謹賀新年。

2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{4}x^2\\ y=-\cfrac{1}{2}x+2 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{4}x^2&=&-\cfrac{1}{2}x+2\\ \cfrac{1}{4}x^2+\cfrac{1}{2}x-2&=&0\quad両辺に\times4\\ x^2+2x-8&=&0\\ (x-2)(x+4)&=&0\\ x&=&2,\quad x=-4 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。こんどはそれぞれの $x$ について、$y$ をだしていきましょう。使う式は $y=\cfrac{1}{4}x^2$ と $y=-\cfrac{1}{2}x+2$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=\cfrac{1}{4}x^2$ を使ってみましょう。
$x=2$ のとき $$y=\cfrac{1}{4}\times2^2=1$$ $x=-4$ のとき $$y=\cfrac{1}{4}\times(-2)^2=4$$ こうして、$x=2$ のとき $y=1$ , $x=-4$ のとき $y=4$ というふうに、$x$ と $y$ の2つの組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$A(-4,4) \quad , \quad B(2,1)$$ $A$ は $x$ がマイナスのほう、$B$ は $x$ がプラスのほうを答えましょう。それはグラフを見て判断しましょう。

$\triangle OAB$ の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。
直線の $y$ 切片は $2$ なので、緑線の長さは $2$ です。赤の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標をみればよいです。なので、 $$6×2×\cfrac{1}{2}=6$$

＜中線＞
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
なので、$OA$ の中点を求めて、そこと点 $B$ を通る直線の式を答えればよいです。

＜中点＞
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。
点 $O$ の座標は $(0, \ 0),$ 点 $A$ の座標は $(-4, \ 4)$ です。なのでその中点を $M$ とすると、その座標は、 \begin{eqnarray*} &&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{0-4}{2}, \ \cfrac{0+4}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{-4}{2}, \ \cfrac{4}{2}\right)\\ &=&(-2, \ 2)\\ \end{eqnarray*} というわけで中点 $M$ の座標は $(-2, \ 2)$ です。

では答えをだしていきましょう。点 $B \ (2, \ 1)$ と点 $M \ (-2, \ 2)$ を通る直線の式を求めればよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標です。 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{2-1}{-2-2}=\cfrac{1}{-4}=-\cfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{1}{4}x+b$ に $x=2,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&-\cfrac{1}{4}\times2+b\\ 1&=&-\cfrac{1}{2}+b\\ 1+\cfrac{1}{2}&=&b\\ \cfrac{2}{2}+\cfrac{1}{2}&=&b\\ \cfrac{3}{2}&=&b \end{eqnarray*} これで $a$ と $b$ がわかりました。では答えです。 $$y=-\cfrac{1}{4}x+\cfrac{3}{2}$$

直線 $y=-\cfrac{1}{2}x+2$ を $l$ ということにします。点 $O$ を通って直線 $l$ と平行な直線をひきます。この直線と放物線との交点が、$P$ です。こうやって $P$ をとれば、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺を $AB$ だということにしたとき、底辺が共通で、高さが等しいからです。


じゃあ点 $P$ の座標を求めていきましょう。
＜点 $O$ を通って 直線 $l$ と平行な直線＞
原点を通る直線の式を求めるのだから、式の形は $y=ax$ です。
傾きが等しいとき、$2$ 直線は平行になるのだから、$l$ と平行な直線というのは、傾きが $l$ と等しくなります。$l$ の傾きは $-\cfrac{1}{2}$ だから、求めたい直線の傾きも $-\cfrac{1}{2}$ です。$a=-\cfrac{1}{2}$ です。
というわけで、$O$ を通って $l$ に平行な直線の式は、 $$y=-\cfrac{1}{2}x$$ となります。

＜直線と放物線の交点＞
2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{4}x^2\\ y=-\cfrac{1}{2}x \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{4}x^2&=&-\cfrac{1}{2}x\\ \cfrac{1}{4}x^2+\cfrac{1}{2}x&=&0\quad両辺に\times4\\ x^2+2x&=&0\\ x(x+2)&=&0\\ x&=&0,\quad x=-2 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。点 $P$ の $x$ 座標は、$-2$ のほうです。こんどは $x=-2$ のときの $y$ をだしていきましょう。使う式は $y=\cfrac{1}{4}x^2$ と $y=-\cfrac{1}{2}x$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。というわけで、どっちでやったにしても $x=-2$ なら $y=1$ です。 こうして、$x=-2$ のとき $y=1$ というふうに、$x$ と $y$ の組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$(-2,1)$$ $P$ の座標が $(-2,1)$ のとき、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺が共通で、高さが等しいからです。