才塾 定期テスト対策

数学 中3 1章 展開・因数分解 第2回)

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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。

問題をクリックすると答えがでます。

展開
(1) 次の式を計算しなさい。 \begin{eqnarray*} &①& \quad 4x(5x-7y)&②& \quad \cfrac{5}{6}x(24x-36y)\\ \\ &③& \quad (-3a+2b)\times (-9a)&④& \quad -3a(6a+5b-8c)\\ \\ &⑤& \quad (45xy+60x)\div 15x&⑥& \quad (14ax-21x)\div(-7x)\\ \\ &⑦& \quad (30x^2y-55xy^2)\div(5xy)\quad&⑧& \quad (-24x^2+18x)\div \cfrac{6}{5}x \end{eqnarray*}

分配法則

$$ \large{a(b+c)=ab+ac \qquad (a+b)c=ac+bc}$$

答え
$①20x^2-28xy$ $②20x^2-30xy$ $③27a^2-18ab$ $④-18a^2-15ab+24ac$ $⑤3y+4$ $⑥-2a+3$ $⑦6x-11y$ $⑧-20x+15$

POINT

⑧分数の割り算は逆数をかけます。いわゆる「ひっくり返して掛ける」というやつです。そのさい、注意点があります。$x$ は分母のほうにいきます。
$\qquad \cfrac{6}{5}x=\cfrac{6x}{5}$ なので、逆数にすると$\cfrac{5}{6x}$
なので、 \begin{eqnarray*} && (-24x^2+18x)\div \cfrac{6}{5}x\\ &=& (-24x^2+18x)\times \cfrac{5}{6x}\\ &=& -24x^2\times \cfrac{5}{6x} +18x\times \cfrac{5}{6x}\\ &=& -20x+15 \end{eqnarray*} まちがえやすい注意点なので、もういちど整理しておきますね。
$\qquad \cfrac{6}{5}x$ を逆数にすると $\cfrac{5}{6}x$ ←まちがい
$\qquad \cfrac{6}{5}x$ を逆数にすると $\cfrac{5}{6x}$ ←正しい

(2) 次の式を展開しなさい。
\begin{eqnarray*} &①& \quad (a+b)(c+d)&②& \quad (5x+3)(x-6)\\ \\ &③& \quad (4x+3y)(3x-7y)&④& \quad (2x+y)(x-3y+2)\\ \\ &⑤& \quad (x+6)(x+1)&⑥& \quad (a+8)(a-2)\\ \\ &⑦& \quad (y-1)(y-7)&⑧& \quad (x+5)^2\\ \\ &⑨& \quad (3a-2b)^2&⑩& \quad \left( \cfrac{5}{6}x+2 \right)^2\\ \\ &⑪& \quad (5x+12)(5x-12)\qquad&⑫& \quad \left( \cfrac{2}{3}x+\cfrac{1}{8}y\right) \left( \cfrac{2}{3}x-\cfrac{1}{8}y \right)\\ \\ &⑬& \quad (4+9y)(9y-4)&⑭& \quad (-a+4)(a+4)\\ \end{eqnarray*}

乗法公式

1. $ \large{(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$
2. $ \large{(x+a)^2=x^2+2ax+a^2}$
3. $ \large{(x-a)^2=x^2-2ax+a^2}$
4. $ \large{(x+a)(x-a)=x^2-a^2}$

答え
$①ac+ad+bc+bd$ $②5x^2-27x-18$ $③12x^2-19xy-21y^2$ $④2x^2-5xy+4x-3y^2+2y$ $⑤x^2+7x+6$ $⑥a^2-6a-16$ $⑦y^2-8y+7$ $⑧x^2+10x+25$ $⑨9a^2-12ab+4b^2$ $⑩\cfrac{25}{36}x^2+\cfrac{10}{3}x+4$ $⑪25x^2-144$ $⑫\cfrac{4}{9}x^2-\cfrac{1}{64}y^2$ $⑬81y^2-16$ $⑭-a^2+16$

POINT

分配法則でまんべんなく掛ければすべて正答できるのですが、⑤番以降は乗法公式でやりましょう。中3でおぼえるべき乗法公式は $4$つです。必ずおぼえて使えるようになり、慣れておきましょう。でないといろいろこまったことになります。
⑬と⑭は、かっこの中の順番を変えれば公式$4$が使えます。 \begin{eqnarray*} &⑬& (4+9y)(9y-4)\\ &=& (9y+4)(9y-4)\\ &=& 81y^2-16 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑭& (-a+4)(a+4)\\ &=& (4-a)(4+a)\\ &=& 16-a^2 \end{eqnarray*}

(3) 次の式を展開しなさい。
\begin{eqnarray*} &①& \quad -(x+8)(x-8)&②& \quad 2(5x+3)^2\\ \\ &③& \quad -3(3x-1)(2x+5)-2(x-3)(x+3)\\ \\ &④& \quad (x+8y)(x-8y)-4(x-2y)^2\\ \\ &⑤& \quad (x+2y-3)^2&⑥& \quad (x-2y+1)(x-2y-1)\\ \\ &⑦& \quad (a+b+4)(a-b-4) \end{eqnarray*}

