⑧分数の割り算は逆数をかけます。いわゆる「ひっくり返して掛ける」というやつです。そのさい、注意点があります。$x$ は分母のほうにいきます。
$\qquad \cfrac{5}{3}x=\cfrac{5x}{3}$ なので、逆数にすると$\cfrac{3}{5x}$
なので、 \begin{eqnarray*} && (-15x^2+25x)\div \cfrac{5}{3}x\\ &=& (-15x^2+25x)\times \cfrac{3}{5x}\\ &=& -15x^2\times \cfrac{3}{5x} +25x\times \cfrac{3}{5x}\\ &=& -9x+15 \end{eqnarray*} まちがえやすい注意点なので、もういちど整理しておきますね。
$\qquad \cfrac{5}{3}x$ を逆数にすると $\cfrac{3}{5}x$　←まちがい
$\qquad \cfrac{5}{3}x$ を逆数にすると $\cfrac{3}{5x}$　←正しい

分配法則でまんべんなく掛ければすべて正答できるのですが、⑤番以降は乗法公式でやりましょう。中３でおぼえるべき乗法公式は $4$つです。必ずおぼえて使えるようになり、慣れておきましょう。でないといろいろこまったことになります。
⑬と⑭は、かっこの中の順番を変えれば公式$4$が使えます。 \begin{eqnarray*} &⑬& (5+3y)(3y-5)\\ &=& (3y+5)(3y-5)\\ &=& 9y^2-25 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑭& (-4a+9)(4a+9)\\ &=& (9-4a)(9+4a)\\ &=& 81-16a^2 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &①& -(x+5)((x-8)\\ &=& -(x^2-3x-40)\\ &=& -x^2+3x+40 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& 4(3x+4)^2\\ &=& 4(9x^2+24x+16)\\ &=& 36x^2+96x+64 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &③& -2(x-1)(4x+5)-(x-2)(x+2)\\ &=& -2(4x^2+x-5)-(x^2-4)\\ &=& -8x^2-2x+10-x^2+4\\ &=& -9x^2-2x+14 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &④& 3(x+y)(x-y)-4(2x-3y)^2\\ &=& 3(x^2-y^2)-4(4x^2-12xy+9y^2)\\ &=& 3x^2-3y^2-16x^2+48xy-36y^2\\ &=& -13x^2+48xy-39y^2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑤& (2x+y-1)^2\\ &=& (2x+y)^2-2(2x+y)+1\\ &=& 4x^2+4xy+y^2-4x-2y+1\\ &=& 4x^2+4xy-4x+y^2-2y+1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑥& (3x-y+2)(3x-y-2)\\ &=& (3x-y)^2-4\\ &=& 9x^2-6xy+y^2-4 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑦& (4a+5b+1)(4a-5b-1)\\ &=& \{4a+(5b+1)\} \{4a-(5b+1)\}\\ &=& 16a^2-(5b+1)^2\\ &=& 16a^2-(25b^2+10b+1)\\ &=& 16a^2-25b^2-10b-1 \end{eqnarray*}

問題の式に $x$ や $y$ の値を代入すれば答えは出ますが、めんどうくさいことになります。いったん展開して整理してから代入するとラクになります。 \begin{eqnarray*} &①& (x-5y)(x+4y)+20y^2\\ &=& x^2-xy-20y^2+20y^2\\ &=& x^2-xy \quad \class{mathbg-r}{（ここまでやってから代入する）} \\ &=& (-8)^2-(-8)\times \cfrac{1}{8}\\ &=& 64+1\\ &=& 65 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& -(x-y)^2+(2x+y)(x+y)\\ &=& -(x^2-2xy+y^2)+2x^2+3xy+y^2\\ &=& -x^2+2xy-y^2+2x^2+3xy+y^2\\ &=& x^2+5xy \quad \class{mathbg-r}{（ここまでやってから代入する）} \\ &=& (-8)^2+5 \times(-8) \times \cfrac{1}{8}\\ &=& 64-5\\ &=& 59 \end{eqnarray*}

くくるのは因数分解です。そのさい、かっこの外がなるべく大きくなるようにします。なので、たとえば②の問題は、 \begin{eqnarray*} &②& 60x^2-90x\\ &=& 10x(6x-9) \end{eqnarray*} こういうのは×です。かっこの中がまだ $3$ でくくれるからです。

③番の問題は、 \begin{eqnarray*} &③& -6a^2b+18ab^2\\ &=& 6ab(-a+3b) \end{eqnarray*} これでも〇になるとおもいますが、こういうのは $$-6ab(a-3b)$$ とかくのが数学のおやくそくです。$(-$ というふうにはかきません。別にダメというわけじゃないんですけど、まあ、ふつうそうすることになってます。

