POINT

$a\gt0$ ($a$ がプラス)のとき、右上がりの直線になります。
$a\lt0$ ($a$ がマイナス)のとき、右下がりの直線になります。
$b$ は $y$ 軸上のどこを通るか、と思ってしまうといいです。

やりかた

① $x$ の増加量をきかれたときは、問題の「 $x$ の値が $-1$ から $5$ まで増加したときの」という部分を見て答えればよいです。$-1$ が $5$ になったわけだから、$6$ 増えましたよね？　だから $6$ と答えればOKです。
③　②の問題をとばして、さきにこちらを答えてしまいます。変化の割合というのは1次関数のときは $y=ax+b$ の $a$ のことだとおもっちゃえばいいです。だから $y=-\cfrac{1}{3}x-2$ の $-\cfrac{1}{3}$ の部分を答えれば正解です。テストのときはそう答えてしまいましょう。計算もなんもないです。 $x$ の直前に書いてある数を答えればいいです。ただし、変化の割合をきかれたときのこの答え方は1次関数のときだけしか通用しないから気をつけてください。
②1次関数で $y$ の増加量をきかれたときは、
$y$ の増加量 = $x$ の増加量 × 変化の割合
です。理由は単純で、「$変化の割合=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}$」だからです。変形したら $y$ の増加量 = $x$ の増加量 × 変化の割合 になりますよね？　1次関数のときはこれでうまくいくので、テストのときはこれでやっちゃいましょう。そのほうがラクだしはやいしミスもすくない。というわけでこの問題は $6 \times \left(-\cfrac{1}{3}\right) = －2$ が答えです。ただし、$y$ の増加量をきかれたときのこのやり方は、これも1次関数のときしか通用しないやり方だから気をつけてください。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
変化の割合というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-\cfrac{1}{4}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-\cfrac{1}{4}x+b$$ となります。あと、「点$(6,2)$を通る」というのは、$x=8$ のとき $y=3$ という意味です。これをこの $y=-\cfrac{1}{4}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 3&=&-\cfrac{1}{4}×8+b\\ 3&=&-2+b\\ 3+2&=&b\\ 5&=&b \end{eqnarray*} $b$ は右辺においたままにして解いていくのがおすすめです。たぶんこういうやり方って、このあたりで初めて見るのかもしれません。最初はとまどうと思いますが、1次関数で $b$ を求めるときは、このやり方のほうがミスが少ないです。だからこれがおすすめです。まあどうしてもなじめなかったら由緒正しく $b$ を左辺にもってって解いてもいいです。
ともかく、これでめでたく $a=-\cfrac{1}{4}$ , $b=5$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{4}x+5$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは $a$ のことです。だから $a=-1$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-x+b$$ となります。 $x=-1$ , $y=2$ をこの $y=-x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -2&=&-1×(-1)+b\\ -2&=&1+b\\ -2-1&=&b\\ -3&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-1$ , $b=-3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-x-3$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
\(\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=2$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=2x+b$$ となります。 $x=4$ , $y=3$ をこの $y=2x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 3&=&2×4+b\\ 3&=&8+b\\ 3-8&=&b\\ -5&=&b \end{eqnarray*} これで $a=2$ , $b=-5$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$y=2x-5$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
1次関数のときは \(a=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)だから、この問題の場合は $a=\cfrac{10}{5}=2$ となります。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=2x+b$$ となります。 $x=4$ , $y=-2$ をこの $y=3x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -2&=&2×4+b\\ -2&=&8+b\\ -2-8&=&b\\ -10&=&b \end{eqnarray*} これで $a=2$ , $b=-10$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=2x-10$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きが等しいとき、2直線は平行になります。$y=-2x-5$ に平行ということは、求めたい直線の傾きは $-2$ だということになります。つまり $a=-2$ です。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=-2x+b$$ となります。 $x=-1$ , $y=-2$ をこの $y=-2x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -2&=&-2×(-1)+b\\ -2&=&2+b\\ -2-2&=&b\\ -4&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-2$ , $b=-4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-2x-4$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y$ 切片というのは $b$ のことです。だから $b=3$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると $$y=ax+3$$ となります。 $x=-3$ , $y=2$ をこの $y=ax+2$ に代入して、 $a$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 2&=&-3a+3\\ 3a&=&3-2\\ 3a&=&1\\ a&=&\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*} これで $a=\cfrac{1}{3}$ , $b=3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{3}x+3$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-6,-3),(-2,1)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{1-(-3)}{-2-(-6)}\\ &=&\cfrac{4}{4}\\ &=&1\\ \end{eqnarray*} これで $a=1$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=x+b$$ ここに、 $(-6,-3),(-2,1)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。計算さえまちがえなければ、どっちをいれても答えは同じになります。だから、計算がラクそうなほうをいれるのが得。今回は、 $(-2,1)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} 1&=&-2+b\\ 1+2&=&b\\ 3&=&b \end{eqnarray*} これで $a=1$ , $b=3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=x+3$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、両方ためして、好きなほうでやってください。連立方程式をたててやるやり方は、次の問題で説明します。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y=ax+b$ に $x=2,y=-8$ を代入すると $$-8=2a+b$$ $y=ax+b$ に $x=4,y=-14$ を代入すると $$-14=4a+b$$ こうしてできたふたつの式を連立させて解きます。引き算をすれば $b$ が消えます。

