POINT

$a\gt0$ ($a$ がプラス)のとき、右上がりの直線になります。
$a\lt0$ ($a$ がマイナス)のとき、右下がりの直線になります。
$b$ は $y$ 軸上のどこを通るか、と思ってしまうといいです。

やりかた

① $x$ の増加量をきかれたときは、問題の「 $x$ の値が $-2$ から $4$ まで増加したときの」という部分を見て答えればよいです。$-2$ が $4$ になったわけだから、$6$ 増えましたよね？　だから $6$ と答えればOKです。
③　②の問題をとばして、さきにこちらを答えてしまいます。変化の割合というのは1次関数のときは $y=ax+b$ の $a$ のことだとおもっちゃえばいいです。だから $y=-\cfrac{1}{2}x+3$ の $-\cfrac{1}{2}$ の部分を答えれば正解です。テストのときはそう答えてしまいましょう。計算もなんもないです。 $x$ の直前に書いてある数を答えればいいです。ただし、変化の割合をきかれたときのこの答え方は1次関数のときだけしか通用しないから気をつけてください。
②1次関数で $y$ の増加量をきかれたときは、
$y$ の増加量 = $x$ の増加量 × 変化の割合
です。理由は単純で、「$変化の割合=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}$」だからです。変形したら $y$ の増加量 = $x$ の増加量 × 変化の割合 になりますよね？　1次関数のときはこれでうまくいくので、テストのときはこれでやっちゃいましょう。そのほうがラクだしはやいしミスもすくない。というわけでこの問題は $6 \times \left(-\cfrac{1}{2}\right) = －3$ が答えです。ただし、$y$ の増加量をきかれたときのこのやり方は、これも1次関数のときしか通用しないやり方だから気をつけてください。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
変化の割合というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-\cfrac{1}{3}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-\cfrac{1}{3}x+b$$ となります。あと、「点$(6,2)$を通る」というのは、$x=6$ のとき $y=2$ という意味です。これをこの $y=-\cfrac{1}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
$$\begin{eqnarray*} 2&=&-\cfrac{1}{3}×6+b\\ 2&=&-2+b\\ 2+2&=&b\\ 4&=&b \end{eqnarray*}$$ $b$ は右辺においたままにして解いていくのがおすすめです。たぶんこういうやり方って、このあたりで初めて見るのかもしれません。最初はとまどうと思いますが、1次関数で $b$ を求めるときは、このやり方のほうがミスが少ないです。だからこれがおすすめです。まあどうしてもなじめなかったら由緒正しく $b$ を左辺にもってって解いてもいいです。
ともかく、これでめでたく $a=-\cfrac{1}{3}$ , $b=4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{3}x+4$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは $a$ のことです。だから $a=-2$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-2x+b$$ となります。 $x=3$ , $y=-2$ をこの $y=-2x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
$$\begin{eqnarray*} -2&=&-2×3+b\\ -2&=&-6+b\\ -2+6&=&b\\ 4&=&b \end{eqnarray*}$$ これで $a=-2$ , $b=4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-2x+4$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}$というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=\cfrac{1}{2}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=\cfrac{1}{2}x+b$$ となります。 $x=6$ , $y=2$ をこの $y=\cfrac{1}{2}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
$$\begin{eqnarray*} 2&=&\cfrac{1}{2}×6+b\\ 2&=&3+b\\ 2-3&=&b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}$$ これで $a=\cfrac{1}{2}$ , $b=-1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{2}x-1$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
1次関数のときは $a=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}$だから、この問題の場合は $a=\cfrac{6}{3}=2$ となります。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=2x+b$$ となります。 $x=1$ , $y=5$ をこの $y=3x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
$$\begin{eqnarray*} 5&=&2\times1+b\\ 5&=&2+b\\ 5-2&=&b\\ 3&=&b \end{eqnarray*}$$ これで $a=2$ , $b=3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=2x+3$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きが等しいとき、2直線は平行になります。$y=\cfrac{1}{2}x-3$ に平行ということは、求めたい直線の傾きは $\cfrac{1}{2}$ だということになります。つまり $a=\cfrac{1}{2}$ です。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=\cfrac{1}{2}x+b$$ となります。 $x=4$ , $y=-3$ をこの $y=\cfrac{2}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
$$\begin{eqnarray*} -3&=&\cfrac{1}{2}×4+b\\ -3&=&2+b\\ -3-2&=&b\\ -5&=&b \end{eqnarray*}$$ これで $a=\cfrac{1}{2}$ , $b=-5$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{2}x-5$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y$ 切片というのは $b$ のことです。だから $b=2$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると $$y=ax+2$$ となります。 $x=3$ , $y=3$ をこの $y=ax+2$ に代入して、 $a$ を求めます。
$$\begin{eqnarray*} 3&=&3a+2\\ -3a&=&2-3\\ -3a&=&-1\\ a&=&\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}$$ これで $a=\cfrac{1}{3}$ , $b=2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{3}x+2$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-6,-5),(-2,-3)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 $$\begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-3-(-5)}{-2-(-6)}\\ &=&\cfrac{2}{4}\\ &=&\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*}$$ これで $a=\cfrac{1}{2}$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=\cfrac{1}{2}x+b$$ ここに、 $(-6,-5),(-2,-3)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。計算さえまちがえなければ、どっちをいれても答えは同じになります。だから、計算がラクそうなほうをいれるのが得。今回は、 $(-2,-3)$ のほうをいれてみましょう。 $$\begin{eqnarray*} -3&=&\cfrac{1}{2}\times(-2)+b\\ -3&=&-1+b\\ -3+1&=&b\\ -2&=&b \end{eqnarray*}$$ これで $a=\cfrac{1}{2}$ , $b=-2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{2}x-2$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、両方ためして、好きなほうでやってください。連立方程式をたててやるやり方は、次の問題で説明します。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y=ax+b$ に $x=2,y=5$ を代入すると $$5=2a+b$$ $y=ax+b$ に $x=4,y=9$ を代入すると $$9=4a+b$$ こうしてできたふたつの式を連立させて解きます。引き算をすれば $b$ が消えます。