さあ、数学はこれから、$2$ 乗の数に気をつけるようにしましょう。$2$ 乗の数 というのは、 $$\large{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169...}$$ こういう数のことです。問題の中にこういう数があるときは、公式の②番③番④番のことを考えましょう。

\begin{eqnarray*} &①& 4x^2+48x+80\\ &=& 4(x^2+12x+20)\\ &=& 4(x+2)(x+10) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& ax^2+3axy-10ay^2\\ &=& a(x^2+3xy-10y^2)\\ &=& a(x+5y)(x-2y) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &③& x^2y-9y^3\\ &=& y(x^2-9y^2)\\ &=& y(x+3y)(x-3y) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &④& a-1 \ を \ A \ とおくと、\\ &&x(a-1)-y(a-1)\\ &=& xA-yA\\ &=& A(x-y)\\ &=& (a-1)(x-y) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑤& x+3 \ を \ A \ とおくと、\\ &&(x+3)^2+4(x+3)\\ &=& A^2+4A\\ &=& A(A+4)\\ &=& (x+3)(x+3+4)\\ &=& (x+3)(x+7) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑥& x-1 \ を \ A \ とおくと、\\ &&(x-1)^2-y^2\\ &=& A^2-y^2\\ &=& (A+y)(A-y)\\ &=& (x-1+y)(x-1-y) \quad \class{mathbg-r}{（←これを答えても正解にはなる）} \\ &=& (x+y-1)(x-y-1) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑦& x-y \ を \ A \ とおくと、\\ &&(x-y)^2-8(x-y)+16\\ &=& A^2-8A+16\\ &=& (A-4)^2\\ &=& (x-y-4)^2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑧& 2x-3 \ を \ A, \ x+2 \ を \ Bとおくと、\\ &&(2x-3)^2-(x+2)^2\\ &=& A^2-B^2\\ &=& (A+B)(A-B)\\ &=& \{(2x-3)+(x+2)\}\{(2x-3)-(x+2)\}\\ &=& (2x-3+x+2)(2x-3-x-2)\\ &=& (3x-1)(x-5) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑨&mx+my+nx+ny\\ &=& m(x+y)+n(x+y)\\ &&x+y \ を \ A \ とおくと、\\ &=& mA+nA\\ &=& A(m+n)\\ &=& (x+y)(m+n) \end{eqnarray*}

問題の式に $x$ や $y$ の値を代入すれば答えは出ますが、めんどうくさいことになります。因数分解をしてから代入するとラクになる問題というのがあります。夢のようにラクになることさえあります。 \begin{eqnarray*} && x^2+2xy+y^2\\ &=& (x+y)^2\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=& (9.6+1.4)^2\\ &=& 11^2\\ &=& 121 \end{eqnarray*}

与えられた式を連立方程式にして、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x+y=-2\\ x-y=-4 \end{array} \right. \end{eqnarray*} これを解けば $x, \ y$ が求められて、それを代入すれば答えが求められるのですが、この問題の場合はちょっと損なやりかたです。
因数分解をすればもっとラクにやれます。 \begin{eqnarray*} && x^2-y^2\\ &=& (x+y)(x-y)\quad \class{mathbg-r}{（こうすれば代入できる）} \\ &=& -2\times(-4)\\ &=& 8 \end{eqnarray*}

＜おぼえておきたい数学のおやくそく＞
偶数…$2n$
奇数…$2n+1 \quad (2n-1)$
$3$の倍数…$3n$
$5$の倍数…$5n$
連続する $2$つの数…$n, \ n+1$
連続する $3$つの数…$n-1, \ n, \ n+1 \quad (n, \ n+1, \ n+2)$
連続する $2$つの偶数…$2n, \ 2n+2$
連続する $2$つの奇数…$2n-1, \ 2n+1$

＜おぼえておきたい数学のおやくそく＞
偶数…$2n$
奇数…$2n+1 \quad (2n-1)$
$3$の倍数…$3n$
$5$の倍数…$5n$
連続する $2$つの数…$n, \ n+1$
連続する $3$つの数…$n-1, \ n, \ n+1 \quad (n, \ n+1, \ n+2)$
連続する $2$つの偶数…$2n, \ 2n+2$
連続する $2$つの奇数…$2n-1, \ 2n+1$

$S=al$ を証明しなさい、というのだから、「①$S$ について」と、「②$al$ について」、それぞれを式で表すことを考えていきます。
＜①$S$ について＞
$S$ というのは道の面積なのですから、いちばん大きい円からいちばん小さい円を引いたものになります。また、円の面積は $\pi \times(半径)^2$ です。
なのでいちばん小さい円の面積は $\pi r^2$ です。
いちばん大きい円の半径は、右の図のように考えると、青い部分と赤い部分の和です。青の長さは$r,$ 赤は $a$ ですから、半径の長さは $(r+a)$ ということになります。
なので、大きい円の面積は \begin{eqnarray*} && \pi (r+a)^2\\ &=& \pi (r^2+2ar+a^2) \\ &=& \pi r^2+2\pi ar+\pi a^2 \end{eqnarray*} なので、 \begin{eqnarray*} S&=& \pi r^2+2\pi ar+\pi a^2-\pi r^2\\ &=& 2\pi ar+\pi a^2 \end{eqnarray*} ＜②$al$ について＞
$l$ というのは、点線の円の周囲の長さのことです。点線の円の半径の長さは、右の図のように考えると、青い部分と赤い部分の和です。青の長さは$r,$ 赤は $\cfrac{1}{2}a$ ですから、点線の円の半径の長さは $\left(r+\cfrac{1}{2}a\right)$ ということになります。
円周は $2\pi \times 半径$ ですから、 \begin{eqnarray*} l&=& 2\pi \left(r+\cfrac{1}{2}a\right)\\ &=& 2\pi r+\pi a \end{eqnarray*} なので、 \begin{eqnarray*} al&=& a(2\pi r+\pi a)\\ &=& 2\pi ar+\pi a^2 \end{eqnarray*} これで①も②もどちらも $2\pi ar+\pi a^2$ になりました。なので、 $$S=al$$