$a=-3$ を $-8=2a+b$ に代入して $b$ を求めます。 \begin{eqnarray*} -8&=&2×(-3)+b\\ -8&=&-6+b\\ -8+6&=&b\\ -2&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-3$ , $b=-2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-3x-2$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、前の問題で説明した $a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ という公式を使って、まず $a$ を求めてしまう、というやり方でもいけます。どっちでもいけます。テストのときは好きなほうでやってください。

やりかた

まず、$y$ を $x$ の式で表してしまいましょう。そのために、$x$ と $y$ がわかっている組を $2$ 組、見つけます。必ず $2$ 組はあるはずです。この問題の場合は、$x=-3$ のとき $y=6$, $x=6$ のとき $y=0$ というのがありますね。これで $a$ を求めることができます。$(-3, 6), (6, 0)$ だと思ってもいいです。$a$ が求まりますよね？
$\quad a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ を使って、
$\quad a=\cfrac{0-6}{6-(-3)}=\cfrac{-6}{9}=-\cfrac{2}{3}$
$y=-\cfrac{2}{3}x+b$ に $(6, 0)$ を代入して、 \begin{eqnarray*} 0&=&-\cfrac{2}{3}\times6+b\\ 0&=&-4+b\\ 4&=&b \end{eqnarray*} これで、式は $y=-\cfrac{2}{3}x+4$ だと求められました。あとはアとイとウをだしていきましょう。
アは $x=-6$ のときの $y$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{2}{3}\times(-6)+4=4+4=8 \end{eqnarray*} イは $x=1$ のときの $y$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} y=-\cfrac{2}{3}\times1+4=-\cfrac{2}{3}+\cfrac{12}{3}=\cfrac{10}{3} \end{eqnarray*} ウは $y=-4$ のときの $x$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} -4&=&-\cfrac{2}{3}x+4 \quad(\times3)\\ -12&=&-2x+12\\ 2x&=&12+12\\ 2x&=&24\\ x&=&12 \end{eqnarray*} これですべて求まりました。答えを書きましょう。
ア…$8$, イ…$\cfrac{10}{3}$, ウ…$12$,　式 $y=-\cfrac{2}{3}x+4$

