(-2)\\ &=&-16-32\\ &=&-48 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{2}{3}-\cfrac{5}{16}\div\cfrac{15}{8}$
答え $\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{3}-\cfrac{5}{16}\div\cfrac{15}{8}\\ &=&\cfrac{2}{3}-\cfrac{5}{16}\times\cfrac{8}{15}\\ &=&\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{6}\\ &=&\cfrac{4}{6}-\cfrac{1}{6}\\ &=&\cfrac{3}{6}\\ &=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{6}{5}(15x-25)-\cfrac{5}{4}(16x-28)$
答え $-2x+5$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{6}{5}(15x-25)-\cfrac{5}{4}(16x-28)\\ &=&18x-30-20x+35\\ &=&-2x+5 \end{eqnarray*}⑤ $(54x^2y-99xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{2}xy\right)$
答え $-12x+22y$
\begin{eqnarray*} &&(54x^2y-99xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{2}xy\right)\\ &=&(54x^2y-99xy^2)\times\left(-\cfrac{2}{9xy}\right)\\ &=&54x^2y\times\left(-\cfrac{2}{9xy}\right)-99xy^2\times\left(-\cfrac{2}{9xy}\right)\\ &=&-12x+22y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{x-2y}{4}-\cfrac{3x-y}{5}$
答え $\cfrac{-7x-6y}{20}\\\quad\left(-\cfrac{7x+6y}{20},-\cfrac{7}{20}x-\cfrac{3}{10}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-2y}{4}-\cfrac{3x-y}{5}\\ &=&\cfrac{5(x-2y)-4(3x-y)}{20}\\ &=&\cfrac{5x-10y-12x+4y}{20}\\ &=&\cfrac{-7x-6y}{20} \end{eqnarray*}⑦ $(x-12)(x-5)$
答え $x^2-17x+60$
⑧ $\left(\cfrac{4}{3}x-\cfrac{9}{8}y\right)^2$
答え $\cfrac{16}{9}x^2-3xy+\cfrac{81}{64}y^2$
⑨ $\left(\cfrac{11}{12}a+\cfrac{13}{14}b\right)\left(\cfrac{11}{12}a-\cfrac{13}{14}b\right)$
答え $\cfrac{121}{144}a^2-\cfrac{169}{196}b^2$
⑩ $-(5x+6)^2-(3x+8)(4x-5)$
答え $-37x^2-77x+4$
\begin{eqnarray*} &&-(5x+6)^2-(3x+8)(4x-5)\\ &=&-(25x^2+60x+36)-(12x^2-15x+32x-40)\\ &=&-25x^2-60x-36-(12x^2+17x-40)\\ &=&-25x^2-60x-36-12x^2-17x+40\\ &=&-37x^2-77x+4 \end{eqnarray*}⑪ $-\sqrt{15}\times2\sqrt{3}+8\sqrt{6}\div\sqrt{30}$
答え $-\cfrac{22\sqrt{5}}{5}$
\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{15}\times2\sqrt{3}+8\sqrt{6}\div\sqrt{30}\\ &=&-2\sqrt{45}+\cfrac{8\sqrt{6}}{\sqrt{30}}\\ &=&-6\sqrt{5}+\cfrac{8}{\sqrt{5}}\\ &=&-6\sqrt{5}+\cfrac{8\sqrt{5}}{5}\\ &=&-\cfrac{30\sqrt{5}}{5}+\cfrac{8\sqrt{5}}{5}\\ &=&-\cfrac{22\sqrt{5}}{5} \end{eqnarray*}⑫ $-\sqrt{7}\div(-3\sqrt{56})\times6\sqrt{6}$
答え $\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{7}\div(-3\sqrt{56})\times6\sqrt{6}\\ &=&\cfrac{\sqrt{7}\times6\sqrt{6}}{3\sqrt{56}}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{3}}{2}\\ &=&\sqrt{3} \end{eqnarray*}⑬ $\left(2\sqrt{3}-\cfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2$
答え $\cfrac{27}{2}-6\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(2\sqrt{3}-\cfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2\\ &=&12-2\sqrt{18}+\cfrac{6}{4}\\ &=&12-6\sqrt{2}+\cfrac{3}{2}\\ &=&12+\cfrac{3}{2}-6\sqrt{2}\\ &=&\cfrac{24}{2}+\cfrac{3}{2}-6\sqrt{2}\\ &=&\cfrac{27}{2}-6\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $64p^2q-96pq^2+32pq$
答え $32pq(2p-3q+1)$
② $x^2+19x+34$
答え $(x+17)(x+2)$
③ $0.04x^2-0.2xy+0.25y^2$
答え $\left(0.2x-0.5y\right)^2$
④ $\cfrac{4}{9}a^2-\cfrac{25}{289}b^2$
答え $\left(\cfrac{2}{3}a+\cfrac{5}{17}b\right)\left(\cfrac{2}{3}a-\cfrac{5}{17}b\right)$
⑤ $4x^2-16y^2$
答え $4(x+2y)(x-2y)$
\begin{eqnarray*} &&4x^2-16y^2\\ &=&4(x^2-4y^2)\\ &=&4(x+2y)(x-2y) \end{eqnarray*}① $-\cfrac{10x+1}{15}=-\cfrac{x+5}{3}+x$
答え $x=\cfrac{6}{5}$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{10x+1}{15}&=&-\cfrac{x+5}{3}+x\quad(\times15) \\ -10x-1&=&-5x-25+15x \\ -10x+5x-15x&=&-25+1\\ -20x&=&-24 \\ x&=&\cfrac{24}{20}=\cfrac{6}{5} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 0.4x-0.5y=4\\ 5(x+y)=3y-49 \end{array}\right.$