答え
$①-x^2+64$ $②50x^2+60x+18$ $③-20x^2-39x+33$ $④-3x^2+16xy-80y^2$ $⑤x^2+4xy-6x+4y^2-12y+9$ $⑥x^2-4xy+4y^2-1$ $⑦a^2-b^2-8b-16$

POINT

\begin{eqnarray*} &①& -(x+8)(x-8)\\ &=& -(x^2-64)\\ &=& -x^2+64 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& 2(5x+3)^2\\ &=& 2(25x^2+30x+9)\\ &=& 50x^2+60x+18 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &③& -3(3x-1)(2x+5)-2(x-3)(x+3)\\ &=& -3(6x^2+13x-5)-2(x^2-9)\\ &=& -18x^2-39x+15-2x^2+18\\ &=& -20x^2-39x+33 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &④& (x+8y)(x-8y)-4(x-2y)^2\\ &=& x^2-64y^2-4(x^2-4xy+4y^2)\\ &=& x^2-64y^2-4x^2+16xy-16y^2\\ &=& -3x^2+16xy-80y^2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑤& (x+2y-3)^2\\ &=& (x+2y)^2-6(x+2y)+9\\ &=& x^2+4xy+4y^2-6x-12y+9\\ &=& x^2+4xy-6x+4y^2-12y+9 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑥& (x-2y+1)(x-2y-1)\\ &=& (x-2y)^2-1\\ &=& x^2-4xy+4y^2-1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑦& (a+b+4)(a-b-4)\\ &=& \{a+(b+4)\} \{a-(b+4)\}\\ &=& a^2-(b+4)^2\\ &=& a^2-(b^2+8b+16)\\ &=& a^2-b^2-8b-16 \end{eqnarray*}

(4) 乗法公式を使って次の計算をしなさい。計算の過程をかいておくこと。
\begin{eqnarray*} &①& \quad 105^2\qquad&②& \quad 99^2\\ \\ &③& \quad 102\times98 \end{eqnarray*}

答え
\begin{eqnarray*} &①& 105^2\\ &=& (100+5)^2\\ &=& 10000+1000+25\\ &=& 11025 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& 99^2\\ &=& (100-1)^2\\ &=& 10000-200+1\\ &=& 9801 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &③& 102\times98\\ &=& (100+2)(100-2)\\ &=& 10000-4\\ &=& 9996 \end{eqnarray*}

(5) $x=-5, \ y=\cfrac{1}{5}$ のとき、次の式の値を求めなさい。 \begin{eqnarray*} &①& \quad (2x-3y)(2x+y)+3y^2\\ \\ &②& \quad -(x+y)(y-x)+(2x+y)^2 \end{eqnarray*}

答え
$①104$ $②121$

POINT

問題の式に $x$ や $y$ の値を代入すれば答えは出ますが、めんどうくさいことになります。いったん展開して整理してから代入するとラクになります。 \begin{eqnarray*} &①& (2x-3y)(2x+y)+3y^2\\ &=& 4x^2-4xy-3y^2+3y^2\\ &=& 4x^2-4xy \quad \class{mathbg-r}{(ここまでやってから代入する)} \\ &=& 4\times(-5)^2-4\times(-5)\times \cfrac{1}{5}\\ &=& 100+4\\ &=& 104 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& -(x+y)(y-x)+(2x+y)^2\\ &=& -(y+x)(y-x)+(2x+y)^2\\ &=& -(y^2-x^2)+4x^2+4xy+y^2\\ &=& -y^2+x^2+4x^2+4xy+y^2\\ &=& 5x^2+4xy \quad \class{mathbg-r}{(ここまでやってから代入する)} \\ &=& 5 \times(-5)^2+4 \times(-5) \times \cfrac{1}{5}\\ &=& 125-4\\ &=& 121 \end{eqnarray*}

(6) 次の $ \boxed{\Large\phantom{hoge}}$ の中にあてはまる数や式をいれなさい。 \begin{eqnarray*} &①& \quad (x-7)(x+\boxed{\Large\phantom{hoge}}) \qquad &②& \quad (2x-\boxed{\Large\phantom{hoge}})^2\\ &=& \quad x^2+\boxed{\Large\phantom{hoge}}-56&=& \quad 4x^2-\boxed{\Large\phantom{hoge}}+25y^2 \\ \end{eqnarray*}

答え
\begin{eqnarray*} &①& \quad (x-7)(x+\boxed{\large{ \ 8 \ }}) \qquad &②& \quad (2x-\boxed{\large{ \ 5y \ }})^2\\ &=& \quad x^2+\boxed{\large{ \ x \ }}-56&=& \quad 4x^2-\boxed{\large{ \ 20xy \ }}+25y^2 \\ \end{eqnarray*}

