中3数学 2学期の計算 第4回 全35問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $6+3\times(-5)$
答え $-9$
\begin{eqnarray*} &&6+3\times(-5)\\ &=&6-15\\ &=&-9 \end{eqnarray*}② $4\times(-3)^2-2^2\div2$
答え $34$
\begin{eqnarray*} &&4\times(-3)^2-2^2\div2\\ &=&4\times9-4\div2\\ &=&36-2\\ &=&34 \end{eqnarray*}③ $5-\cfrac{3}{10}\div\cfrac{9}{20}$
答え $\cfrac{13}{3}$
\begin{eqnarray*} &&5-\cfrac{3}{10}\div\cfrac{9}{20}\\ &=&5-\cfrac{3}{10}\times\cfrac{20}{9}\\ &=&5-\cfrac{2}{3}\\ &=&\cfrac{15}{3}-\cfrac{2}{3}\\ &=&\cfrac{13}{3} \end{eqnarray*}④ $-(7x+3)+3(2x+4)$
答え $-x+9$
\begin{eqnarray*} &&-(7x+3)+3(2x+4)\\ &=&-7x-3+6x+12\\ &=&-x+9 \end{eqnarray*}⑤ $(15a^2b-45ab^2)\div\left(-\cfrac{5}{2}ab\right)$
答え $-6a+18b$
\begin{eqnarray*} &&(15a^2b-45ab^2)\div\left(-\cfrac{5}{2}ab\right)\\ &=&(15a^2b-45ab^2)\times\left(-\cfrac{2}{5}ab\right)\\ &=&15a^2b\times\left(-\cfrac{2}{5ab}\right)-45ab^2\times\left(-\cfrac{2}{5ab}\right)\\ &=&-6a+18b \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{4x+3y}{5}-\cfrac{2x-y}{2}$
答え $\cfrac{-2x+11y}{10}\\\quad\left(-\cfrac{2x-11y}{10},-\cfrac{1}{5}x+\cfrac{11}{10}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{4x+3y}{5}-\cfrac{2x-y}{2}\\ &=&\cfrac{2(4x+3y)-5(2x-y)}{10}\\ &=&\cfrac{8x+6y-10x+5y}{10}\\ &=&\cfrac{-2x+11y}{10} \end{eqnarray*}⑦ $(x-8)(x+5)$
答え $x^2-3x-40$
⑧ $\left(\cfrac{3}{2}a-\cfrac{1}{3}b\right)^2$
答え $\cfrac{9}{4}a^2-ab+\cfrac{1}{9}b^2$
⑨ $\left(3x+\cfrac{1}{13}y\right)\left(3x-\cfrac{1}{13}y\right)$
答え $9x^2-\cfrac{1}{169}y^2$
⑩ $2(x+1)(2x-3)-3(x-4)^2$
答え $x^2+22x-54$
\begin{eqnarray*} &&2(x+1)(2x-3)-3(x-4)^2\\ &=&2(2x^2-3x+2x-3)-3(x^2-8x+16)\\ &=&2(2x^2-x-3)-3(x^2-8x+16)\\ &=&4x^2-2x-6-3x^2+24x-48\\ &=&x^2+22x-54 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{6}\times\sqrt{8}-\cfrac{12}{\sqrt{3}}$
答え $0$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{6}\times\sqrt{8}-\cfrac{12}{\sqrt{3}}\\ &=&\sqrt{48}-\cfrac{12\sqrt{3}}{3}\\ &=&4\sqrt{3}-4\sqrt{3}\\ &=&0 \end{eqnarray*}⑫ $12\sqrt{30}\div\sqrt{6}\div2\sqrt{10}$
答え $3\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&12\sqrt{30}\div\sqrt{6}\div2\sqrt{10}\\ &&\cfrac{12\sqrt{30}}{\sqrt{6}\times2\sqrt{10}}\\ &=&\cfrac{6}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{2}}{2}\\ &=&3\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑬ $(3\sqrt{3}-3)^2$
答え $36-18\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} &&(3\sqrt{3}-3)^2\\ &=&27-18\sqrt{3}+9\\ &=&36-18\sqrt{3} \end{eqnarray*}① $12ab+30ab^2$
答え $6ab(2+5b)$
② $x^2-26x+48$
答え $(x-2)(x-24)$
③ $25x^2-10xy+y^2$
答え $(5x-y)^2$
④ $\cfrac{1}{144}x^2-\cfrac{1}{169}y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{12}x+\cfrac{1}{13}y\right)\left(\cfrac{1}{12}x-\cfrac{1}{13}y\right)$
⑤ $2x^2-4x+2$
答え $2(x-1)^2$
\begin{eqnarray*} &&2x^2-4x+2\\ &=&2(x^2-2x+1)\\ &=&2(x-1)^2 \end{eqnarray*}① $0.3x+0.4=0.1x+1$
答え $x=3$
