POINT

$a\gt0$ ($a$ がプラス)のとき、右上がりの直線になります。
$a\lt0$ ($a$ がマイナス)のとき、右下がりの直線になります。
$b$ は $y$ 軸上のどこを通るか、と思ってしまうといいです。

やりかた

① $x$ の増加量をきかれたときは、問題の「 $x$ の値が $-3$ から $1$ まで増加したときの」という部分を見て答えればよいです。$-3$ が $1$ になったわけだから、$4$ 増えましたよね？　だから $4$ と答えればOKです。
③　②の問題をとばして、さきにこちらを答えてしまいます。変化の割合というのは1次関数のときは $y=ax+b$ の $a$ のことだとおもっちゃえばいいです。だから $y=-2x-1$ の $-2$ の部分を答えれば正解です。テストのときはそう答えてしまいましょう。計算もなんもないです。 $x$ の直前に書いてある数を答えればいいです。ただし、変化の割合をきかれたときのこの答え方は1次関数のときだけしか通用しないから気をつけてください。
②1次関数で $y$ の増加量をきかれたときは、
$y$ の増加量 = $x$ の増加量 × 変化の割合
です。理由は単純で、「$変化の割合=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}$」だからです。変形したら $y$ の増加量 = $x$ の増加量 × 変化の割合 になりますよね？　1次関数のときはこれでうまくいくので、テストのときはこれでやっちゃいましょう。そのほうがラクだしはやいしミスもすくない。というわけでこの問題は $4 \times (-2) = －8$ が答えです。ただし、$y$ の増加量をきかれたときのこのやり方は、これも1次関数のときしか通用しないやり方だから気をつけてください。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
変化の割合というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-3$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-3x+b$$ となります。あと、「点$(-1,3)$を通る」というのは、$x=-1$ のとき $y=3$ という意味です。これをこの $y=-3x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 3&=&-3\times(-1)+b\\ 3&=&3+b\\ 3-3&=&b\\ 0&=&b \end{eqnarray*} $b$ は右辺においたままにして解いていくのがおすすめです。たぶんこういうやり方って、このあたりで初めて見るのかもしれません。最初はとまどうと思いますが、1次関数で $b$ を求めるときは、このやり方のほうがミスが少ないです。だからこれがおすすめです。まあどうしてもなじめなかったら由緒正しく $b$ を左辺にもってって解いてもいいです。
ともかく、これでめでたく $a=-3$ , $b=0$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-3x$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは $a$ のことです。だから $a=-\cfrac{1}{2}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-\cfrac{1}{2}x+b$$ となります。 $x=-4$ , $y=-2$ をこの $y=-x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -2&=&-\cfrac{1}{2}×(-4)+b\\ -2&=&2+b\\ -2-2&=&b\\ -4&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{1}{2}$ , $b=-4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{2}x-4$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
\(\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=\cfrac{1}{3}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=\cfrac{1}{3}x+b$$ となります。 $x=-6$ , $y=3$ をこの $y=\cfrac{1}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 3&=&\cfrac{1}{3}\times(-6)+b\\ 3&=&-2+b\\ 3+2&=&b\\ 5&=&b \end{eqnarray*} これで $a=\cfrac{1}{3}$ , $b=5$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$y=\cfrac{1}{3}x+5$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
1次関数のときは \(a=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)だから、この問題の場合は $a=\cfrac{-2}{4}=-\cfrac{1}{2}$ となります。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=-\cfrac{1}{2}x+b$$ となります。 $x=4$ , $y=-1$ をこの $y=-\cfrac{1}{2}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -1&=&-\cfrac{1}{2}\times4+b\\ -1&=&-2+b\\ -1+2&=&b\\ 1&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{1}{2}$ , $b=1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{2}x+1$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きが等しいとき、2直線は平行になります。$y=-\cfrac{2}{3}x-1$ に平行ということは、求めたい直線の傾きは $-\cfrac{2}{3}$ だということになります。つまり $a=-\cfrac{2}{3}$ です。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=-\cfrac{2}{3}x+b$$ となります。 $x=-6$ , $y=-2$ をこの $y=-\cfrac{2}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -2&=&-\cfrac{2}{3}\times(-6)+b\\ -2&=&4+b\\ -2-4&=&b\\ -6&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{2}{3}$ , $b=-6$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{2}{3}x-6$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y$ 切片というのは $b$ のことです。だから $b=-1$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると $$y=ax-1$$ となります。 $x=-3$ , $y=-7$ をこの $y=ax-1$ に代入して、 $a$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -7&=&-3a-1\\ 3a&=&-1+7\\ 3a&=&6\\ a&=&2 \end{eqnarray*} これで $a=2$ , $b=-1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=2x-1$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-1,2),(-2,-1)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-2}{-2-(-1)}\\ &=&\cfrac{-3}{-1}\\ &=&3\\ \end{eqnarray*} これで $a=3$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=3x+b$$ ここに、 $(-1,2),(-2,-1)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。計算さえまちがえなければ、どっちをいれても答えは同じになります。だから、計算がラクそうなほうをいれるのが得。今回は、 $(-1,2)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} 2&=&3×(-1)+b\\ 2&=&-3+b\\ 2+3&=&b\\ 5&=&b \end{eqnarray*} これで $a=3$ , $b=5$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=3x+5$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、両方ためして、好きなほうでやってください。連立方程式をたててやるやり方は、次の問題で説明します。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y=ax+b$ に $x=2,y=-1$ を代入すると $$-1=2a+b$$ $y=ax+b$ に $x=4,y=0$ を代入すると $$0=4a+b$$ こうしてできたふたつの式を連立させて解きます。引き算をすれば $b$ が消えます。

