才塾 定期テスト対策

中3数学 冬休みの計算 第7回 全35問

7


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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$16-8\div4$

答え $14$

\begin{eqnarray*} &&16-8\div4\\ &=&16-2\\ &=&14 \end{eqnarray*}

$-\cfrac{7}{3}-3+\cfrac{17}{4}$

答え $-\cfrac{13}{12}$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{7}{3}-3+\cfrac{17}{4}\\ &=&-\cfrac{28}{12}-\cfrac{36}{12}+\cfrac{51}{12}\\ &=&-\cfrac{13}{12} \end{eqnarray*}

$(-3)^2\times(-2^2)$

答え $-36$

\begin{eqnarray*} &&(-3)^2\times(-2^2)\\ &=&9\times(-4)\\ &=&-36 \end{eqnarray*}

$(-8x+7)-(9x+13)$

答え $-17x-6$

\begin{eqnarray*} &&-8x+7-9x-13\\ &=&-8x-9x+7-13\\ &=&-17x-6 \end{eqnarray*}

$(4xy-6xy^3)\div\cfrac{4}{5}xy^2$

答え $\cfrac{5}{y}-\cfrac{15}{2}y$

\begin{eqnarray*} &&(4xy-6xy^3)\div\cfrac{4}{5}xy^2\\ &=&(4xy-6xy^3)\times\cfrac{5}{4xy^2}\\ &=&4xy\times\cfrac{5}{4xy^2}-6xy^3\times\cfrac{5}{4xy^2}\\ &=&\cfrac{5}{y}-\cfrac{15}{2}y \end{eqnarray*}

$\cfrac{-8x+7y}{12}-\cfrac{3x-4y}{18}$

答え $\cfrac{-30x+29y}{36}\\ \quad\left(-\cfrac{30x-29y}{36},\ -\cfrac{5}{6}x+\cfrac{29}{36}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{-8x+7y}{12}-\cfrac{3x-4y}{18}\\ &=&\cfrac{3(-8x+7y)-2(3x-4y)}{36}\\ &=&\cfrac{-24x+21y-6x+8y}{36}\\ &=&\cfrac{-30x+29y}{36} \end{eqnarray*}

$-2(x-5)^2$

答え $-2x^2+20x-50$

\begin{eqnarray*} &&-2(x-5)^2\\ &=&-2(x^2-10x+25)\\ &=&-2x^2+20x-50 \end{eqnarray*}

$\left(\cfrac{5}{6}x-3y\right)^2$

答え $\cfrac{25}{36}x^2-5xy+9y^2$

$\left(\cfrac{3}{4}a+\cfrac{5}{6}b\right)\left(\cfrac{3}{4}a-\cfrac{5}{6}b\right)$

答え $\cfrac{9}{16}a^2-\cfrac{25}{36}b^2$

$\sqrt{12}-\sqrt{48}+\cfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

答え $-\sqrt{3}$

\begin{eqnarray*} &&2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{3}\\ &=&-\sqrt{3} \end{eqnarray*}

$\sqrt{18}\div\sqrt{\cfrac{48}{7}}\times\sqrt{24}$

答え $3\sqrt{7}$

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &&\sqrt{18}\times\cfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{48}}\times\sqrt{24}\\ &=&\sqrt{{}^9\bcancel{18}}\times\cfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{{}^\bcancel{24}\bcancel{48}}}\times\sqrt{\bcancel{24}}\\ &=&3\sqrt{7} \end{eqnarray*}

$\left(4\sqrt3-2\sqrt{6}\right)^2$

答え $72-48\sqrt{2}$

\begin{eqnarray*} &&\left(4\sqrt3-2\sqrt{6}\right)^2\\ &=&48-16\sqrt{18}+24\\ &=&72-48\sqrt{2} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~⑤の式を因数分解しなさい。

$6x^2-3xy^2+12xy$

答え $3x(2x-y^2+4y)$

$x^2-17x+16$

答え $(x-1)(x-16)$

$49x^2-112xy+64y^2$

答え $(7x-8y)^2$

$\cfrac{64}{9}x^2-121y^2$

答え $\left(\cfrac{8}{3}x+11y\right)\left(\cfrac{8}{3}x-11y\right)$

$4a^2-64$

答え $4(a+4)(a-4)$

\begin{eqnarray*} &&4a^2-64\\ &=&4(a^2-16)\\ &=&4(a+4)(a-4) \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 次の①~⑥の方程式を解きなさい。