\begin{eqnarray*} 0.3x+0.4&=&0.1x+1\quad(\times10) \\ 3x+4&=&x+10 \\ 3x-x&=&10-4\\ 2x&=&6 \\ x&=&3 \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 2(x-y)=x-7\\ 5x+15y=15 \end{array}\right.$
答え $x=-3,y=2$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2(x-y)=x-7\qquad…①\\ 5x+15y=15\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①を整理$ \begin{eqnarray*} 2(x-y)&=&x-7\\ 2x-2y-x&=&-7\\ x-2y&=&-7\qquad…③ \end{eqnarray*} $②\div3-③$ \begin{eqnarray*} x+3y=\phantom{-}3\\ \underline{-) \quad x-2y=-7} \\ 5y=10 \\ y=2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=2を③に代入\\ x-2\times2&=&-7\\ x-4&=&-7\\ x&=&-7+4\\ x&=&-3 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2=-7x-12$
答え $x=-3 ,\ x=-4$
\begin{eqnarray*} x^2&=&-7x-12\\ x^2+7x+12&=&0 \\ (x+3)(x+4)&=&0\\ x&=&-3,\ x=-4 \end{eqnarray*}④ $20x^2-7=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{35}}{10}$
\begin{eqnarray*} 20x^2-7&=&0 \\ 20x^2&=&7\\ x^2&=&\cfrac{7}{20}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{7}{20}}=\pm\cfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{20}}=\pm\cfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{5}}=\pm\cfrac{\sqrt{35}}{10} \end{eqnarray*}⑤ $9x^2=6x-1$
答え $x=\cfrac{1}{3}$
\begin{eqnarray*} 9x^2&=&6x-1 \\ 9x^2-6x+1&=&0\\ (3x-1)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}⑥ $125x^2=50x$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{2}{5}$
\begin{eqnarray*} 125x^2&=&50x \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{25}\right)\\ 5x^2&=&2x\\ 5x^2-2x&=&0\\ x(5x-2)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=\cfrac{2}{5} \end{eqnarray*}⑦ $(x-3)^2-18=0$
答え $x=3\pm 3\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} (x-3)^2-18&=&0\\ (x-3)^2&=&18\\ x-3&=&\pm\sqrt{18}\\ x-3&=&\pm3\sqrt{2}\\ x&=&3\pm 3\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑧ $4x^2-8x-16=0$
答え $x=1\pm\sqrt{5}$
\begin{eqnarray*} 4x^2&-&8x-16=0\quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{4}\right)\\ x^2&-&2x-4=0\\ x&=&\cfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times(-4)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{20}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm2\sqrt{5}}{2}\\ &=&1\pm\sqrt{5} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$-4y=\cfrac{3}{2}(x+4)\quad[x]$
答え $x=-\cfrac{8}{3}y-4\\\left(\cfrac{-8y-12}{3}, \ -\cfrac{8y+12}{3}も可\right)$
\begin{eqnarray*} -4y&=&\cfrac{3}{2}(x+4)\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ \cfrac{3}{2}(x+4)&=&-4y\quad(両辺に\times2)\\ 3(x+4)&=&-8y\\ x+4&=&-\cfrac{8}{3}y\\ x&=&-\cfrac{8}{3}y-4 \end{eqnarray*}$x=\sqrt{5}+4, \ y=\sqrt{5}-4$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2+2xy+y^2$
答え $20$