やりかた

「$x$ の変域が $a \leqq x \leqq b$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-3 \leqq x \leqq 3$ の $-3$ と $3$ をそれぞれ問題の $y=-\cfrac{1}{3}x+4$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-3$ を $y=-\cfrac{1}{3}x+4$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{1}{3}×(-3)+4\\ &=&1+4\\ &=&5\\ \end{eqnarray*} 次に、 $x=3$ を $y=-\cfrac{1}{3}x+4$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{1}{3}×3+4\\ &=&-1+4\\ &=&3\\ \end{eqnarray*} これで、$5$ と $3$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。$$3 \leqq y \leqq 5$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$1$歩いって縦に$3$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{3}{1}=3$$ それから、このグラフは $y$ 軸の $-2$ を通っています。切片 $b$ は $y$ 軸のどこを通っているか、ということだから、 $$b=-2$$ これで $a=3$ , $b=-2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=3x-2$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$2$歩いって縦に$-1$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{-1}{2}=-\cfrac{1}{2}$$ それから、このグラフは $y$ 軸の $1$ を通っています。切片 $b$ は $y$ 軸のどこを通っているか、ということだから、 $$b=1$$ これで $a=-\cfrac{1}{2}$ , $b=1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{2}x+1$$

やりかた

①　$x$軸に平行な直線のときはちょっと特別で、答えの形は $y=n$ です。この直線は $y$ 軸の $2$ を通っていて、$x$軸に平行な直線だから、答えは
$$y=2$$ ②　$y$ 軸に平行な直線のときもちょっと特別で、答えの形は $x=n$ です。この直線は $x$軸の $-1$ を通っていて、$y$ 軸に平行な直線だから、答えは
$$x=-1$$

やりかた

①　傾きが $-\cfrac{3}{2}$ で切片が $-4$ のグラフです。
②　このままでは傾きや切片がわかりません。こういうときは、$y$ について解きます。 \begin{eqnarray*} -3&=&2x-3y\\ 3y&=&2x+3\\ y&=&\cfrac{2}{3}x+\cfrac{3}{3}\\ y&=&\cfrac{2}{3}x+1 \end{eqnarray*} これで傾きが $\cfrac{2}{3}$ で切片が $1$ だとわかりました。そのグラフをかきましょう。

やりかた

加減法や代入法を使って解いてしまうこともできますが、それだとテストのとき点数はもらえません。グラフをかいていなければダメです。というわけでグラフをかきます。このままでは傾きや切片がわかりませんので、こういうときは、それぞれの式を $y$ について解きます。 \begin{eqnarray*} 2x+y&=&5\\ y&=&-2x+5 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 4x-3y&=&15\\ -3y&=&-4x+15\\ 3y&=&4x-15\\ y&=&\cfrac{4}{3}x-\cfrac{15}{3}\\ y&=&\cfrac{4}{3}x-5 \end{eqnarray*} こうしてできた $2$ つの式をおなじグラフ上にかいて、その交点を座標を答えればいいです。交点の座標は点$(3, \ -1)$ ですね。$x=3, \ y=-1$ が解です。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$3$歩いって縦に$-2$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{-2}{3}=-\cfrac{2}{3}$$ それから、このグラフは $y$ 軸のぴったりしたところを通っていません。こういうときの $b$ はどこかの座標を代入して計算で求めます。たとえばこのグラフは点$(2,0)$ を通っているから、$x=2,$ $y=0$ を、$y=-\cfrac{2}{3}x+b$ に代入して $b$ を求めます。 \begin{eqnarray*} 0&=&-\cfrac{2}{3}×2+b\\ 0&=&-\cfrac{4}{3}+b\\ \cfrac{4}{3}&=&b\\ \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{2}{3}$ , $b=\cfrac{4}{3}$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{2}{3}x+\cfrac{4}{3}$$ 今回は点$(2,0)$ を代入して $b$ を求めたけれど、$(5,-2)$でも$(-1,2)$でも$(-4,4)$でもどこでもいいです。どこをいれても $b=\cfrac{4}{3}$ になります。

やりかた

2直線の交点の座標は連立方程式の解です。
連立方程式\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{2}x-2\\ y=3x+3 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解いて、その解がこの問題の答えです。代入法で、
(上の式の右辺)＝(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。 \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}x-2&=&3x+3 \quad(両辺に\times2)\\ x-4&=&6x+6\\ x-6x&=&6+4\\ -5x&=&10\\ x&=&-2\\ \end{eqnarray*} $y=3x+3$ に $x=-2$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&3\times(-2)+3\\ &=&-6+3\\ &=&-3 \end{eqnarray*} これで $x=-2$ , $y=-3$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$(-2,-3)$$ この問題は「座標を求めよ」といわれているのだから、座標の書きかたで答えるようにしましょう。