$a=2$ を $5=2a+b$ に代入して $b$ を求めます。 $$\begin{eqnarray*} 5&=&2×2+b\\ 5&=&4+b\\ 5-4&=&b\\ 1&=&b \end{eqnarray*}$$ これで $a=2$ , $b=1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=2x+1$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、前の問題で説明した $a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ という公式を使って、まず $a$ を求めてしまう、というやり方でもいけます。どっちでもいけます。テストのときは好きなほうでやってください。

やりかた

まず、$y$ を $x$ の式で表してしまいましょう。そのために、$x$ と $y$ がわかっている組を $2$ 組、見つけます。必ず $2$ 組はあるはずです。この問題の場合は、$x=-5$ のとき $y=7$, $x=7$ のとき $y=-17$ というのがありますね。これで $a$ を求めることができます。$(-5, 7), (7, -17)$ だと思ってもいいです。$a$ が求まりますよね？
$\quad a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ を使って、
$\quad a=\cfrac{-17-7}{7-(-5)}=\cfrac{-24}{12}=-2$
$y=-2x+b$ に $(-5,7)$ を代入して、 $$\begin{eqnarray*} 7&=&-2\times(-5)+b\\ 7&=&10+b\\ -3&=&b \end{eqnarray*}$$ これで、式は $y=-2x-3$ だと求められました。あとはアとイとウをだしていきましょう。
アは $x=-1$ のときの $y$ の値のことだから、 $$\begin{eqnarray*} y&=&-2\times(-1)-3=2-3=-1 \end{eqnarray*}$$ イは $x=0$ のときの $y$ の値のことだから、切片を答えればよいので、 $$\begin{eqnarray*} y=-3 \end{eqnarray*}$$ ウは $y=-7$ のときの $x$ の値のことだから、 $$\begin{eqnarray*} -7&=&-2x-3\\ 2x&=&-3+7\\ 2x&=&4\\ x&=&2 \end{eqnarray*}$$ これですべて求まりました。答えを書きましょう。
ア…$-1$, イ…$-3$, ウ…$2$,　式 $y=-2x-3$