答え $x=-5,y=-12$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.4x-0.5y=4\qquad…①\\ 5(x+y)=3y-49\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times10$ \begin{eqnarray*} 0.4x-0.5y&=&4\quad(\times10)\\ 4x-5y&=&40\qquad…③ \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 5(x+y)&=&3y-49\\ 5x+5y&=&3y-49\\ 5x+2y&=&-49\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times2+④\times5$ \begin{eqnarray*} 8x-10y=\phantom{-2}80\\ \underline{+) \quad 25x+10y=-245} \\ 33x\phantom{+112y}=-165\\ x=-5\phantom{28} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-5を④に代入\\ 5\times(-5)+2y&=&-49\\ -25+2y&=&-49\\ 2y&=&-49+25\\ 2y&=&-24\\ y&=&-12\\ \left\{ \begin{array}{l} x=-5\\ y=-12 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $(x-5)(x-6)=72$
答え $x=14 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} (x-5)(x-6)&=&72\\ x^2-11x+30&=&72\\ x^2-11x+30-72&=&0\\ x^2-11x-42&=&0 \\ (x-14)(x+3)&=&0\\ x&=&14,\ x=-3 \end{eqnarray*}④ $\cfrac{9}{5}x^2-3=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{9}{5}x^2-3&=&0 \quad\left(両辺に\times5\right)\\ 9x^2-15&=&0 \\ 9x^2&=&15\\ x^2&=&\cfrac{15}{9}=\cfrac{5}{3}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{5}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{3} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{9}{5}x^2-3x=0$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{5}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{9}{5}x^2-3x&=&0\qquad\left(両辺に\times5\right)\\ 9x^2-15x&=&0\qquad\left(両辺に\times\cfrac{1}{3}\right)\\ 3x^2-5x&=&0\\ x(3x-5)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=\cfrac{5}{3} \end{eqnarray*}⑥ $(6x+1)(3x+2)=3x$
答え $x=-\cfrac{1}{3}$
\begin{eqnarray*} (6x+1)(3x+2)&=&3x\\ 18x^2+12x+3x+2&=&3x\\ 18x^2+15x+2-3x&=&0\\ 18x^2+12x+2&=&0\quad\left(両辺を2で割る\right)\\ 9x^2+6x+1&=&0\\ (3x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}⑦ $2(x-3)^2-32=0$
答え $x=7, \ x=-1$
\begin{eqnarray*} 2(x-3)^2-32&=&0\\ 2(x-3)^2&=&32\\ (x-3)^2&=&16\\ x-3&=&\pm\sqrt{16}=\pm4\\ x&=&3\pm4\\ x&=&7, \ x=-1 \end{eqnarray*}⑧ $\cfrac{1}{8}x^2-x+1=0$
答え $x=4\pm2\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{8}x^2&-&x+1=0\quad\left(両辺に\times8\right)\\ x^2&-&8x+8=0\\ x&=&\cfrac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\times1\times8}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{8\pm\sqrt{64-32}}{2}\\ &=&\cfrac{8\pm\sqrt{32}}{2}\\ &=&\cfrac{8\pm4\sqrt{2}}{2}\\ &=&4\pm2\sqrt{2} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=-\cfrac{2x-6}{3}\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-3y+6}{2}\\\left(x=-\cfrac{3y-6}{2},-\cfrac{3}{2}y+3も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{2x-6}{3}\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ -\cfrac{2x-6}{3}&=&y\quad(両辺に\times3)\\ -2x+6&=&3y\quad(両辺に\times-1)\\ 2x-6&=&-3y\\ 2x&=&-3y+6\\ x&=&\cfrac{-3y+6}{2} \end{eqnarray*}$a=\sqrt{5}, \ b=\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$(a+b)^2-(a-b)^2$
答え $4\sqrt{15}$
