才塾　定期テスト対策

中3数学　夏休みの計算　第11回　全32問

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$\boxed{\phantom{ho}}$ ←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。

問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$-37-(+9)\times(-7)$

答え　 $26$

$\begin{eqnarray*} &&-37-(+9)\times(-7)\\ &=&-37+63\\ &=&26 \end{eqnarray*}$

類題

$\cfrac{2}{3}-1+\cfrac{3}{7}$

答え　 $\cfrac{2}{21}$

$\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{3}-1+\cfrac{3}{7}\\ &=&\cfrac{14}{21}-\cfrac{21}{21}+\cfrac{9}{21}\\ &=&\cfrac{2}{21} \end{eqnarray*}$

類題

$(-4)^3-(-3^2-4)\times(-2)^2$

答え　 $-12$

$\begin{eqnarray*} &&(-4)^3-(-3^2-4)\times(-2)^2\\ &=&-64-(-9-4)\times4\\ &=&-64-(-13)\times4\\ &=&-64+52\\ &=&-12 \end{eqnarray*}$

類題

$3(2x-1)-(2x-2)$

答え　 $4x-1$

$\begin{eqnarray*} &&3(2x-1)-(2x-2)\\ &=&6x-3-2x+2\\ &=&4x-1 \end{eqnarray*}$

類題

$(28x^2y+42xy^2)\div\left(-\cfrac{14}{3}xy\right)$

答え　 $-6x-9y$

$\begin{eqnarray*} &&(28x^2y+42xy^2)\div\left(-\cfrac{14}{3}xy\right)\\ &=&(28x^2y+42xy^2)\times\left(-\cfrac{3}{14xy}\right)\\ &=&28x^2y\times\left(-\cfrac{3}{14xy}\right)+42xy^2\times\left(-\cfrac{3}{14xy}\right)\\ &=&-6x-9y \end{eqnarray*}$

類題

$\cfrac{2a-5b}{10}-\cfrac{8a-11b}{15}$

答え　 $\cfrac{-10a+7b}{30}\\\quad\left(-\cfrac{10a-7b}{30},-\cfrac{1}{3}a+\cfrac{7}{30}bも可\right)$

$\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2a-5b}{10}-\cfrac{8a-11b}{15}\\ &=&\cfrac{3(2a-5b)-2(8a-11b)}{30}\\ &=&\cfrac{6a-15b-16a+22b}{30}\\ &=&\cfrac{-10a+7b}{30} \end{eqnarray*}$

類題

$(x-4)(x+5)$

答え　 $x^2+x-20$

類題

$\left(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{3}y\right)^2$

答え　 $\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{3}xy+\cfrac{1}{9}y^2$

類題

$\left(\cfrac{4}{7}x+\cfrac{5}{13}y\right)\left(\cfrac{4}{7}x-\cfrac{5}{13}y\right)$

答え　 $\cfrac{16}{49}x^2-\cfrac{25}{169}y^2$

類題

$-3(x+y)(x-2y)-2(x-y)^2$

答え　 $-5x^2+7xy+4y^2$

$\begin{eqnarray*} &&-3(x^2-xy-2y^2)-2(x^2-2xy+y^2)\\ &=&-3x^2+3xy+6y^2-2x^2+4xy-2y^2\\ &=&-5x^2+7xy+4y^2 \end{eqnarray*}$

類題

$\sqrt{32}-\sqrt{\cfrac{25}{18}}$

答え　 $\cfrac{19\sqrt{2}}{6}$

$\begin{eqnarray*} &&\sqrt{32}-\sqrt{\cfrac{25}{18}}\\ &=&4\sqrt{2}-\cfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{18}}\\ &=&4\sqrt{2}-\cfrac{5}{3\sqrt{2}}\\ &=&4\sqrt{2}-\cfrac{5\sqrt{2}}{6}\\ &=&\cfrac{24\sqrt{2}}{6}-\cfrac{5\sqrt{2}}{6}\\ &=&\cfrac{19\sqrt{2}}{6} \end{eqnarray*}$

類題

$12\sqrt{5}\times3\sqrt{18}\div6\sqrt{135}$

答え　 $2\sqrt{6}$

$\begin{eqnarray*} &&12\sqrt{5}\times3\sqrt{18}\div6\sqrt{135}\\ &=&\cfrac{12\sqrt{5}\times3\sqrt{18}}{6\sqrt{135}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{6}}{3}\\ &=&2\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

類題

$\left(2+3\sqrt{2}\right)^2$

答え　 $22+12\sqrt{2}$

$\begin{eqnarray*} &&\left(2+3\sqrt{2}\right)^2\\ &=&4+12\sqrt{2}+18\\ &=&22+12\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