\begin{eqnarray*} &&x^2+2xy+y^2\\ &=&(x+y)^2\\ &=&\{(\sqrt{5}+4)+(\sqrt{5}-4)\}^2\\ &=&(\sqrt{5}+4+\sqrt{5}-4)^2\\ &=&(2\sqrt{5})^2\\ &=&20 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2+2xy+y^2\\ &=&(\sqrt{5}+4)^2+2(\sqrt{5}+4)(\sqrt{5}-4)+(\sqrt{5}-4)^2\\ &=&5+8\sqrt{5}+16+2(5-16)+5-8\sqrt{5}+16\\ &=&20 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-6$ のとき、$y=4$ である。$x=\cfrac{3}{5}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{2}{5}$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{4}{-6}=-\cfrac{2}{3}\\ y=-\cfrac{2}{3}xに\ x=\cfrac{3}{5}\ を代入する\\ y=-\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{5}=-\cfrac{2}{5}$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-8$ のとき、$y=-3$ である。$x=12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=2$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-8\times(-3)=24\\ y=\cfrac{24}{x}\ に\ x=12\ を代入する\\ y=\cfrac{24}{12}=2$$⑤ $2$ 点 $(0, \ 3), \ (4, \ 11)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=2x+3$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{11-3}{4-0}=\cfrac{8}{4}=2\\ \end{eqnarray*} また、点 $(0, \ 3)$ を通るから $b=3$⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-3$ のとき、$y=3$ である。$x=6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=12$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{3}{(-3)^2}=\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}\\ y=\cfrac{1}{3}x^2に\ x=6\ を代入する\\ y=\cfrac{1}{3}\times6^2=\cfrac{1}{3}\times36=12$$⑦ 下の放物線が点 $P$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{4}x^2$
放物線の式の形は $y=ax^2$点 $P(-4, \ -4)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{-4}{(-4)^2}=-\cfrac{4}{16}=-\cfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*}
⑧ $A, B, C, D, E$ の $5$ 人の生徒があるテストをうけた。表はその得点の結果である。$5$ 人の平均点が $63.4$ 点であるとき、$D$ さんの得点は何点か。 \begin{array}{|cccccc|} \hline & A & B & C & D & E & \\ \hline & 69 & 45 & 76 & & 56 & \\ \hline \end{array}
答え 71点
$D$ さんの得点を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} \cfrac{69+45+76+x+56}{5}&=&63.4 \quad(両辺に\times5)\\ 69+45+76+x+56&=&317\\ 246+x&=&317\\ x&=&317-246\\ x&=&71 \end{eqnarray*}⑨ $1$ 枚の硬貨を $3$ 回投げるとき、少なくとも $1$ 枚が裏である確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-9②34③\cfrac{13}{3}④-x+9\\ ⑤-6a+18b\\ ⑥\cfrac{-2x+11y}{10}\quad\left(-\cfrac{2x-11y}{10},-\cfrac{1}{5}x+\cfrac{11}{10}yも可\right)\\ ⑦x^2-3x-40 ⑧\cfrac{9}{4}a^2-ab+\cfrac{1}{9}b^2⑨9x^2-\cfrac{1}{169}y^2\\ ⑩x^2+22x-54 ⑪0⑫3\sqrt{2}⑬36-18\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①6ab(2+5b)②(x-2)(x-24)\\ ③(5x-y)^2④\left(\cfrac{1}{12}x+\cfrac{1}{13}y\right)\left(\cfrac{1}{12}x-\cfrac{1}{13}y\right)\\ ⑤2(x-1)^2\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=3②x=-3,y=2\\ ③x=-3,x=-4④x=\pm\cfrac{\sqrt{35}}{10}⑤x=\cfrac{1}{3}⑥x=0,x=\cfrac{2}{5}\\ ⑦x=3\pm3\sqrt{2}⑧x=1\pm\sqrt{5}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=-\cfrac{8}{3}y-4\left(\cfrac{-8y-12}{3}, \ -\cfrac{8y+12}{3}も可\right) ②20③y=-\cfrac{2}{5}\\ ④y=2⑤y=2x+3⑥y=12⑦y=-\cfrac{1}{4}x^2⑧71点⑨\cfrac{7}{8} $