才塾 定期テスト対策

中3数学 2学期の計算 第3回 全35問

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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$-8-3\times4$

答え $-20$

\begin{eqnarray*} &&-8-3\times4\\ &=&-8-12\\ &=&-20 \end{eqnarray*}

$-2^2\times(-5)+(-2)^2\times6$

答え $44$

\begin{eqnarray*} &&-2^2\times(-5)+(-2)^2\times6\\ &=&-4\times(-5)+4\times6\\ &=&20+24\\ &=&44 \end{eqnarray*}

$-6+\cfrac{7}{3}\div\cfrac{14}{9}$

答え $-\cfrac{9}{2}$

\begin{eqnarray*} &&-6+\cfrac{7}{3}\div\cfrac{14}{9}\\ &=&-6+\cfrac{7}{3}\times\cfrac{9}{14}\\ &=&-6+\cfrac{3}{2}\\ &=&-\cfrac{12}{2}+\cfrac{3}{2}\\ &=&-\cfrac{9}{2} \end{eqnarray*}

$-2(x+3)+(5x+7)$

答え $3x+1$

\begin{eqnarray*} &&-2(x+3)+(5x+7)\\ &=&-2x-6+5x+7\\ &=&3x+1 \end{eqnarray*}

$(8a^2b-12ab^2)\div\left(-\cfrac{4}{5}ab\right)$

答え $-10a+15b$

\begin{eqnarray*} &&(8a^2b-12ab^2)\div\left(-\cfrac{4}{5}ab\right)\\ &=&(8a^2b-12ab^2)\times\left(-\cfrac{5}{4ab}\right)\\ &=&8a^2b\times\left(-\cfrac{5}{4ab}\right)-12ab^2\times\left(-\cfrac{5}{4ab}\right)\\ &=&-10a+15b \end{eqnarray*}

$\cfrac{x+4y}{3}-\cfrac{5x-2y}{6}$

答え $\cfrac{-3x+10y}{6}\\\quad\left(-\cfrac{3x-10y}{6},-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{5}{3}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x+4y}{3}-\cfrac{5x-2y}{6}\\ &=&\cfrac{2(x+4y)-(5x-2y)}{6}\\ &=&\cfrac{2x+8y-5x+2y}{6}\\ &=&\cfrac{-3x+10y}{6} \end{eqnarray*}

$(x-5)(x+7)$

答え $x^2+2x-35$

$\left(\cfrac{1}{2}a-6b\right)^2$

答え $\cfrac{1}{4}a^2-6ab+36b^2$

$\left(2x+\cfrac{1}{3}y\right)\left(2x-\cfrac{1}{3}y\right)$

答え $4x^2-\cfrac{1}{9}y^2$

$-3(x+4)(x-2)+(3x-2)^2$

答え $6x^2-18x+28$

\begin{eqnarray*} &&-3(x+4)(x-2)+(3x-2)^2\\ &=&-3(x^2+2x-8)+9x^2-12x+4\\ &=&-3x^2-6x+24+9x^2-12x+4\\ &=&6x^2-18x+28 \end{eqnarray*}

$-\sqrt{\cfrac{4}{3}}+\sqrt{18}\times\sqrt{6}$

答え $\cfrac{16\sqrt{3}}{3}$

\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{\cfrac{4}{3}}+\sqrt{18}\times\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}+3\sqrt{2}\times\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{2}{\sqrt{3}}+3\sqrt{12}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}+6\sqrt{3}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}+\cfrac{18\sqrt{3}}{3}\\ &=&\cfrac{16\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}

$\sqrt{\cfrac{3}{10}}\div2\sqrt{6}\div\sqrt{\cfrac{2}{5}}$

答え $\cfrac{\sqrt{2}}{8}$

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{\cfrac{3}{10}}\div2\sqrt{6}\div\sqrt{\cfrac{2}{5}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}\div2\sqrt{6}\div\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}\times\cfrac{1}{2\sqrt{6}}\times\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{8} \end{eqnarray*}

$(4\sqrt{3}-3\sqrt{6})(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})$

答え $8\sqrt{6}+36-12\sqrt{3}-27\sqrt{2}$

\begin{eqnarray*} &&(4\sqrt{3}-3\sqrt{6})(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})\\ &=&8\sqrt{6}+36-6\sqrt{12}-9\sqrt{18}\\ &=&8\sqrt{6}+36-12\sqrt{3}-27\sqrt{2}\\ \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の式を因数分解しなさい。