\begin{eqnarray*} &&(a+b)^2-(a-b)^2\\ &&a+b=A, \ a-b=Bとする\\ &=&A^2-B^2\\ &=&(A+B)(A-B)\\ &=&\{(a+b)+(a-b)\}\{(a+b)-(a-b)\}\\ &=&(a+b+a-b)(a+b-a+b)\\ &=&2a\times2b\\ &=&4ab\\ &=&4\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}\\ &=&4\sqrt{15} \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます。この問題はこのほうがラク。ただ、展開して整理はしておきましょう。…まあ、いきなり代入してしまってもまちがった答えがでてくるわけじゃありませんが。 \begin{eqnarray*} &&(a+b)^2-(a-b)^2\\ &=&a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)\\ &=&a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\\ &=&4ab\\ &=&4\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}\\ &=&4\sqrt{15} \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=15$ のとき、$y=-9$ である。$x=-10$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=6$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-9}{15}=-\cfrac{3}{5}\\ y=-\cfrac{3}{5}xに\ x=-10\ を代入する\\ y=-\cfrac{3}{5}\times(-10)=6$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=16$ のとき、$y=-\cfrac{5}{4}$ である。$x=15$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{4}{3}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=16\times\left(-\cfrac{5}{4}\right)=-20\\ y=-\cfrac{20}{x}\ に\ x=15\ を代入する\\ y=-\cfrac{20}{15}=-\cfrac{4}{3}$$⑤ $2$ 点 $(-15, \ 2), \ (10, \ -13)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{5}x-7$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-13-2}{10-(-15)}=\cfrac{-15}{25}=-\cfrac{3}{5}\\ \\ y&=&-\cfrac{3}{5}x+bに x=-15, \ y=2 を代入する\\ 2&=&-\cfrac{3}{5}\times(-15)+b\\ 2&=&9+b\\ -7&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=4$ のとき、$y=\cfrac{32}{5}$ である。$x=-5$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=10$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ \begin{eqnarray*} y&=&ax^2に\ x=4, \ y=\cfrac{32}{5}\ を代入する\\ \cfrac{32}{5}&=&a\times4^2\\ \cfrac{32}{5}&=&16a\quad(両辺に\times5)\\ 32&=&80a\\ \cfrac{32}{80}&=&a\\ \cfrac{2}{5}&=&a\\ \\ y&=&\cfrac{2}{5}x^2 \ に \ x=-5 \ を代入する\\ y&=&\cfrac{2}{5}\times(-5)^2=10 \end{eqnarray*}⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=\cfrac{4}{7}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(3, \ \cfrac{36}{7}\right)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P\left(-4, \ \cfrac{64}{7}\right)$ だから、 \begin{eqnarray*} y=ax^2&に&\ x=-4, \ y=\cfrac{64}{7}\ を代入する\\ \cfrac{64}{7}&=&a\times(-4)^2\\ \cfrac{64}{7}&=&16a\quad(両辺に\times7)\\ 64&=&112a\\ \cfrac{64}{112}&=&a\\ \cfrac{4}{7}&=&a\\ \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $3$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=\cfrac{4}{7}x^2$ に $x=3$ を代入
$ y=\cfrac{4}{7}\times3^2=\cfrac{36}{7} $
⑧ 大小 $2$ 個のさいころを投げ、大きいさいころの出た目を $a$, 小さいさいころの出た目を $b$ とする。$\cfrac{a}{b}$ が自然数となる確率を求めなさい。
答え $\cfrac{7}{18}$
$\cfrac{a}{b}$ についての表を考える。
オレンジ色のところが $\cfrac{a}{b}$ が自然数になるところ。 $$ \cfrac{14}{36}=\cfrac{7}{18}$$
⑨ $1$ 枚の硬貨を $3$ 回投げるとき、少なくとも $1$ 枚が裏である確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①6②-48③\cfrac{1}{2}④-2x+5 ⑤-12x+22y\\ ⑥\cfrac{-7x-6y}{20}\quad\left(-\cfrac{7x+6y}{20},-\cfrac{7}{20}x-\cfrac{3}{10}yも可\right)\\ ⑦x^2-17x+60 ⑧\cfrac{16}{9}x^2-3xy+\cfrac{81}{64}y^2\\ ⑨\cfrac{121}{144}a^2-\cfrac{169}{196}b^2 ⑩-37x^2-77x+4\\ ⑪-\cfrac{22\sqrt{5}}{5}⑫\sqrt{3}⑬\cfrac{27}{2}-6\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①32pq(2p-3q+1)②(x+17)(x+2)\\ ③\left(0.2x-0.5y\right)^2④\left(\cfrac{2}{3}a+\cfrac{5}{17}b\right)\left(\cfrac{2}{3}a-\cfrac{5}{17}b\right)\\ ⑤4(x+2y)(x-2y)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{6}{5}②x=-5,y=-12\\ ③x=14,x=-3④x=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{3}⑤x=0,x=\cfrac{5}{3}\\ ⑥x=-\cfrac{1}{3}⑦x=7,x=-1⑧x=4\pm2\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-3y+6}{2}\left(x=-\cfrac{3y-6}{2},-\cfrac{3}{2}y+3も可\right)\\ ②4\sqrt{15}③y=6④y=-\cfrac{4}{3} ⑤y=-\cfrac{3}{5}x-7⑥y=10\\ ⑦放物線…y=\cfrac{4}{7}x^2，Ｑの座標\left(3,\cfrac{36}{7}\right)\\ ⑧\cfrac{7}{18}⑨\cfrac{7}{8} $