やりかた

2直線の交点の座標は連立方程式の解です。まず、2つの直線の式をグラフから求めます。（ア）（イ）の直線の式はそれぞれ $$y=3x-2\qquad{(ア)}$$ $$y=-\cfrac{1}{2}x+1\qquad{(イ)}$$ もしわからなかったら、13番と14番の問題で出題した直線なので、それを確認してください。
んで、だからこの問題に答えるには、連立方程式 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=3x-2\\ y=-\cfrac{1}{2}x+1 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、
(ア）の式の右辺＝(イ）の式の右辺
という式をたてて解いていきましょう。 \begin{eqnarray*} 3x-2&=&-\cfrac{1}{2}x+1\qquad(×2)\\ 6x-4&=&-x+2\\ 6x+x&=&2+4\\ 7x&=&6\\ x&=&\cfrac{6}{7}\\ \end{eqnarray*} $y=3x-2$ に $x=\cfrac{6}{7}$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&3×\cfrac{6}{7}-2\\ &=&\cfrac{18}{7}-\cfrac{14}{7}\\ &=&\cfrac{4}{7}\\ \end{eqnarray*} これで $x=\cfrac{6}{7}$ , $y=\cfrac{4}{7}$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$\left(\cfrac{6}{7}, \ \cfrac{4}{7}\right)$$ この問題の答えは整数にはなりません。交点はぴったりとしたカドにはないからです。答えは分数になるはず。そう思って解いていきましょう。

やりかた

$P$を通る$AB$の垂線と$AB$との交点を$C$とします。
三角形の面積＝底辺×高さ×$\cfrac{1}{2}$ 。底辺を$AB$、高さを$PC$ということにして求めていきましょう。
まず底辺$AB$の長さから。$A$の$y$座標は$y=2x+4$の切片だから$4$。$B$の$y$座標は$-\cfrac{1}{3}x-3$の切片だから$-3$。だから$AB=7$。
つぎに高さ$PC$。これをだすために$P$の座標を求めます。$P$は直線$l$ と直線$m$との交点だから、直線$l$ と直線$m$を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=2x+4\\ y=-\cfrac{1}{3}x-3\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} 代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてると、 \begin{eqnarray*} 2x+4&=&-\cfrac{1}{3}x-3\qquad(×3）\\ 6x+12&=&-x-9\\ 6x+x&=&-9-12\\ 7x&=&-21\\ x&=&-3\\ \end{eqnarray*} $y=2x+4$ に $x=-3$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&2×(-3)+4\\ &=&-6+4\\ &=&-2\\ \end{eqnarray*} これで $P$の座標は$(-3,-2)$ というふうに求められました。高さ$PC$の長さはこれの$x$座標をみればいいから$PC=3$。
これで底辺と高さがわかりました。面積をだしましょう。 $$7×3×\cfrac{1}{2}=\cfrac{21}{2}$$

やりかた

〈グラフ〉
ＢさんはＡさんが出発してから $6$ 分後に学校を出発したわけですから、点 $(6, \ 1200)$ からグラフをはじめます。
グラフをかくときは、目盛りに注意してください。$x$ 軸は $1$ 目盛りが $2$ 分です。$y$ 軸は $1$ 目盛りが $100m$ です。
Ｂさんの速さは分速 $100m$ なので、$2$ 分で $200m$ 進むことになります。なので、右に $1$ マスいって、下に $2$ マスいくように点をとっていきます。
〈時間〉
$2$ 直線の交点が、ＢさんがＡさんとすれちがった地点と時間を表します。なので、すれちがったのは、Ａさんが出発してから $12$ 分後です。Ｂさんが出発してからは、$12-6=6$ 分後です。