類題

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①～⑤の式を因数分解しなさい。

$36x^2y-48xy$

答え　 $12xy(3x-4)$

類題

$x^2-14x+40$

答え　 $(x-10)(x-4)$

類題

$9x^2+12xy+4y^2$

答え　 $(3x+2y)^2$

類題

$\cfrac{1}{144}a^2-b^2$

答え　 $\left(\cfrac{1}{12}a+b\right)\left(\cfrac{1}{12}a-b\right)$

類題

$4x^2-68x+240$

答え　 $4(x-5)(x-12)$

$\begin{eqnarray*} &&4x^2-68x+240\\ &=&4(x^2-17x+60)\\ &=&4(x-5)(x-12) \end{eqnarray*}$

類題

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 次の①～⑦の方程式を解きなさい。

$x-\cfrac{1}{2}=-\cfrac{5}{4}x+\cfrac{1}{4}$

答え　 $x=\cfrac{1}{3}$

$\begin{eqnarray*} x-\cfrac{1}{2}&=&-\cfrac{5}{4}x+\cfrac{1}{4}\quad(\times4) \\ 4x-2&=&-5x+1 \\ 9x&=&3\\ x&=&\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}$

類題

$\left\{\begin{array}{l} 5x+7y=-3\\ \cfrac{3}{2}x-y=-4 \end{array}\right.$

答え　 $x=-2,y=1$

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 5x+7y=-3\qquad…①\\ \cfrac{3}{2}x-y=-4\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

$②の分母をはらう$

$\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{2}x-y&=&-4\quad(\times2)\\ 3x-2y&=&-8\qquad…③ \end{eqnarray*}$

$①\times3-③\times5$

$\begin{eqnarray*} 15x+21y=-\phantom{1}9\\ \underline{-) \quad 15x-10y=-40} \\ 31y=\phantom{-}31 \\ y=1\phantom{-7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=1を①に代入\\ 5x+7&=&-3\\ 5x&=&-3-7\\ 5x&=&-10\\ x&=&-2 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

類題

$x^2-12x+35=0$

答え　 $x=5 ,\ x=7$

$\begin{eqnarray*} x^2-12x+35&=&0 \\ (x-5)(x-7)&=&0\\ x&=&5,\ x=7 \end{eqnarray*}$

類題

$49x^2-28x+4=0$

答え　 $x=\cfrac{2}{7}$

$\begin{eqnarray*} 49x^2-28x+4&=&0 \\ (7x-2)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{2}{7} \end{eqnarray*}$

類題

$\cfrac{1}{5}x^2-25=0$

答え　 $x=\pm 5\sqrt{5}$

$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{5}x^2-25&=&0 \quad(\times5)\\ x^2-125&=&0 \\ x^2&=&125 \\ x&=&\pm \sqrt {125}=\pm 5\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

類題

$3x^2=\cfrac{3}{4}x$

答え　 $x=0 ,\ x=\cfrac{1}{4}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2&=&\cfrac{3}{4}x \quad(\times4)\\ 12x^2&=&3x \quad(\div3)\\ 4x^2&=&x\\ 4x^2-x&=&0\\ x(4x-1)&=&0\\ x&=&0,\ x=\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}$

類題

$2x^2-10x=-x^2+8x+9$

答え　 $x=3\pm2\sqrt{3}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2-10x&=&-x^2+8x+9\\ 2x^2-10x+x^2-8x-9&=&0\\ 3x^2-18x-9&=&0\qquad(\div3)\\ x^2-6x-3&=&0 \end{eqnarray*}$

$2$ 次方程式の解の公式により、

$\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\times1\times(-3)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{6\pm\sqrt{36+12}}{2}\\ &=&\cfrac{6\pm\sqrt{48}}{2}\\ &=&\cfrac{6\pm4\sqrt{3}}{2}\\ &=&3\pm2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

類題

$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を $[\phantom{x}]$ 内の文字について解きなさい。
$-3x=\cfrac{3}{2}y-5\quad[y]$

答え　 $y=\cfrac{-6x+10}{3}\\ \left(-\cfrac{6x-10}{3},-2x+\cfrac{10}{3}も可\right)$

$\begin{eqnarray*} -3x&=&\cfrac{3}{2}y-5\quad(\times2) \\ -6x&=&3y-10\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ 3y-10&=&-6x\\ 3y&=&-6x+10\\ y&=&\cfrac{-6x+10}{3} \end{eqnarray*}$

類題

$x=2\sqrt{3}+5$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x^2-10x$

答え　 $-13$

$\begin{eqnarray*} &&x^2-10x\\ &=&x(x-10)\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=&(2\sqrt{3}+5)(2\sqrt{3}+5-10)\\ &=&(2\sqrt{3}+5)(2\sqrt{3}-5)\\ &=&12-25\\ &=&-13 \end{eqnarray*}$ やり方が思いつかないときや、自信がないときは、単に代入して、がんばって計算すれば同じ答えがでます。

