中3数学 2学期の計算 第1回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-3-2\times(-1)$
答え $-1$
\begin{eqnarray*} &&-3-2\times(-1)\\ &=&-3+2\\ &=&-1 \end{eqnarray*}② $(-2)^2\times(-3)-8\times(-1)^3$
答え $-4$
\begin{eqnarray*} &&(-2)^2\times(-3)-8\times(-1)^3\\ &=&4\times(-3)-8\times(-1)\\ &=&-12+8\\ &=&-4 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{1}{2}-\cfrac{2}{3}\div\cfrac{8}{9}$
答え $-\cfrac{1}{4}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{2}-\cfrac{2}{3}\div\cfrac{8}{9}\\ &=&\cfrac{1}{2}-\cfrac{2}{3}\times\cfrac{9}{8}\\ &=&\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{4}\\ &=&\cfrac{2}{4}-\cfrac{3}{4}\\ &=&-\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}④ $3(5x+1)-4(x-2)$
答え $11x+11$
\begin{eqnarray*} &&3(5x+1)-4(x-2)\\ &=&15x+3-4x+8\\ &=&11x+11 \end{eqnarray*}⑤ $(18a^2b+12ab^2)\div\left(-\cfrac{6}{5}ab\right)$
答え $-15a-10b$
\begin{eqnarray*} &&(18a^2b+12ab^2)\div\left(-\cfrac{6}{5}ab\right)\\ &=&(18a^2b+12ab^2)\times\left(-\cfrac{5}{6ab}\right)\\ &=&18a^2b\times\left(-\cfrac{5}{6ab}\right)+12ab^2\times\left(-\cfrac{5}{6ab}\right)\\ &=&-15a-10b \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{2x-y}{3}-\cfrac{3x-2y}{2}$
答え $\cfrac{-5x+4y}{6}\\\quad\left(-\cfrac{5x-4y}{6},-\cfrac{5}{6}x+\cfrac{2}{3}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x-y}{3}-\cfrac{3x-2y}{2}\\ &=&\cfrac{2(2x-y)-3(3x-2y)}{6}\\ &=&\cfrac{4x-2y-9x+6y}{6}\\ &=&\cfrac{-5x+4y}{6} \end{eqnarray*}⑦ $(x+7)(x-4)$
答え $x^2+3x-28$
⑧ $\left(\cfrac{3}{5}a-5b\right)^2$
答え $\cfrac{9}{25}a^2-6ab+25b^2$
⑨ $(11x+4y)(11x-4y)$
答え $121x^2-16y^2$
⑩ $-(2x+3)(x-4)-(x-2)^2$
答え $-3x^2+9x+8$
\begin{eqnarray*} &&-(2x+3)(x-4)-(x-2)^2\\ &=&-(2x^2-8x+3x-12)-(x^2-4x+4)\\ &=&-(2x^2-5x-12)-(x^2-4x+4)\\ &=&-2x^2+5x+12-x^2+4x-4\\ &=&-3x^2+9x+8 \end{eqnarray*}⑪ $-\cfrac{4}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\times\sqrt{6}$
答え $\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{4}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\times\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{4\sqrt{2}}{2}+\sqrt{18}\\ &=&-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\ &=&\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑫ $3\sqrt{6}\div6\sqrt{24}\times3\sqrt{10}$
答え $\cfrac{3\sqrt{10}}{4}$
\begin{eqnarray*} &&3\sqrt{6}\div6\sqrt{24}\times3\sqrt{10}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{6}\times3\sqrt{10}}{6\sqrt{24}}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{10}}{4} \end{eqnarray*}⑬ $\left(3\sqrt{2}-5\right)^2$
答え $43-30\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(3\sqrt{2}-5\right)^2\\ &=&18-30\sqrt{2}+25\\ &=&43-30\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $5m^2n-20mn^2$
答え $5mn(m-4n)$
② $x^2-10x+21$
答え $(x-3)(x-7)$
③ $49x^2-56xy+16y^2$
答え $(7x-4y)^2$
④ $x^2-\cfrac{81}{100}y^2$
答え $\left(x+\cfrac{9}{10}y\right)\left(x-\cfrac{9}{10}y\right)$
⑤ $ax+bx+a+b$
答え $(a+b)(x+1)$
\begin{eqnarray*} &&ax+bx+a+b\\ &=&x(a+b)+(a+b)\\ &=&xA+A\\ &=&A(x+1)\\ &=&(a+b)(x+1) \end{eqnarray*}① $\cfrac{5}{6}x-3=\cfrac{x}{2}+4$
答え $x=21$
\begin{eqnarray*} \cfrac{5}{6}x-3&=&\cfrac{x}{2}+4\quad(\times6) \\ 5x-18&=&3x+24 \\ 5x-3x&=&24+18\\ 2x&=&42 \\ x&=&21 \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} x+3y=45\\ 2(x-y)=13-y \end{array}\right.$
答え $x=12,y=11$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x+3y=45\qquad…①\\ 2(x-y)=13-y\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 2(x-y)&=&13-y\\ 2x-2y&=&13-y\\ 2x-2y+y&=&13\\ 2x-y&=&13\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times2-③$ \begin{eqnarray*} 2x+6y=90\\ \underline{-) \quad 2x-\phantom{1}y=13} \\ 7y=77 \\ y=11 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=11を①に代入\\ x+3\times11&=&45\\ x+33&=&45\\ x&=&45-33\\ x&=&12 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=12\\ y=11 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2+3x-28=0$
答え $x=4 ,\ x=-7$
\begin{eqnarray*} x^2+3x-28&=&0 \\ (x-4)(x+7)&=&0\\ x&=&4,\ x=-7 \end{eqnarray*}④ $12x^2-15=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{2}$