$a=\cfrac{1}{2}$ を $0=4a+b$ に代入して $b$ を求めます。 \begin{eqnarray*} 0&=&4×\cfrac{1}{2}+b\\ 0&=&2+b\\ -2&=&b \end{eqnarray*} これで $a=\cfrac{1}{2}$ , $b=-2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{2}x-2$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、前の問題で説明した $a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ という公式を使って、まず $a$ を求めてしまう、というやり方でもいけます。どっちでもいけます。テストのときは好きなほうでやってください。

やりかた

まず、$y$ を $x$ の式で表してしまいましょう。そのために、$x$ と $y$ がわかっている組を $2$ 組、見つけます。必ず $2$ 組はあるはずです。この問題の場合は、$x=-4$ のとき $y=-5$, $x=10$ のとき $y=2$ というのがありますね。これで $a$ を求めることができます。$(-4, -5), (10, 2)$ だと思ってもいいです。$a$ が求まりますよね？
$\quad a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ を使って、
$\quad a=\cfrac{2-(-5)}{10-(-4)}=\cfrac{7}{14}=\cfrac{1}{2}$
$y=\cfrac{1}{2}x+b$ に $(10, 2)$ を代入して、 \begin{eqnarray*} 2&=&\cfrac{1}{2}\times10+b\\ 2&=&5+b\\ -3&=&b \end{eqnarray*} これで、式は $y=\cfrac{1}{2}x-3$ だと求められました。あとはアとイとウをだしていきましょう。
アは $y=-4$ のときの $x$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} -4&=&\cfrac{1}{2}x-3 \quad(\times2)\\ -8&=&x-6\\ -2&=&x \end{eqnarray*} イは $x=6$ のときの $y$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} y=\cfrac{1}{2}\times6-3=3-3=0 \end{eqnarray*} ウは $y=3$ のときの $x$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} 3&=&\cfrac{1}{2}x-3 \quad(\times2)\\ 6&=&x-6\\ 12&=&x \end{eqnarray*} これですべて求まりました。答えを書きましょう。
ア…$-2$, イ…$0$, ウ…$12$,　式 $y=\cfrac{1}{2}x-3$