やりかた

「$x$ の変域が $a \leqq x \leqq b$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-2 \leqq x \leqq 4$ の $-2$ と $4$ をそれぞれ問題の $y=\cfrac{1}{2}x-3$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-2$ を $y=\cfrac{1}{2}x-3$ に代入します。 $$\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{1}{2}×(-2)-3\\ &=&-1-3\\ &=&-4\\ \end{eqnarray*}$$ 次に、 $x=4$ を $y=\cfrac{1}{2}x-3$ に代入します。 $$\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{1}{2}×4-3\\ &=&2-3\\ &=&-1\\ \end{eqnarray*}$$ これで、$-4$ と $-1$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。 $$-4 \leqq y \leqq -1$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$1$歩いって縦に$1$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{1}{1}=1$$ それから、このグラフは $y$ 軸の $-2$ を通っています。切片 $b$ は $y$ 軸のどこを通っているか、ということだから、 $$b=-2$$ これで $a=1$ , $b=-2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=x-2$$

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$2$歩いって縦に$-3$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{-3}{2}=-\cfrac{3}{2}$$ それから、このグラフは $y$ 軸の $2$ を通っています。切片 $b$ は $y$ 軸のどこを通っているか、ということだから、 $$b=2$$ これで $a=-\cfrac{3}{2}$ , $b=1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{3}{2}x+2$$

やりかた

①　$x$軸に平行な直線のときはちょっと特別で、答えの形は $y=n$ です。この直線は $y$ 軸の $-4$ を通っていて、$x$軸に平行な直線だから、答えは
$$y=-4$$ ②　$y$ 軸に平行な直線のときもちょっと特別で、答えの形は $x=n$ です。この直線は $x$軸の $2$ を通っていて、$y$ 軸に平行な直線だから、答えは
$$x=2$$

やりかた

①　傾きが $2$ で切片が $-3$ のグラフです。
②　このままでは傾きや切片がわかりません。こういうときは、$y$ について解きます。 $$\begin{eqnarray*} 4x+3y&=&6\\ 3y&=&-4x+6\\ y&=&-\cfrac{4}{3}x+\cfrac{6}{3}\\ y&=&-\cfrac{4}{3}x+2 \end{eqnarray*}$$ これで傾きが $-\cfrac{4}{3}$ で切片が $2$ だとわかりました。そのグラフをかきましょう。

やりかた

加減法や代入法を使って解いてしまうこともできますが、それだとテストのとき点数はもらえません。グラフをかいていなければダメです。というわけでグラフをかきます。このままでは傾きや切片がわかりませんので、こういうときは、それぞれの式を $y$ について解きます。 $$\begin{eqnarray*} 2x+y&=&2\\ y&=&-2x+2 \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*} x-2y&=&6\\ -2y&=&-x+6\\ 2y&=&x-6\\ y&=&\cfrac{1}{2}x-\cfrac{6}{2}\\ y&=&\cfrac{1}{2}x-3 \end{eqnarray*}$$ こうしてできた $2$ つの式をおなじグラフ上にかいて、その交点を座標を答えればいいです。交点の座標は点$(2, \ -2)$ ですね。$x=2, \ y=-2$ が解です。

やりかた

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
このグラフは右に$3$歩いって縦に$2$ 歩いっています。傾き $a=\cfrac{縦}{右}$ だから、 $$a=\cfrac{2}{3}$$ それから、このグラフは $y$ 軸のぴったりしたところを通っていません。こういうときの $b$ はどこかの座標を代入して計算で求めます。たとえばこのグラフは点$(-2,0)$ を通っているから、$x=-2,$ $y=0$ を、$y=\cfrac{2}{3}x+b$ に代入して $b$ を求めます。 $$\begin{eqnarray*} 0&=&\cfrac{2}{3}×(-2)+b\\ 0&=&-\cfrac{4}{3}+b\\ \cfrac{4}{3}&=&b\\ \end{eqnarray*}$$ これで $a=\cfrac{2}{3}$ , $b=\cfrac{4}{3}$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{2}{3}x+\cfrac{4}{3}$$ 今回は点$(-2,0)$ を代入して $b$ を求めたけれど、$(-5,-2)$でも$(1,2)$でも$(4,4)$でもどこでもいいです。どこをいれても $b=\cfrac{4}{3}$ になります。

