才塾 定期テスト対策

中3数学 冬休みの計算 第6回 全35問

6


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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$-5+30\div5$

答え $1$

\begin{eqnarray*} &&-5+30\div5\\ &=&-5+6\\ &=&1 \end{eqnarray*}

$\cfrac{5}{6}-2+\cfrac{7}{8}$

答え $-\cfrac{7}{24}$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{5}{6}-2+\cfrac{7}{8}\\ &=&\cfrac{20}{24}-\cfrac{48}{24}+\cfrac{21}{24}\\ &=&-\cfrac{7}{24} \end{eqnarray*}

$(-1)^3\times(-2)^2$

答え $-4$

\begin{eqnarray*} &&(-1)^3\times(-2)^2\\ &=&-1\times4\\ &=&-4 \end{eqnarray*}

$(6x-8)-(11x+3)$

答え $-5x-11$

\begin{eqnarray*} &&6x-8-11x-3\\ &=&6x-11x-8-3\\ &=&-5x-11 \end{eqnarray*}

$(20x^3y-16xy^2)\div\cfrac{4}{3}x^2y^2$

答え $\cfrac{15x}{y}-\cfrac{12}{x}$

\begin{eqnarray*} &&(20x^3y-16xy^2)\div\cfrac{4}{3}x^2y^2\\ &=&(20x^3y-16xy^2)\times\cfrac{3}{4x^2y^2}\\ &=&20x^3y\times\cfrac{3}{4x^2y^2}-16xy^2\times\cfrac{3}{4x^2y^2}\\ &=&\cfrac{15x}{y}-\cfrac{12}{x} \end{eqnarray*}

$\cfrac{4x+3y}{3}-\cfrac{10x+5y}{6}$

答え $\cfrac{-2x+y}{6}\\ \quad\left(-\cfrac{2x-y}{6},\ -\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{6}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{4x+3y}{3}-\cfrac{10x+5y}{6}\\ &=&\cfrac{2(4x+3y)-(10x+5y)}{6}\\ &=&\cfrac{8x+6y-10x-5y}{6}\\ &=&\cfrac{-2x+y}{6} \end{eqnarray*}

$-3(x-4)(x+6)$

答え $-3x^2-6x+72$

\begin{eqnarray*} &&-3(x-4)(x+6)\\ &=&-3(x^2+2x-24)\\ &=&-3x^2-6x+72 \end{eqnarray*}

$\left(\cfrac{3}{2}x-7y\right)^2$

答え $\cfrac{9}{4}x^2-21xy+49y^2$

$\left(\cfrac{11}{12}a+13b\right)\left(\cfrac{11}{12}a-13b\right)$

答え $\cfrac{121}{144}a^2-169b^2$

$\sqrt{8}-\sqrt{3}(\sqrt{6}-2)-\cfrac{6}{\sqrt{3}}$

答え $-\sqrt{2}$

\begin{eqnarray*} &&2\sqrt{2}-\sqrt{18}+2\sqrt{3}-\cfrac{6\sqrt{3}}{3}\\ &=&2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\ &=&-\sqrt{2} \end{eqnarray*}

$\sqrt{12}\times\sqrt{\cfrac{63}{4}}\div\sqrt{27}$

答え $\sqrt{7}$

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &&\sqrt{12}\times\cfrac{\sqrt{63}}{\sqrt{4}}\times\cfrac{1}{\sqrt{27}}\\ &&\sqrt{{}^\bcancel{3}\bcancel{12}}\times\cfrac{\sqrt{{}^7\bcancel{63}}}{\sqrt{\bcancel{4}}}\times\cfrac{1}{\sqrt{{}^\bcancel{9}\bcancel{27}}}\\ &=&\sqrt{7} \end{eqnarray*}

$\left(3\sqrt2-5\right)^2$

答え $43-30\sqrt2$

\begin{eqnarray*} &&\left(3\sqrt2-5\right)^2\\ &=&18-30\sqrt2+25\\ &=&43-30\sqrt2 \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の式を因数分解しなさい。

$48s^2t-144st^2$

答え $48st(s-3t)$

$x^2-16x+60$

答え $(x-6)(x-10)$

$25x^2-30xy+9y^2$

答え $(5x-3y)^2$

$16x^2-\cfrac{49}{81}y^2$

答え $\left(4x+\cfrac{7}{9}y\right)\left(4x-\cfrac{7}{9}y\right)$

$x^2-10x+25-y^2$

答え $(x+y-5)(x-y-5)$

\begin{eqnarray*} &&x^2-10x+25-y^2\\ &=&(x-5)^2-y^2\\ &=&(x-5+y)(x-5-y)\\ &=&(x+y-5)(x-y-5) \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 次の①~⑥の方程式を解きなさい。