やりかた

「$x$ の変域が $a \leqq x \leqq b$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-1 \leqq x \leqq 2$ の $-1$ と $2$ をそれぞれ問題の $y=3x-4$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-1$ を $y=3x-4$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&3×(-1)-4\\ &=&-3-4\\ &=&-7 \end{eqnarray*} 次に、 $x=2$ を $y=3x-4$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&3×2-4\\ &=&6-4\\ &=&2\\ \end{eqnarray*} これで、$-7$ と $2$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。 $$-7 \leqq y \leqq 2$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$5$歩いって縦に$2$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{2}{5}$$ それから、このグラフは $y$ 軸の $3$ を通っています。切片 $b$ は $y$ 軸のどこを通っているか、ということだから、 $$b=3$$ これで $a=\cfrac{2}{5}$ , $b=3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{2}{5}x+3$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$1$歩いって縦に$-2$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{-2}{1}=-2$$ それから、このグラフは $y$ 軸の $-1$ を通っています。切片 $b$ は $y$ 軸のどこを通っているか、ということだから、 $$b=-1$$ これで $a=-2$ , $b=-1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-2x-1$$

やりかた

①　$x$軸に平行な直線のときはちょっと特別で、答えの形は $y=n$ です。この直線は $y$ 軸の $-3$ を通っていて、$x$軸に平行な直線だから、答えは
$$y=-3$$ ②　$y$ 軸に平行な直線のときもちょっと特別で、答えの形は $x=n$ です。この直線は $x$軸の $-4$ を通っていて、$y$ 軸に平行な直線だから、答えは
$$x=-4$$

やりかた

①　傾きが $-3$ で切片が $1$ のグラフです。
②　このままでは傾きや切片がわかりません。こういうときは、$y$ について解きます。 \begin{eqnarray*} x-4y&=&12\\ -4y&=&-x+12\\ 4y&=&x-12\\ y&=&\cfrac{1}{4}x-\cfrac{12}{4}\\ y&=&\cfrac{1}{4}x-3 \end{eqnarray*} これで傾きが $\cfrac{1}{4}$ で切片が $-3$ だとわかりました。そのグラフをかきましょう。

やりかた

加減法や代入法を使って解いてしまうこともできますが、それだとテストのとき点数はもらえません。グラフをかいていなければダメです。というわけでグラフをかきます。このままでは傾きや切片がわかりませんので、こういうときは、それぞれの式を $y$ について解きます。 \begin{eqnarray*} 2x-3y&=&6\\ -3y&=&-2x+6\\ 3y&=&2x-6\\ y&=&\cfrac{2}{3}x-\cfrac{6}{3}\\ y&=&\cfrac{2}{3}x-2 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 2x-y&=&-2\\ -y&=&-2x-2\\ y&=&2x+2 \end{eqnarray*} こうしてできた $2$ つの式をおなじグラフ上にかいて、その交点を座標を答えればいいです。交点の座標は点$(-3, \ -4)$ ですね。$x=-3, \ y=-4$ が解です。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$4$歩いって縦に$-3$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{-3}{4}=-\cfrac{3}{4}$$ それから、このグラフは $y$ 軸のぴったりしたところを通っていません。こういうときの $b$ はどこかの座標を代入して計算で求めます。たとえばこのグラフは点$(1,1)$ を通っているから、$x=1,$ $y=1$ を、$y=-\cfrac{3}{4}x+b$ に代入して $b$ を求めます。 \begin{eqnarray*} 1&=&-\cfrac{3}{4}×1+b\\ 1&=&-\cfrac{3}{4}+b\\ 1+\cfrac{3}{4}&=&b\\ \cfrac{4}{4}+\cfrac{3}{4}&=&b\\ \cfrac{7}{4}&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{3}{4}$ , $b=\cfrac{7}{4}$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{3}{4}x+\cfrac{7}{4}$$ 今回は点$(1,1)$ を代入して $b$ を求めたけれど、$(5,-2)$でも$(-3,4)$でもどこでもいいです。どこをいれても $b=\cfrac{7}{4}$ になります。