やりかた

2直線の交点の座標は連立方程式の解です。
連立方程式 $$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{2}x-3\\ y=-x+3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$ を解いて、その解がこの問題の答えです。代入法で、
(上の式の右辺)＝(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。 $$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}x-3&=&-x+3 \quad(両辺に\times2)\\ x-6&=&-2x+6\\ x+2x&=&6+6\\ 3x&=&12\\ x&=&4\\ \end{eqnarray*}$$ $y=-x+3$ に $x=4$ を代入して $y$ を求めます。 $$\begin{eqnarray*} y&=&-4+3\\ &=&-1 \end{eqnarray*}$$ これで $x=4$ , $y=-1$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$(4,-1)$$ この問題は「座標を求めよ」といわれているのだから、座標の書きかたで答えるようにしましょう。

やりかた

2直線の交点の座標は連立方程式の解です。まず、2つの直線の式をグラフから求めます。（ア）（イ）の直線の式はそれぞれ $$y=x-2\qquad{(ア)}$$ $$y=-\cfrac{3}{2}x+2\qquad{(イ)}$$ もしわからなかったら、13番と14番の問題で出題した直線なので、それを確認してください。
んで、だからこの問題に答えるには、連立方程式 $$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=x-2\\ y=-\cfrac{3}{2}x+2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$ を解けばいいです。代入法で、
(ア）の式の右辺＝(イ）の式の右辺
という式をたてて解いていきましょう。 $$\begin{eqnarray*} x-2&=&-\cfrac{3}{2}x+2\qquad(×2)\\ 2x-4&=&-3x+4\\ 2x+3x&=&4+4\\ 5x&=&8\\ x&=&\cfrac{8}{5}\\ \end{eqnarray*}$$ $y=x-2$ に $x=\cfrac{8}{5}$ を代入して $y$ を求めます。 $$\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{8}{5}-2\\ &=&\cfrac{8}{5}-\cfrac{10}{5}\\ &=&-\cfrac{2}{5}\\ \end{eqnarray*}$$ これで $x=\cfrac{8}{5}$ , $y=-\cfrac{2}{5}$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$\left(\cfrac{8}{5},-\cfrac{2}{5}\right)$$ この問題の答えは整数にはなりません。交点はぴったりとしたカドにはないからです。答えは分数になるはず。そう思って解いていきましょう。

やりかた

$P$を通る$AB$の垂線と$AB$との交点を$C$とします。
三角形の面積＝底辺×高さ×$\cfrac{1}{2}$ 。底辺を$AB$、高さを$PC$ということにして求めていきましょう。
まず底辺$AB$の長さから。$A$の$y$座標は$y=-x+2$の切片だから$2$。$B$の$y$座標は$y=\cfrac{1}{3}x-2$の切片だから$-2$。だから$AB=4$。
つぎに高さ$PC$。これをだすために$P$の座標を求めます。$P$は直線$l$ と直線$m$との交点だから、直線$l$ と直線$m$を連立させて解きます。 $$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-x+2\\ y=\cfrac{1}{3}x-2\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$ 代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてると、 $$\begin{eqnarray*} -x+2&=&\cfrac{1}{3}x-2\qquad(×3）\\ -3x+6&=&x-6\\ -3x-x&=&-6-6\\ -4x&=&-12\\ x&=&3\\ \end{eqnarray*}$$ $y=-x+2$ に $x=3$ を代入して $y$ を求めます。 $$\begin{eqnarray*} y&=&-1×3+2\\ &=&-3+2\\ &=&-1\\ \end{eqnarray*}$$ これで $P$の座標は$(3,-1)$ というふうに求められました。高さ$PC$の長さはこれの$x$座標をみればいいから$PC=3$。
これで底辺と高さがわかりました。面積をだしましょう。 $$4×3×\cfrac{1}{2}=6$$

やりかた

〈グラフ〉
ＢさんはＡさんが出発してから $6$ 分後に出発したわけですから、点 $(6, \ 0)$ からグラフをはじめます。
グラフをかくときは、目盛りに注意してください。$x$ 軸は $1$ 目盛りが $2$ 分です。$y$ 軸は $1$ 目盛りが $100m$ です。
Ｂさんの速さは分速 $75m$ なので、$2$ 分で $150m$、$4$ 分で $300m$ 進むことになります。なので、右に $2$ マスいって、上に $3$ マスいくように点をとっていきます。
〈時間〉
$2$ 直線の交点が、ＢさんがＡさんに追いついた地点と時間を表します。なので、追いついたのは、Ａさんが出発してから $18$ 分後です。Ｂさんが出発してからは、$18-6=12$ 分後です。