$\cfrac{2}{5}x-3=\cfrac{3}{4}x-\cfrac{5}{2}$

答え $x=-\cfrac{10}{7}$

\begin{eqnarray*} \cfrac{2}{5}x-3&=&\cfrac{3}{4}x-\cfrac{5}{2}\quad(\times20) \\ 8x-60&=&15x-50 \\ 8x-15x&=&-50+60\\ -7x&=&10\\ x&=&-\cfrac{10}{7} \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 0.3x+0.2y=0.9\\ 5x+4(y-1)=3 \end{array}\right.$

答え $x=11,\ y=-12$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.3x+0.2y=0.9\qquad…①\\ 5x+4(y-1)=3\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ①\times10\\ 0.3x+0.2y&=&0.9 \\ 3x+2y&=&9\qquad…③ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} ②を整理\\ 5x+4(y-1)&=&3 \\ 5x+4y-4&=&3 \\ 5x+4y&=&7\qquad…④ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} ③\times2-④\\ 6x+4y=18\\ \underline{-) \quad 5x+4y=\phantom{1}7} \\ x\phantom{-15y}=11\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} x=11を&③&に代入\\ 3\times11+2y&=&9\\ 2y&=&9-33\\ 2y&=&-24\\ y&=&-12 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=11\\ y=-12 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$x^2+10x=-21$

答え $x=-3,\ x=-7$

\begin{eqnarray*} x^2+10x&=&-21 \\ x^2+10x+21&=&0\\ (x+3)(x+7)&=&0\\ x&=&-3,\ x=-7 \end{eqnarray*}

$9x^2-3=0$

答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

\begin{eqnarray*} 9x^2-3&=&0 \\ 9x^2&=&3 \\ x^2&=&\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}\\ x&=&\pm \sqrt {\frac{\ 1\ }{\ 3\ }}=\pm \cfrac{\sqrt1}{\sqrt3}=\pm \cfrac{\sqrt3}{3} \end{eqnarray*}

$-8x^2=20x$

答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{5}{2}$

\begin{eqnarray*} -8x^2&=&20x \\ -8x^2-20x&=&0\quad(両辺を-4で割る)\\ 2x^2+5x&=&0\\ x(2x+5)&=&0\\ x&=&0,\ x=-\cfrac{5}{2} \end{eqnarray*}

$3x^2+8x-3=0$

答え $x=-3, \ x=\cfrac{1}{3}$

\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-8\pm\sqrt{8^2-4\times3\times(-3)}}{2\times3}\\ &=&\cfrac{-8\pm\sqrt{64+36}}{6}\\ &=&\cfrac{-8\pm\sqrt{100}}{6}\\ &=&\cfrac{-8\pm10}{6}\\ &=&-\cfrac{18}{6}, \ \cfrac{2}{6}\\ &=&-3, \ \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$y=-\cfrac{2}{3}x-4\quad[x]$

答え $x=\cfrac{-3y-12}{2}\\ \left(x=-\cfrac{3y+12}{2}, \ x=-\cfrac{3}{2}y-6も可\right)$

\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{2}{3}x-4\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ -\cfrac{2}{3}x-4&=&y\quad(\times-3) \\ 2x+12&=&-3y\\ 2x&=&-3y-12 \\ x&=&\cfrac{-3y-12}{2} \end{eqnarray*}

$x=\sqrt{5}+3$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x^2-6x$

答え $-4$

\begin{eqnarray*} &&x^2-6x\\ &=&(\sqrt{5}+3)^2-6(\sqrt{5}+3)\\ &=&5+6\sqrt{5}+9-6\sqrt{5}-18\\ &=&-4 \end{eqnarray*} <別解1> \begin{eqnarray*} &&x^2-6x\\ &=&x(x-6)\\ &=&(\sqrt{5}+3)\{(\sqrt{5}+3)-6\}\\ &=&(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)\\ &=&5-9\\ &=&-4 \end{eqnarray*} <別解2> \begin{eqnarray*} x&=&\sqrt{5}+3より\\ x-3&=&\sqrt{5}\\ 両辺を2乗する\\ (x-3)^2&=&(\sqrt{5})^2\\ x^2-6x+9&=&5\\ x^2-6x&=&5-9\\ x^2-6x&=&-4 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=3$ のとき、$y=-6$ である。$x=-20$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=40$

比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{-6}{3}=-2\\ y=-2x\ に\ x=-20 を代入する\\ y=-2\times(-20)=40$$

$y$ が $x$ に反比例し、$x=-4$ のとき、$y=-5$ である。$x=-6$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{10}{3}$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-4\times(-5)=20\\ y=\cfrac{20}{x}\ に\ x=-6\ を代入する\\ y=\cfrac{20}{-6}=-\cfrac{10}{3}$$

$2$ 点 $(-10,\ 11),\ (5,\ -1)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{4}{5}x+3$