やりかた

2直線の交点の座標は連立方程式の解です。
連立方程式\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=2x+8\\ y=\cfrac{2}{3}x+4 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解いて、その解がこの問題の答えです。代入法で、
(上の式の右辺)＝(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。 \begin{eqnarray*} 2x+8&=&\cfrac{2}{3}x+4 \quad(両辺に\times3)\\ 6x+24&=&2x+12\\ 6x-2x&=&12-24\\ 4x&=&-12\\ x&=&-3\\ \end{eqnarray*} $y=2x+8$ に $x=-3$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&2\times(-3)+8\\ &=&-6+8\\ &=&2 \end{eqnarray*} これで $x=-3$ , $y=2$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$(-3,2)$$ この問題は「座標を求めよ」といわれているのだから、座標の書きかたで答えるようにしましょう。

やりかた

2直線の交点の座標は連立方程式の解です。まず、2つの直線の式をグラフから求めます。（ア）（イ）の直線の式はそれぞれ $$y=\cfrac{2}{5}x+3\qquad{(ア)}$$ $$y=-2x-1\qquad{(イ)}$$ もしわからなかったら、13番と14番の問題で出題した直線なので、それを確認してください。
んで、だからこの問題に答えるには、連立方程式 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{2}{5}x+3\\ y=-2x-1 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、
(ア）の式の右辺＝(イ）の式の右辺
という式をたてて解いていきましょう。 \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{5}x+3&=&-2x-1\qquad(×5)\\ 2x+15&=&-10x-5\\ 2x+10x&=&-5-15\\ 12x&=&-20\\ x&=&-\cfrac{20}{12}=-\cfrac{5}{3}\\ \end{eqnarray*} $y=-2x-1$ に $x=-\cfrac{5}{3}$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&-2×(-\cfrac{5}{3})-1\\ &=&\cfrac{10}{3}-\cfrac{3}{3}\\ &=&\cfrac{7}{3}\\ \end{eqnarray*} これで $x=-\cfrac{5}{3}$ , $y=\cfrac{7}{3}$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$\left(-\cfrac{5}{3}, \ \cfrac{7}{3}\right)$$ この問題の答えは整数にはなりません。交点はぴったりとしたカドにはないからです。答えは分数になるはず。そう思って解いていきましょう。

やりかた

$P$を通る$AB$の垂線と$AB$との交点を$C$とします。
三角形の面積＝底辺×高さ×$\cfrac{1}{2}$ 。底辺を$AB$、高さを$PC$ということにして求めていきましょう。
まず底辺$AB$の長さから。$A$の$y$座標は$y=\cfrac{1}{3}x+2$の切片だから$2$。$B$の$y$座標は$y=2x-3$の切片だから$-3$。だから$AB=5$。
つぎに高さ$PC$。これをだすために$P$の座標を求めます。$P$は直線$l$ と直線$m$との交点だから、直線$l$ と直線$m$を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{3}x+2\\ y=2x-3\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} 代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてると、 \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{3}x+2&=&2x-3\qquad(×3）\\ x+6&=&6x-9\\ x-6x&=&-9-6\\ -5x&=&-15\\ x&=&3\\ \end{eqnarray*} $y=2x-3$ に $x=3$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&2×3-3\\ &=&6-3\\ &=&3\\ \end{eqnarray*} これで $P$の座標は$(3,3)$ というふうに求められました。高さ$PC$の長さはこれの$x$座標をみればいいから$PC=3$。
これで底辺と高さがわかりました。面積をだしましょう。 $$5×3×\cfrac{1}{2}=\cfrac{15}{2}$$