$\cfrac{5}{4}x-3=\cfrac{2}{3}x-\cfrac{11}{6}$

答え $x=2$

\begin{eqnarray*} \cfrac{5}{4}x-3&=&\cfrac{2}{3}x-\cfrac{11}{6}\quad(\times12) \\ 15x-36&=&8x-22 \\ 15x-8x&=&-22+36\\ 7x&=&14\\ x&=&2 \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 0.9x+0.2y=2.7\\ 3x-4(y-7)=-33 \end{array}\right.$

答え $x=-\cfrac{1}{3},\ y=15$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.9x+0.2y=2.7\qquad…①\\ 3x-4(y-7)=-33\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ①\times10\\ 0.9x+0.2y&=&2.7 \\ 9x+2y&=&27\qquad…③ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} ②を整理\\ 3x-4(y-7)&=&-33 \\ 3x-4y+28&=&-33 \\ 3x-4y&=&-61\qquad…④ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} ③\times2+④\\ 18x+4y=\phantom{-}54\\ \underline{+) \quad 3x-4y=-61} \\ 21x\phantom{-5y}=\phantom{ }-7\\ x=-\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} x=-\cfrac{1}{3}を&③&に代入\\ 9\times\left(-\cfrac{1}{3}\right)+2y&=&27\\ -3+2y&=&27\\ 2y&=&30\\ y&=&15 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\cfrac{1}{3}\\ y=15 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$x^2+3x=10$

答え $x=2,\ x=-5$

\begin{eqnarray*} x^2+3x&=&10 \\ x^2+3x-10&=&0\\ (x-2)(x+5)&=&0\\ x&=&2,\ x=-5 \end{eqnarray*}

$10x^2-2=0$

答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{5}$

\begin{eqnarray*} 10x^2-2&=&0 \\ 10x^2&=&2 \\ x^2&=&\cfrac{2}{10}=\cfrac{1}{5}\\ x&=&\pm \sqrt {\frac{\ 1\ }{\ 5\ }}=\pm \cfrac{\sqrt1}{\sqrt5}=\pm \cfrac{\sqrt5}{5} \end{eqnarray*}

$-9x^2=21x$

答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{7}{3}$

\begin{eqnarray*} -9x^2&=&21x \\ -9x^2-21x&=&0\quad(両辺を-3で割る)\\ 3x^2+7x&=&0\\ x(3x+7)&=&0\\ x&=&0,\ x=-\cfrac{7}{3} \end{eqnarray*}

$x^2+4x-4=0$

答え $x=-2\pm2\sqrt{2}$

\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times1\times(-4)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{-4\pm\sqrt{16+16}}{2}\\ &=&\cfrac{-4\pm\sqrt{32}}{2}\\ &=&\cfrac{-4\pm4\sqrt{2}}{2}\\ &=&-2\pm2\sqrt{2} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$2y=-\cfrac{3}{2}x+3\quad[x]$

答え $x=\cfrac{-4y+6}{3}\\ \left(x=-\cfrac{4y-6}{3}, \ x=-\cfrac{4}{3}y+2も可\right)$

\begin{eqnarray*} 2y&=&-\cfrac{3}{2}x+3\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ -\cfrac{3}{2}x+3&=&2y\quad(\times-2) \\ 3x-6&=&-4y\\ 3x&=&-4y+6 \\ x&=&\cfrac{-4y+6}{3} \end{eqnarray*}

$x=\sqrt{3}+4$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x^2-8x$

答え $-13$

\begin{eqnarray*} &&x^2-8x\\ &=&(\sqrt{3}+4)^2-8(\sqrt{3}+4)\\ &=&3+8\sqrt{3}+16-8\sqrt{3}-32\\ &=&-13 \end{eqnarray*} <別解1> \begin{eqnarray*} &&x^2-8x\\ &=&x(x-8)\\ &=&(\sqrt{3}+4)\{(\sqrt{3}+4)-8\}\\ &=&(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-4)\\ &=&3-16\\ &=&-13 \end{eqnarray*} <別解2> \begin{eqnarray*} x&=&\sqrt{3}+4より\\ x-4&=&\sqrt{3}\\ 両辺を2乗する\\ (x-4)^2&=&(\sqrt{3})^2\\ x^2-8x+16&=&3\\ x^2-8x&=&3-16\\ x^2-8x&=&-13 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=15$ のとき、$y=-5$ である。$x=-6$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=2$

比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{-5}{15}=-\cfrac{1}{3}\\ y=-\cfrac{1}{3}x\ に\ x=-6 を代入する\\ y=-\cfrac{1}{3}\times(-6)=2$$