$10m^2n+35mn^2-5mn$

答え $5mn(2m+7n-1)$

$x^2-17x+30$

答え $(x-2)(x-15)$

$36x^2-12xy+y^2$

答え $(6x-y)^2$

$4x^2-\cfrac{1}{121}y^2$

答え $\left(2x+\cfrac{1}{11}y\right)\left(2x-\cfrac{1}{11}y\right)$

$(2x+1)^2-6(2x+1)-16$

答え $(2x+3)(2x-7)$

\begin{eqnarray*} &&(2x+1)^2-6(2x+1)-16\\ &&2x+1=Aとする\\ &&A^2-6A-16\\ &=&(A+2)(A-8)\\ &=&(2x+1+2)(2x+1-8)\\ &=&(2x+3)(2x-7) \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 次の①~⑦の方程式を解きなさい。

$x+\cfrac{5}{12}=-\cfrac{3}{2}x+\cfrac{2}{3}$

答え $x=\cfrac{1}{10}$

\begin{eqnarray*} x+\cfrac{5}{12}&=&-\cfrac{3}{2}x+\cfrac{2}{3}\quad(\times12) \\ 12x+5&=&-18x+8 \\ 12x+18x&=&8-5\\ 30x&=&3 \\ x&=&\cfrac{3}{30}=\cfrac{1}{10} \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 5x+2y=-8\\ y=3x+7 \end{array}\right.$

答え $x=-2,y=1$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 5x+2y=-8\qquad…①\\ y=3x+7\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を①に代入$ \begin{eqnarray*} 5x+2(3x+7)&=&-8\\ 5x+6x+14&=&-8\\ 5x+6x&=&-8-14\\ 11x&=&-22\\ x&=&-2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-2を②に代入\\ y&=&3\times(-2)+7\\ &=&-6+7\\ &=&1 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$x^2+8x=-12$

答え $x=-6 ,\ x=-2$

\begin{eqnarray*} x^2+8x&=&-12\\ x^2+8x+12&=&0 \\ (x+6)(x+2)&=&0\\ x&=&-6,\ x=-2 \end{eqnarray*}

$-12x^2+20=0$

答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{3}$

\begin{eqnarray*} -12x^2+20&=&0 \quad\left(両辺に\times-\cfrac{1}{4}\right)\\ 3x^2-5&=&0\\ 3x^2&=&5\\ x^2&=&\cfrac{5}{3}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{5}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{3} \end{eqnarray*}

$4x^2=-4x-1$

答え $x=-\cfrac{1}{2}$

\begin{eqnarray*} 4x^2&=&-4x-1 \\ 4x^2+4x+1&=&0\\ (2x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}

$4x^2=-6x$

答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{3}{2}$

\begin{eqnarray*} 4x^2&=&-6x \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{2}\right)\\ 2x^2&=&-3x\\ 2x^2+3x&=&0\\ x(2x+3)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}

$(x-6)^2-49=0$

答え $x=13 ,\ x=-1$

\begin{eqnarray*} (x-6)^2-49&=&0\\ (x-6)^2&=&49\\ x-6&=&\pm\sqrt{49}\\ x-6&=&\pm7\\ x&=&6\pm 7\\ x&=&13 ,\ x=-1 \end{eqnarray*}

$x^2-8x+4=0$

答え $x=4\pm2\sqrt{3}$

\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\times1\times4}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}\\ &=&\cfrac{8\pm\sqrt{48}}{2}\\ &=&\cfrac{8\pm4\sqrt{3}}{2}\\ &=&4\pm2\sqrt{3} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$-2y=\cfrac{5}{3}(x+1)\quad[x]$

答え $x=-\cfrac{6}{5}y-1\\\left(\cfrac{-6y-5}{5}, \ -\cfrac{6y+5}{5}も可\right)$

\begin{eqnarray*} -2y&=&\cfrac{5}{3}(x+1)\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ \cfrac{5}{3}(x+1)&=&-2y\quad(両辺に\times3)\\ 5(x+1)&=&-6y\\ x+1&=&-\cfrac{6}{5}y\\ x&=&-\cfrac{6}{5}y-1 \end{eqnarray*}

$x=3+2\sqrt{3}, \ y=3-2\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x^2-2xy+y^2$