$\begin{eqnarray*} &&x^2-10x\\ &=&(2\sqrt{3}+5)^2-10(2\sqrt{3}+5)\\ &=&12+20\sqrt{3}+25-20\sqrt{3}-50\\ &=&-13 \end{eqnarray*}$

類題

$y$ が $x$ に比例し、 $x=-\cfrac{1}{4}$ のとき、 $y=\cfrac{1}{6}$ である。 $x=3$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え　 $y=-2$

比例の式の形は

$y=ax$

$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{6}&=&a\times\left(-\cfrac{1}{4}\right)\\ \cfrac{1}{6}&=&-\cfrac{1}{4}a\quad(\times12)\\ 2&=&-3a\\ -\cfrac{2}{3}&=&a \end{eqnarray*}$

$y=-\cfrac{2}{3}xに\ x=3\ を代入する\\ y=-\cfrac{2}{3}\times3=-2$

類題

$y$ が $x$ に反比例し、 $x=\cfrac{5}{6}$ のとき、 $y=12$ である。 $x=4$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え　 $y=\cfrac{5}{2}$

反比例の式の形は

$y=\cfrac{a}{x}$

$a=x \times y=\cfrac{5}{6}\times12=10\\ y=\cfrac{10}{x}\ に\ x=4\ を代入する\\ y=\cfrac{10}{4}=\cfrac{5}{2}$

類題

⑤ 下の直線の式を求めなさい。
グラフ

答え　 $y=3x-4$

直線の式の形は

$y=ax+b$

$\begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-13-8}{-3-4}=\cfrac{-21}{-7}=3\\ \end{eqnarray*}$

$y=3x+b$ に

$x=4,\ y=8$ を代入

$\begin{eqnarray*} 8&=&3\times4+b\\ 8&=&12+b\\ 8-12&=&b\\ -4&=&b \end{eqnarray*}$

類題

$A, B, C, D, E$ の $5$ 人の生徒があるテストをうけた。表はその得点の結果である。 $5$ 人の平均点が $74.6$ 点であるとき、 $D$ さんの得点は何点か。 $\begin{array}{|cccccc|} \hline & A & B & C & D & E & \\ \hline & 87 & 53 & 78 & & 81 & \\ \hline \end{array}$

答え　74点

$D$ さんの得点を

$x$ とすると、

$\begin{eqnarray*} \cfrac{87+53+78+x+81}{5}&=&74.6 \quad(両辺に\times5)\\ 87+53+78+x+81&=&373\\ 299+x&=&373\\ x&=&373-299\\ x&=&74 \end{eqnarray*}$

類題

箱の中にくじが $5$ 本はいっている。このうち、当たりくじは $2$ 本である。箱の中からくじを $1$ 本ひいて、箱に戻す。さらにもう一度くじをひくとき、はじめにひいたくじと、 $2$ 回目にひいたくじが、両方ともはずれである確率を求めなさい。

答え　 $\cfrac{9}{25}$

①，②，③，④，⑤と、

$5$ 本のくじに番号をつけてしまいます。そして、①と②が当たり、③と④と⑤がはずれということにします。①②③④⑤という感じ。
んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、

「いったんひいたくじをもとに戻し、またくじをひく」ときは、同じくじをひけるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところで、

$\cfrac{9}{25}$

類題

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①26②\cfrac{2}{21}③-12④4x-1⑤-6x-9y\ ⑥\cfrac{-10a+7b}{30}\\\quad\left(-\cfrac{10a-7b}{30},-\cfrac{1}{3}a+\cfrac{7}{30}bも可\right)\\ ⑦x^2+x-20 ⑧\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{3}xy+\cfrac{1}{9}y^2⑨\cfrac{16}{49}x^2-\cfrac{25}{169}y^2\\ ⑩-5x^2+7xy+4y^2 ⑪\cfrac{19\sqrt{2}}{6}⑫2\sqrt{6}⑬22+12\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①12xy(3x-4)②(x-10)(x-4)\\ ③(3x+2y)^2④\left(\cfrac{1}{12}a+b\right)\left(\cfrac{1}{12}a-b\right) ⑤4(x-5)(x-12)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{1}{3}②x=-2,y=1③x=5,x=7\\ ④x=\cfrac{2}{7}⑤x=\pm5\sqrt{5}⑥x=0,x=\cfrac{1}{4}\\ ⑦x=3\pm2\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①y=\cfrac{-6x+10}{3} \left(-\cfrac{6x-10}{3},-2x+\cfrac{10}{3}も可\right)\\ ②-13③y=-2 ④y=\cfrac{5}{2}⑤y=3x-4⑥74点⑦\cfrac{9}{25}$

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