$y$ が $x$ に反比例し、$x=-3$ のとき、$y=8$ である。$x=16$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{3}{2}$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-3\times8=-24\\ y=-\cfrac{24}{x}\ に\ x=16\ を代入する\\ y=-\cfrac{24}{16}=-\cfrac{3}{2}$$

$2$ 点 $(-4,\ -10),\ (8,\ -1)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え $y=\cfrac{3}{4}x-7$

直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-(-10)}{8-(-4)}=\cfrac{9}{12}=\cfrac{3}{4}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{3}{4}x+b$ に $x=8,\ y=-1$ を代入 \begin{eqnarray*} -1&=&\cfrac{3}{4}\times8+b\\ -1&=&6+b\\ -7&=&b \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=2$ のとき、$y=-32$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=-72$

$2$ 乗に比例する式の形は $y=ax^2$ $$y=ax^2 に x=2,\ y=-32 を代入する$$ \begin{eqnarray*} -32&=&a\times2^2\\ -32&=&4a\\ -8&=&a \end{eqnarray*} $$y=-8x^2\ に\ x=-3 を代入する\\ y=-8\times(-3)^2=-8\times9=-72$$

$12$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$8$ 点、$7$ 点、$4$ 点、$7$ 点、$6$ 点、$2$ 点、$10$ 点、$5$ 点、$3$ 点、$9$ 点、$7$ 点、$5$ 点だった。このときの中央値(メジアン)を求めなさい。

答え $6.5\ 点$

得点を低い順にならべると、
$$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10$$ $12$ 人の中央値(メジアン)は $6$ 番目と $7$ 番目の平均だから、 $$(6+7)\div2=6.5$$

$2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積が偶数となる確率を求めなさい。

答え $\cfrac{3}{4}$

確率表
出る目の積を表にするとこうなる。
オレンジ色のところが偶数。
$\cfrac{27}{36}=\cfrac{3}{4}$

放物線

$\boxed{\large{\ 5\ }}$ 右の図のように、関数 $y=\cfrac{1}{4}x^2$ のグラフと直線 $y=-\cfrac{1}{2}x+2$ が $2$ 点 $A$,$B$ で交わっている。このとき、以下の問いに答えなさい。






$①$ $2$ 点 $A, \ B$ の座標をそれぞれ求めなさい。

答え
$A(-4, \ 4)\quad B(2, \ 1)$

やりかた

2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{4}x^2\\ y=-\cfrac{1}{2}x+2 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、(上の式の右辺)=(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{4}x^2&=&-\cfrac{1}{2}x+2\\ \cfrac{1}{4}x^2+\cfrac{1}{2}x-2&=&0\quad両辺に\times4\\ x^2+2x-8&=&0\\ (x-2)(x+4)&=&0\\ x&=&2,\quad x=-4 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。こんどはそれぞれの $x$ について、$y$ をだしていきましょう。使う式は $y=\cfrac{1}{4}x^2$ と $y=-\cfrac{1}{2}x+2$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=\cfrac{1}{4}x^2$ を使ってみましょう。
$x=2$ のとき $$y=\cfrac{1}{4}\times2^2=1$$ $x=-4$ のとき $$y=\cfrac{1}{4}\times(-2)^2=4$$ こうして、$x=2$ のとき $y=1$ , $x=-4$ のとき $y=4$ というふうに、$x$ と $y$ の2つの組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$A(-4,4) \quad , \quad B(2,1)$$ $A$ は $x$ がマイナスのほう、$B$ は $x$ がプラスのほうを答えましょう。それはグラフを見て判断しましょう。

$②$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。

答え
$6$

やりかた

グラフ $\triangle OAB$ の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。
直線の $y$ 切片は $2$ なので、緑線の長さは $2$ です。赤の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標をみればよいです。なので、 $$6×2×\cfrac{1}{2}=6$$

$③$ 点 $B$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。

答え
$y=-\cfrac{1}{4}x+\cfrac{3}{2}$

やりかた

中線 <中線>
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
なので、$OA$ の中点を求めて、そこと原点を通る直線の式を答えればよいです。

<中点>
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。
点 $O$ の座標は $(0, \ 0),$ 点 $A$ の座標は $(-4, \ 4)$ です。なのでその中点を $M$ とすると、その座標は、 \begin{eqnarray*} &&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{0-4}{2}, \ \cfrac{0+4}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{-4}{2}, \ \cfrac{4}{2}\right)\\ &=&(-2, \ 2)\\ \end{eqnarray*} というわけで中点 $M$ の座標は $(-2, \ 2)$ です。