やりかた

〈グラフ〉
ＢさんはＡさんが出発してから $10$ 分後に学校を出発したわけですから、点 $(10, \ 0)$ からグラフをはじめます。
グラフをかくときは、目盛りに注意してください。$x$ 軸は $1$ 目盛りが $2$ 分です。$y$ 軸は $1$ 目盛りが $100m$ です。
Ｂさんの速さは分速 $75m$ なので、$2$ 分で $150m$、$4$ 分で $300m$ 進むことになります。なので、右に $2$ マスいって、上に $3$ マスいくように点をとっていきます。
〈時間〉
$2$ 直線の交点が、ＢさんがＡさんに追いついた地点と時間を表します。なので、追いついたのは、Ａさんが出発してから $22$ 分後です。Ｂさんが出発してからは、$22-10=12$ 分後です。

やりかた ①〈式〉
三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。底辺を $AP$、高さを$BC$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$P$ が動いた長さが $x$ なので、$AP$ の長さは $x$ です。
$BC$ の長さは $6$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=x\times 6 \times \cfrac{1}{2}=3x$ となります。
〈変域〉
$P$ が $A$ 上にあるときは、$x=0$ です。最小値は $0$ です。$P$ が $C$ 上にきたときは、$x=8$ です。最大値は $8$ です。

②〈式〉
底辺を $BP$、高さを$AC$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BP$ の長さは、$14-x$ です。$x$ は $P$ が動いてきた長さです。②の図の赤い線が $x$ を表しています。$AC+CB$ から $x$ をひけば、$BP$ になります。なので、$BP=8+6-x=14-x$ です。
$AC$ の長さは $8$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、 \begin{eqnarray*} y&=&(14-x) \times8 \times\cfrac{1}{2} \\ &=&(14-x) \times4\\ &=&56-4x\\ &=&-4x+56 \end{eqnarray*} 〈変域〉
$x$ の変域は、$P$ が $C$ 上にきたときは、$x=8$ です。最小値は $8$ です。$P$ が $B$ 上にきたときは、$x=8+6=14$ です。最大値は $14$ です。

やりかた

〈グラフ〉
変域が $0 \leqq x \leqq 8$ のときの式は $y=3x$ です。原点を通る直線です。点$(0, \ 0),$ $(8, \ 24)$ をとって定規でむすんでしまいましょう。線は点 $(8, \ 24)$ で終わりにしてください。その先をかいちゃダメです。

変域が $8 \leqq x \leqq 14$ のときの式は $y=-4x+56$ です。直線です。点$(8, \ 32)$ と $(14, \ 0)$ をとって定規でむすんでしまいましょう。$x=14$ のときに面積が $0$ になるはず、と考えて点 $(14, \ 0)$ をとるわけです。

〈面積〉
グラフから、面積 $y$ が $8$ になるのは、$2$ か所あります。$P$ が $y=3x$ 上にあるときと、$y=-4x+56$ 上にあるときの両方で、面積が $8$ になるときがあります。それぞれの式の $y$ に $8$ を代入して $x$ を求めればOKです。
$P$ が $y=3x$ 上にあるとき \begin{eqnarray*} 8&=&3x\\ x&=&\cfrac{8}{3} \end{eqnarray*} $P$ が $y=-4x+56$ 上にあるとき \begin{eqnarray*} 8&=&-4x+56\\ 4x&=&56-8\\ 3x&=&48\\ x&=&12 \end{eqnarray*}

やりかた

〈グラフ〉
①＜式＞
$A$プランは$1$分間の使用料が$5$円で基本料金が$0$円なので、
$y=5x$
$B$プランは$1$分間の使用料が$2$円で基本料金が$1000$円なので、
$y=2x+1000$
①$C$プランは定額$2000$円なので、
$y=2000$
＜グラフ＞
$A$プランは切片が$0$で、$100$分で$500$円かかるグラフです。右に$1$マス進んで、縦に$1$マス進んでいるのを確認しましょう。
$B$プランは切片が$1000$で、$500$分で$1000$円かかるグラフです。右に$5$マス進んで、縦に$2$マス進むグラフをかきましょう。
$C$プランは切片が$2000$の横線になります。
②グラフを見て判断しましょう。$C$プランがもっとも安くなるのは、$x$が$500$のところです。