やりかた ①〈式〉
三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。底辺を $BC$、高さを$PB$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $10$ です。
$P$ が動いた長さが $x$ なので、$PB$ の長さは $x$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=10\times x \times \cfrac{1}{2}=5x$ となります。
〈変域〉
$P$ が $B$ 上にあるときは、$x=0$ です。最小値は $0$ です。$P$ が $A$ 上にきたときは、$x=8$ です。最大値は $8$ です。

②〈式〉
$P$ から $BC$ におろした垂線と、$BC$ との交点を $E$ とします。底辺を $BC$、高さを$PE$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $10$ です。
$PE$ の長さは、$P$ がどこにあっても $8$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=10 \times 8 \times\cfrac{1}{2}=40$ となります。
〈変域〉
$x$ の変域は、$P$ が $A$ 上にきたときは、$x=8$ です。最小値は $8$ です。$P$ が $D$ 上にきたときは、$x=8+10=18$ です。最大値は $18$ です。

③〈式〉
底辺を $BC$、高さを$PC$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $10$ です。
$PC$ の長さは、$26-x$ です。$x$ は $P$ が動いてきた長さです。③の図の赤い線が $x$ を表しています。$BA+AD+DC$ から $x$ をひけば、$PC$ になります。なので、$PC=8+10+8-x=26-x$ です。 なので、三角形 $y$ の面積は、 $$\begin{eqnarray*} y&=&10 \times (26-x) \times\cfrac{1}{2} \quad(10\times\cfrac{1}{2}を先にやってしまう)\\ &=&5(26-x)\\ &=&130-5x\\ &=&-5x+130 \end{eqnarray*}$$ 〈変域〉
$x$ の変域は、$P$ が $D$ 上にきたときは、$x=8+10=18$ です。最小値は $18$ です。$P$ が $C$ 上にきたときは、$x=8+10+8=26$ です。最大値は $26$ です。

やりかた

〈グラフ〉
変域が $0 \leqq x \leqq 8$ のときの式は $y=5x$ です。原点を通る直線です。点$(0, \ 0),$ $(8, \ 40)$ をとって定規でむすんでしまいましょう。線は点 $(8, \ 40)$ で終わりにしてください。その先をかいちゃダメです。

変域が $8 \leqq x \leqq 18$ のときの式は $y=40$ です。$x$ 軸に平行な直線になります。$(8, \ 40)$ から$(18, \ 40)$ までを定規でむすんでしまいましょう。

変域が $18 \leqq x \leqq 26$ のときの式は $y=-5x+130$ です。直線です。点$(18, \ 40)$ と $(26, \ 0)$ をとって定規でむすんでしまいましょう。$x=26$ のときに面積が $0$ になるはず、と考えて点 $(26, \ 0)$ をとるわけです。

〈面積〉
グラフから、面積 $y$ が $30$ になるのは、$2$ か所あります。$P$ が $y=5x$ 上にあるときと、$y=-5x+130$ 上にあるときです。それぞれの式の $y$ に $30$ を代入して $x$ を求めればOKです。
$P$ が $y=4x$ 上にあるとき $$\begin{eqnarray*} 30&=&5x\\ x&=&6 \end{eqnarray*}$$ $P$ が $y=-5x+130$ 上にあるとき $$\begin{eqnarray*} 30&=&-5x+130\\ 5x&=&130-30\\ 5x&=&100\\ x&=&20 \end{eqnarray*}$$

やりかた

〈グラフ〉
①＜式＞
$A$プランは$1$分間の使用料が$2$円で基本料金が$2000$円なので、
$y=2x+2000$
$B$プランは$1$分間の使用料が$5$円で基本料金が$500$円なので、
$y=5x+500$
①$C$プランは定額$2500$円なので、
$y=2500$
＜グラフ＞
$A$プランは切片が$2000$で、$500$分で$1000$円かかるグラフです。右に$5$マス進んで、縦に$2$マス進んでいるのを確認しましょう。
$B$プランは切片が$500$で、$100$分で$500$円かかるグラフです。右に$1$マス進んで、縦に$1$マス進むグラフをかきましょう。
$C$プランは切片が$2500$の横線になります。
②グラフを見て判断しましょう。$C$プランがもっとも安くなるのは、$x$が$400$のところです。