\begin{eqnarray*} 12x^2-15&=&0 \quad(両辺に\times\cfrac{1}{3})\\ 4x^2-5&=&0\\ 4x^2&=&5\\ x^2&=&\cfrac{5}{4}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{5}{4}}=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}⑤ $x^2=-6x-9$
答え $x=-3$
\begin{eqnarray*} x^2&=&-6x-9 \\ x^2+6x+9&=&0\\ (x+3)^2&=&0\\ x&=&-3 \end{eqnarray*}⑥ $x^2=4x$
答え $x=0 ,\ x=4$
\begin{eqnarray*} x^2&=&4x\\ x^2-4x&=&0\\ x(x-4)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=4 \end{eqnarray*}⑦ $(x-5)^2=9$
答え $x=8 ,\ x=2$
\begin{eqnarray*} (x-5)^2&=&9 \\ x-5&=&\pm\sqrt{9}\\ x&=&5\pm 3\\ x&=&8 ,\ x=2 \end{eqnarray*}⑧ $2x^2-3x+1=0$
答え $x=1 ,\ x=\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times2\times1}}{2\times2}\\ &=&\cfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}\\ &=&\cfrac{3\pm\sqrt{1}}{4}\\ &=&\cfrac{3\pm1}{4}\\ x&=&\cfrac{4}{4} ,\ x=\cfrac{2}{4}\\ x&=&1 ,\ x=\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=\cfrac{4}{5}x-2\quad[x]$
答え $x=\cfrac{5y+10}{4}\\\left(\cfrac{5}{4}y+\cfrac{5}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{4}{5}x-2\quad(左辺と右辺をとりかえる） \\ \cfrac{4}{5}x-2&=&y\quad(\times5) \\ 4x-10&=&5y\\ 4x&=&5y+10\\ x&=&\cfrac{5y+10}{4} \end{eqnarray*}$x=\sqrt{3}+3$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-6x+9$
答え $3$
\begin{eqnarray*} &&x^2-6x+9\\ &=&(x-3)^2\\ &=&(\sqrt{3}+3-3)^2\\ &=&(\sqrt{3})^2\\ &=&3 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2-6x+9\\ &=&(\sqrt{3}+3)^2-6(\sqrt{3}+3)+9\\ &=&3+6\sqrt{3}+9-6\sqrt{3}-18+9\\ &=&3 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=5$ のとき、$y=-10$ である。$x=-4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=8$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-10}{5}=-2\\ y=-2xに\ x=-4\ を代入する\\ y=-2\times(-4)=8$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-\cfrac{1}{2}$ のとき、$y=-4$ である。$x=-8$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{4}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-\cfrac{1}{2}\times(-4)=2\\ y=\cfrac{2}{x}\ に\ x=-8\ を代入する\\ y=\cfrac{2}{-8}=-\cfrac{1}{4}$$⑤ $2$ 点 $(-3, \ 1), \ (6, \ 4)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{3}x+2$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{4-1}{6-(-3)}=\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{1}{3}x+b$ に $x=-3,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&\cfrac{1}{3}\times(-3)+b\\ 1&=&-1+b\\ 1+1&=&b\\ 2&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=5$ のとき、$y=-50$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-18$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-50}{5^2}=\cfrac{-50}{25}=-2\\ y=-2x^2に\ x=-3\ を代入する\\ y=-2\times(-3)^2=-2\times9=-18$$⑦ 下の放物線が点 $P$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{9}x^2$
放物線の式の形は $y=ax^2$点 $P(-3, \ 2)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{2}{(-3)^2}=\cfrac{2}{9}\\ \end{eqnarray*}
⑧ $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が $6$ 以下になる確率を求めなさい。
⑨ 袋の中に赤玉が $3$ 個と白玉が $2$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{2}{5}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②と③が赤玉、④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{8}{20}=\cfrac{2}{5}$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-1②-4③-\cfrac{1}{4}④11x+11\\ ⑤-15a-10b\\ ⑥\cfrac{-5x+4y}{6}\quad\left(-\cfrac{5x-4y}{6},-\cfrac{5}{6}x+\cfrac{2}{3}yも可\right)\\ ⑦x^2+3x-28 ⑧\cfrac{9}{25}a^2-6ab+25b^2⑨121x^2-16y^2\\ ⑩-3x^2+9x+8 ⑪\sqrt{2}⑫\cfrac{3\sqrt{10}}{4}⑬43-30\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①5mn(m-4n)②(x-3)(x-7)\\ ③(7x-4y)^2④\left(x+\cfrac{9}{10}y\right)\left(x-\cfrac{9}{10}y\right)\\ ⑤(a+b)(x+1)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=21②x=12,y=11\\ ③x=4,x=-7④x=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{2}⑤x=-3⑥x=0,x=4\\ ⑦x=8 ,\ x=2⑧x=1 ,\ x=\cfrac{1}{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{5y+10}{4}\left(\cfrac{5}{4}y+\cfrac{5}{2}も可\right) ②3③y=8\\ ④y=-\cfrac{1}{4}⑤y=\cfrac{1}{3}x+2⑥y=-18⑦y=\cfrac{2}{9}x^2⑧\cfrac{5}{12}⑨\cfrac{2}{5} $