中線 では答えをだしていきましょう。点 $B \ (2, \ 1)$ と点 $M \ (-2, \ 2)$ を通る直線の式を求めればよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標です。 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{2-1}{-2-2}=\cfrac{1}{-4}=-\cfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{1}{4}x+b$ に $x=2,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&-\cfrac{1}{4}\times2+b\\ 1&=&-\cfrac{1}{2}+b\\ 1+\cfrac{1}{2}&=&b\\ \cfrac{2}{2}+\cfrac{1}{2}&=&b\\ \cfrac{3}{2}&=&b \end{eqnarray*} これで $a$ と $b$ がわかりました。では答えです。 $$y=-\cfrac{1}{4}x+\cfrac{3}{2}$$

$④$ 関数 $y=\cfrac{1}{4}x^2$ 上に点 $P$ をとる。$\triangle PAB$ の面積が $\triangle OAB$ の面積と等しくなるとき、点 $P$ の座標を求めなさい。ただし、$x$ の範囲は $-4\lt x \lt0$ とする。

答え
$(-2, \ 1)$

やりかた

放物線と直線 直線 $y=-\cfrac{1}{2}x+2$ を $l$ ということにします。点 $O$ を通って直線 $l$ と平行な直線をひきます。この直線と放物線との交点が、$P$ です。こうやって $P$ をとれば、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺を $AB$ だということにしたとき、底辺が共通で、高さが等しいからです。


じゃあ点 $P$ の座標を求めていきましょう。
放物線と直線 <点 $O$ を通って 直線 $l$ と平行な直線>
原点を通る直線の式を求めるのだから、式の形は $y=ax$ です。
傾きが等しいとき、$2$ 直線は平行になるのだから、$l$ と平行な直線というのは、傾きが $l$ と等しくなります。$l$ の傾きは $-\cfrac{1}{2}$ だから、求めたい直線の傾きも $-\cfrac{1}{2}$ です。$a=-\cfrac{1}{2}$ です。
というわけで、$O$ を通って $l$ に平行な直線の式は、 $$y=-\cfrac{1}{2}x$$ となります。

<直線と放物線の交点>
2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{4}x^2\\ y=-\cfrac{1}{2}x \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、(上の式の右辺)=(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{4}x^2&=&-\cfrac{1}{2}x\\ \cfrac{1}{4}x^2+\cfrac{1}{2}x&=&0\quad両辺に\times4\\ x^2+2x&=&0\\ x(x+2)&=&0\\ x&=&0,\quad x=-2 \end{eqnarray*} 放物線と直線 こんなふうに2つの $x$ が求められました。点 $P$ の $x$ 座標は、$-2$ のほうです。こんどは $x=-2$ のときの $y$ をだしていきましょう。使う式は $y=\cfrac{1}{4}x^2$ と $y=-\cfrac{1}{2}x$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。というわけで、どっちでやったにしても $x=-2$ なら $y=1$ です。 こうして、$x=-2$ のとき $y=1$ というふうに、$x$ と $y$ の組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$(-2,1)$$ $P$ の座標が $(-2,1)$ のとき、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺が共通で、高さが等しいからです。

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①14②-\cfrac{13}{12}③-36④-17x-6\\ ⑤\cfrac{5}{y}-\cfrac{15}{2}y ⑥\cfrac{-30x+29y}{36}\\ \quad\left(-\cfrac{30x-29y}{36},\ -\cfrac{5}{6}x+\cfrac{29}{36}yも可\right)\\ ⑦-2x^2+20x-50 ⑧\cfrac{25}{36}x^2-5xy+9y^2\\⑨\cfrac{9}{16}a^2-\cfrac{25}{36}b^2 ⑩-\sqrt{3}⑪3\sqrt{7}⑫72-48\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①3x(2x-y^2+4y)②(x-1)(x-16)\\ ③(7x-8y)^2④\left(\cfrac{8}{3}x+11y\right)\left(\cfrac{8}{3}x-11y\right)\\ ⑤4(a+4)(a-4)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=2②x=-\cfrac{1}{3},y=15\\ ③x=2,-5④x=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{5}⑤x=0,-\cfrac{7}{3}\\ ⑥x=-2\pm2\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-4y+6}{3}\\ \left(x=-\cfrac{4y-6}{3}, \ x=-\cfrac{4}{3}y+2も可\right)\\②-13③y=2\\ ④y=-\cfrac{3}{2}⑤y=\cfrac{3}{4}x-7⑥y=-72\\ ⑦6.5点⑧\cfrac{3}{4}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①A(-4, \ 4)\quad B(2, \ 1)\\②6③y=-\cfrac{1}{4}x+\cfrac{3}{2} ④(-2,1) $

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