答え $48$

\begin{eqnarray*} &&x^2-2xy+y^2\\ &=&(x-y)^2\\ &=&\{(3+2\sqrt{3})-(3-2\sqrt{3})\}^2\\ &=&(3+2\sqrt{3}-3+2\sqrt{3})^2\\ &=&(4\sqrt{3})^2\\ &=&48 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2-2xy+y^2\\ &=&(3+2\sqrt{3})^2-2(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})+(3-2\sqrt{3})^2\\ &=&9+12\sqrt{3}+12-2(9-12)+9-12\sqrt{3}+12\\ &=&48 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=-3$ のとき、$y=18$ である。$x=\cfrac{1}{2}$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-3$

比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{18}{-3}=-6\\ y=-6xに\ x=\cfrac{1}{2}\ を代入する\\ y=-6\times\cfrac{1}{2}=-3$$

$y$ が $x$ に反比例し、$x=-3$ のとき、$y=-6$ である。$x=1$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=18$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-3\times(-6)=18\\ y=\cfrac{18}{x}\ に\ x=1\ を代入する\\ y=\cfrac{18}{1}=18$$

$2$ 点 $(-4, \ 5), \ (6, \ 0)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{1}{2}x+3$

直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{0-5}{6-(-4)}=\cfrac{-5}{10}=-\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=6,\ y=0$ を代入 \begin{eqnarray*} 0&=&-\cfrac{1}{2}\times6+b\\ 0&=&-3+b\\ 3&=&b \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-2$ のとき、$y=12$ である。$x=-\cfrac{1}{3}$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=\cfrac{1}{3}$

$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{12}{(-2)^2}=\cfrac{12}{4}=3\\ y=3x^2に\ x=-\cfrac{1}{3}\ を代入する\\ y=3\times\left(-\cfrac{1}{3}\right)^2=3\times\cfrac{1}{9}=\cfrac{1}{3}$$

下の放物線が点 $P$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。
グラフ

答え $y=\cfrac{3}{4}x^2$

放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P(4, \ 12)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{12}{4^2}=-\cfrac{12}{16}=\cfrac{3}{4}\\ \end{eqnarray*}

$1$ 枚の硬貨を $3$ 回投げるとき、$2$ 枚が表、$1$ 枚が裏である確率を求めなさい。

答え $\cfrac{3}{8}$

硬貨表
表を〇、裏を×として樹形図をかく。
赤でチェックしたところが問題に該当するところ。

$\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$$\boxed{\large{\ 6\ }}$ と数字のかかれたカードが全部で $4$ 枚ある。この中から $2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくるとき、偶数となる確率を求めなさい。

答え $\cfrac{7}{9}$

左側に $\boxed{\large{\ 0\ }}$ のカードは置けない、ということをふまえて樹形図をかく。
樹形図 赤でチェックしたところが偶数。

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①-20②44③-\cfrac{9}{2}④3x+1\\ ⑤-10a+15b\\ ⑥\cfrac{-3x+10y}{6}\quad\left(-\cfrac{3x-10y}{6},-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{5}{3}yも可\right)\\ ⑦x^2+2x-35 ⑧\cfrac{1}{4}a^2-6ab+36b^2⑨4x^2-\cfrac{1}{9}y^2\\ ⑩6x^2-18x+28 ⑪\cfrac{16\sqrt{3}}{3}⑫\cfrac{\sqrt{2}}{8}⑬8\sqrt{6}+36-12\sqrt{3}-27\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①5mn(2m+7n-1)②(x-2)(x-15)\\ ③(6x-y)^2④\left(2x+\cfrac{1}{11}y\right)\left(2x-\cfrac{1}{11}y\right)\\ ⑤(2x+3)(2x-7)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{1}{10}②x=-2,y=1\\ ③x=-6,x=-2④x=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{3}⑤x=-\cfrac{1}{2}⑥x=0,x=-\cfrac{3}{2}\\ ⑦x=13 ,\ x=-1⑧x=4\pm2\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=-\cfrac{6}{5}y-1\left(\cfrac{-6y-5}{5}, \ -\cfrac{6y+5}{5}も可\right) ②48③y=-3\\ ④y=18⑤y=-\cfrac{1}{2}x+3⑥y=\cfrac{1}{3}⑦y=\cfrac{3}{4}x^2⑧\cfrac{3}{8}⑨\cfrac{7}{9} $

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