直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-11}{5-(-10)}=\cfrac{-12}{15}=-\cfrac{4}{5}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{4}{5}x+b$ に $x=5,\ y=-1$ を代入 \begin{eqnarray*} -1&=&-\cfrac{4}{5}\times5+b\\ -1&=&-4+b\\ 3&=&b \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-\cfrac{1}{2}$ のとき、$y=3$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=108$

$2$ 乗に比例する式の形は $y=ax^2$ $$y=ax^2 に x=-\cfrac{1}{2},\ y=3 を代入する$$ \begin{eqnarray*} 3&=&a\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)^2\\ 3&=&\cfrac{1}{4}a\quad\quad(\times4)\\ 12&=&a \end{eqnarray*} $$y=12x^2\ に\ x=-3 を代入する\\ y=12\times(-3)^2=12\times9=108$$

$6$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$52$ 点、$39$ 点、$86$ 点、$66$ 点、$75$ 点、$82$ 点だった。このときの中央値(メジアン)を求めなさい。

答え $70.5\ 点$

得点を低い順にならべると、
$$39,\ 52,\ 66,\ 75,\ 82,\ 86$$ $6$ 人の中央値(メジアン)は $3$ 番目と $4$ 番目の平均だから、 $$(66+75)\div2=70.5$$

$2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積が $12$ より大きくなる確率を求めなさい。

答え $\cfrac{13}{36}$

確率表
出る目の積を表にするとこうなる。
オレンジ色のところが $12$ より大きい。

放物線

$\boxed{\large{\ 5\ }}$ 右の図のように、関数 $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ のグラフと直線 $y=-\cfrac{3}{2}x-2$ が $2$ 点 $A$,$B$ で交わっている。このとき、以下の問いに答えなさい。






$①$ $2$ 点 $A, \ B$ の座標をそれぞれ求めなさい。

答え
$A\left(-1,-\cfrac{1}{2}\right) \quad , \quad B(4,-8)$

やりかた

2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-\cfrac{1}{2}x^2\\ y=-\cfrac{3}{2}x-2 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、(上の式の右辺)=(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{2}x^2&=&-\cfrac{3}{2}x-2\\ -\cfrac{1}{2}x^2+\cfrac{3}{2}x+2&=&0\quad両辺に\times(-2)\\ x^2-3x-4&=&0\\ (x-4)(x+1)&=&0\\ x&=&4,\quad x=-1 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。こんどはそれぞれの $x$ について、$y$ をだしていきましょう。使う式は $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ と $y=-\cfrac{3}{2}x-2$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ を使ってみましょう。
$x=4$ のとき $$y=-\cfrac{1}{2}\times4^2=-8$$ $x=-1$ のとき $$y=-\cfrac{1}{2}\times(-1)^2=-\cfrac{1}{2}$$ こうして、$x=4$ のとき $y=-8$ , $x=-1$ のとき $y=-\cfrac{1}{2}$ というふうに、$x$ と $y$ の2つの組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$A\left(-1,-\cfrac{1}{2}\right) \quad , \quad B(4,-8)$$ $A$ は $x$ がマイナスのほう、$B$ は $x$ がプラスのほうを答えましょう。それはグラフを見て判断しましょう。

$②$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。

答え
$5$

やりかた

グラフ $\triangle OAB$ の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。
直線の $y$ 切片は $-2$ なので、緑線の長さは $2$ です。赤の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標をみればよいです。なので、 $$5×2×\cfrac{1}{2}=5$$

$③$ 点 $A$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。

答え
$y=\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4}$

やりかた

中線 <中線>
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
なので、$OB$ の中点を求めて、そこと原点を通る直線の式を答えればよいです。

<中点>
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。
点 $O$ の座標は $(0, \ 0),$ 点 $B$ の座標は $(4, \ -8)$ です。なのでその中点を $M$ とすると、その座標は、 \begin{eqnarray*} &&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{0+4}{2}, \ \cfrac{0-8}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{4}{2}, \ \cfrac{-8}{2}\right)\\ &=&(2, \ -4)\\ \end{eqnarray*} というわけで中点 $M$ の座標は $(2, \ -4)$ です。