やりかた ①〈式〉
三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。底辺を $BC$、高さを$PB$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $6$ です。
$P$ が動いた長さが $x$ なので、$PB$ の長さは $x$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=6\times x \times \cfrac{1}{2}=3x$ となります。
〈変域〉
$P$ が $B$ 上にあるときは、$x=0$ です。最小値は $0$ です。$P$ が $A$ 上にきたときは、$x=4$ です。最大値は $4$ です。

②〈式〉
$P$ から $BC$ におろした垂線と、$BC$ との交点を $E$ とします。底辺を $BC$、高さを$PE$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $6$ です。
$PE$ の長さは、$P$ がどこにあっても $4$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=6 \times 4 \times\cfrac{1}{2}=12$ となります。
〈変域〉
$x$ の変域は、$P$ が $A$ 上にきたときは、$x=4$ です。最小値は $4$ です。$P$ が $D$ 上にきたときは、$x=4+6=10$ です。最大値は $10$ です。

③〈式〉
底辺を $BC$、高さを$PC$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $6$ です。
$PC$ の長さは、$14-x$ です。$x$ は $P$ が動いてきた長さです。③の図の赤い線が $x$ を表しています。$BA+AD+DC$ から $x$ をひけば、$PC$ になります。なので、$PC=4+6+4-x=14-x$ です。 なので、三角形 $y$ の面積は、 \begin{eqnarray*} y&=&6 \times (14-x) \times\cfrac{1}{2} \quad(6\times\cfrac{1}{2}を先にやってしまう)\\ &=&3(14-x)\\ &=&42-3x\\ &=&-3x+42 \end{eqnarray*} 〈変域〉
$x$ の変域は、$P$ が $D$ 上にきたときは、$x=4+6=10$ です。最小値は $10$ です。$P$ が $C$ 上にきたときは、$x=4+6+4=14$ です。最大値は $14$ です。

やりかた

〈グラフ〉
変域が $0 \leqq x \leqq 4$ のときの式は $y=3x$ です。原点を通る直線です。点$(0, \ 0),$ $(4, \ 12)$ をとって定規でむすんでしまいましょう。線は点 $(4, \ 12)$ で終わりにしてください。その先をかいちゃダメです。

変域が $4 \leqq x \leqq 10$ のときの式は $y=12$ です。$x$ 軸に平行な直線になります。$(4, \ 12)$ から$ (10, \ 12)$ までを定規でむすんでしまいましょう。

変域が $10 \leqq x \leqq 14$ のときの式は $y=-3x+42$ です。直線です。点$(10, \ 12)$ と $(14, \ 0)$ をとって定規でむすんでしまいましょう。$x=14$ のときに面積が $0$ になるはず、と考えて点 $(14, \ 0)$ をとるわけです。

〈面積〉
グラフから、面積 $y$ が $8$ になるのは、$2$ か所あります。$P$ が $y=3x$ 上にあるときと、$y=-3x+42$ 上にあるときです。それぞれの式の $y$ に $8$ を代入して $x$ を求めればOKです。
$P$ が $y=3x$ 上にあるとき \begin{eqnarray*} 8&=&3x\\ x&=&\cfrac{8}{3} \end{eqnarray*} $P$ が $y=-3x+42$ 上にあるとき \begin{eqnarray*} 8&=&-3x+42\\ 3x&=&42-8\\ 3x&=&34\\ x&=&\cfrac{34}{3} \end{eqnarray*}

やりかた

〈グラフ〉
①＜式＞
$A$プランは$1$分間の使用料が$2$円で基本料金が$2000$円なので、
$y=2x+2000$
$B$プランは$1$分間の使用料が$4$円で基本料金が$500$円なので、
$y=4x+500$
①$C$プランは定額$2500$円なので、
$y=2500$
＜グラフ＞
$A$プランは切片が$2000$で、$500$分で$1000$円かかるグラフです。右に$5$マス進んで、縦に$2$マス進んでいるのを確認しましょう。
$B$プランは切片が$500$で、$500$分で$2000$円かかるグラフです。右に$5$マス進んで、縦に$4$マス進むグラフをかきましょう。
$C$プランは切片が$2500$の横線になります。
②グラフを見て判断しましょう。$C$プランがもっとも安くなるのは、$x$が$500$のところです。