中線 では答えをだしていきましょう。点 $A \ \left(-1,-\cfrac{1}{2}\right)$ と点 $M \ (2, \ -4)$ を通る直線の式を求めればよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標です。 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-4-\left(-\cfrac{1}{2}\right)}{2-(-1)}\\ &=&\cfrac{-4+\cfrac{1}{2}}{2+1}\\ &=&\cfrac{\cfrac{-8}{2}+\cfrac{1}{2}}{3}\\ &=&\cfrac{-\cfrac{7}{2}}{3}\\ &=&-\cfrac{7}{2}\times\cfrac{1}{3}\\ &=&-\cfrac{7}{6} \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{7}{6}x+b$ に $x=2,\ y=-4$ を代入 \begin{eqnarray*} -4&=&-\cfrac{7}{6}\times2+b\\ -4&=&-\cfrac{7}{3}+b\\ -4+\cfrac{7}{3}&=&b\\ -\cfrac{12}{3}+\cfrac{7}{3}&=&b\\ -\cfrac{5}{3}&=&b \end{eqnarray*} これで $a$ と $b$ がわかりました。では答えです。 $$y=-\cfrac{7}{6}x-\cfrac{5}{3}$$

$④$ 関数 $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ 上に点 $P$ をとる。$\triangle PAB$ の面積が $\triangle OAB$ の面積と等しくなるとき、点 $P$ の座標を求めなさい。ただし、$x$ の範囲は $0\lt x \lt4$ とする。

答え
$\left(3,-\cfrac{9}{2}\right)$

やりかた

放物線と直線 直線 $y=-\cfrac{3}{2}x-2$ を $l$ ということにします。点 $O$ を通って直線 $l$ と平行な直線をひきます。この直線と放物線との交点が、$P$ です。こうやって $P$ をとれば、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺を $AB$ だということにしたとき、底辺が共通で、高さが等しいからです。


じゃあ点 $P$ の座標を求めていきましょう。
放物線と直線 <点 $O$ を通って 直線 $l$ と平行な直線>
原点を通る直線の式を求めるのだから、式の形は $y=ax$ です。
傾きが等しいとき、$2$ 直線は平行になるのだから、$l$ と平行な直線というのは、傾きが $l$ と等しくなります。$l$ の傾きは $-\cfrac{3}{2}$ だから、求めたい直線の傾きも $-\cfrac{3}{2}$ です。$a=-\cfrac{3}{2}$ です。
というわけで、$O$ を通って $l$ に平行な直線の式は、 $$y=-\cfrac{3}{2}x$$ となります。

<直線と放物線の交点>
2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-\cfrac{1}{2}x^2\\ y=-\cfrac{3}{2}x \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、(上の式の右辺)=(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{2}x^2&=&-\cfrac{3}{2}x\\ -\cfrac{1}{2}x^2+\cfrac{3}{2}x&=&0\quad両辺に\times(-2)\\ x^2-3x&=&0\\ x(x-3)&=&0\\ x&=&0,\quad x=3 \end{eqnarray*} 放物線と直線 こんなふうに2つの $x$ が求められました。点 $P$ の $x$ 座標は、$3$ のほうです。こんどは $x=3$ のときの $y$ をだしていきましょう。使う式は $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ と $y=-\cfrac{3}{2}x$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=-\cfrac{3}{2}x$ のほうを使うことにすると、 \begin{eqnarray*} y=-\cfrac{3}{2}\times3=-\cfrac{9}{2} \end{eqnarray*} $x=3$ のとき $y=-\cfrac{9}{2}$ です。 こうして、$x=3$ のとき $y=-\cfrac{9}{2}$ というふうに、$x$ と $y$ の組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$\left(3,-\cfrac{9}{2}\right)$$ $P$ の座標が $\left(3,-\cfrac{9}{2}\right)$ のとき、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺が共通で、高さが等しいからです。

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①1②-\cfrac{7}{24}③-4④-5x-11\\ ⑤\cfrac{15x}{y}-\cfrac{12}{x} ⑥\cfrac{-2x+y}{6}\\ \quad\left(-\cfrac{2x-y}{6},\ -\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{6}yも可\right)\\ ⑦-3x^2-6x+72 ⑧\cfrac{9}{4}x^2-21xy+49y^2\\⑨\cfrac{121}{144}a^2-169b^2 ⑩-\sqrt{2}⑪\sqrt{7}⑫43-30\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①48st(s-3t)②(x-6)(x-10)\\ ③(5x-3y)^2④\left(4x+\cfrac{7}{9}y\right)\left(4x-\cfrac{7}{9}y\right)\\ ⑤(x+y-5)(x-y-5)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{10}{7}②x=11,y=-12\\ ③x=-3,-7④x=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{3}⑤x=0,-\cfrac{5}{2}\\ ⑥x=-3,-\cfrac{1}{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-3y-12}{2}\\ \left(x=-\cfrac{3y+12}{2}, \ x=-\cfrac{3}{2}y-6も可\right)\\②-4③y=40\\ ④y=-\cfrac{10}{3}⑤y=-\cfrac{4}{5}x+3⑥y=108\\ ⑦70.5点⑧\cfrac{13}{36}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①A\left(-1,-\cfrac{1}{2}\right) \quad , \quad B(4,-8)\\②5③y=\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4} ④\left(3,-\cfrac{9}{2}\right) $

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