素数
(7) 30以下の素数をすべていいなさい。

答え
$$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$$

素数

$1$ より大きい自然数で、正の約数が $1$ とその数しかない数を素数(そすう)という。

※$1$ は素数じゃないです。素数は $2$ からはじまります。しっかりおぼえて。

素因数分解
(8) 次の①,②の数を素因数分解して、素数の積の形で表しなさい。
$$①20\qquad\qquad\qquad②144$$

答え
$①2^2\times5$ $②2^4\times3^2$

POINT

素因数分解

素因数分解

自然数をいくつかの自然数の積に形に表すとき、その $1$ つ $1$ つの自然数を因数という。
その因数が素数のとき、それを素因数という。
自然数を素因数だけの積の形に表すことを素因数分解するという。
素因数分解して表された積の形は、素因数を並べる順序を考えなければ、$1$ 通りだけである。

因数分解
(9) 次の式を因数分解しなさい。 \begin{eqnarray*} &①& \quad ma+mb&②& \quad 36x^2-48x\\ \\ &③& \quad -2a^2b+6ab^2\qquad&④& \quad 35x^2-20xy+40x \end{eqnarray*}

共通因数でくくる

$$ \large{ab+ac=a(b+c)}$$

答え
$①m(a+b)$ $②12x(3x-4)$ $③-2ab(a-3b)$
$④5x(7x-4y+8)$

POINT

くくるのは因数分解です。そのさい、かっこの外がなるべく大きくなるようにします。なので、たとえば②の問題は、 \begin{eqnarray*} &②& 36x^2-48x\\ &=& 6x(6x-8) \end{eqnarray*} こういうのは×です。かっこの中がまだ $2$ でくくれるからです。

③番の問題は、 \begin{eqnarray*} &③& -2a^2b+6ab^2\\ &=& 2ab(-a+3b) \end{eqnarray*} これでも〇になるとおもいますが、こういうのは $$-2ab(a-3b)$$ とかくのが数学のおやくそくです。$(-$ というふうにはかきません。別にダメというわけじゃないんですけど、まあ、ふつうそうすることになってます。

(10) 次の式を因数分解しなさい。 \begin{eqnarray*} &①& \quad x^2+6x+5 &②& \quad a^2-3a-10\\ \\ &③& \quad x^2+3x-70 &④& \quad m^2-8m+7\\ \\ &⑤& \quad x^2+10x+25 &⑥& \quad m^2+14m+49\\ \\ &⑦& \quad 4x^2+4xy+y^2 &⑧& \quad 4x^2+\cfrac{4}{3}x+\cfrac{1}{9}\\ \\ &⑨& \quad x^2-16x+64 &⑩& \quad a^2-20a+100\\ \\ &⑪& \quad 9x^2-12xy+4y^2 \qquad &⑫& \quad \cfrac{16}{25}m^2-\cfrac{24}{5}m+9\\ \\ &⑬& \quad x^2-16 &⑭& \quad a^2-169\\ \\ &⑮& \quad 4a^2-49b^2 &⑯& \quad \cfrac{4}{9}x^2-\cfrac{1}{64}y^2\\ \end{eqnarray*}

因数分解の公式

1. $ \large{x^2+(a+b)x+ab}=(x+a)(x+b)$
2. $ \large{x^2+2ax+a^2=(x+a)^2}$
3. $ \large{x^2-2ax+a^2=(x-a)^2}$
4. $ \large{x^2-a^2=(x+a)(x-a)}$

答え
$①(x+1)(x+5)$ $②(a+2)(a-5)$ $③(x+10)(x-7)$ $④(x-1)(x-7)$ $⑤(x+5)^2$ $⑥(m+7)^2$ $⑦(2x+y)^2$ $⑧(2x+\cfrac{1}{3})^2$ $⑨(x-8)^2$ $⑩(a-10)^2$ $⑪(3x-2y)^2$ $⑫(\cfrac{4}{5}m-3)^2$ $⑬(x+4)(x-4)$ $⑭(a+13)(a-13)$ $⑮(2a+7b)(2a-7b)$ $⑯\left(\cfrac{2}{3}x+\cfrac{1}{8}y\right)\left(\cfrac{2}{3}x-\cfrac{1}{8}y\right)$

POINT

さあ、数学はこれから、$2$ 乗の数に気をつけるようにしましょう。$2$ 乗の数 というのは、 $$\large{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169...}$$ こういう数のことです。問題の中にこういう数があるときは、公式の②番③番④番のことを考えましょう。

(11) 次の $ \boxed{\Large\phantom{hoge}}$ の中にあてはまる数や式をいれなさい。 \begin{eqnarray*} &①& \quad x^2+\boxed{\Large\phantom{hoge}}-56\qquad &②& \quad x^2-\boxed{\Large\phantom{hoge}}+121y^2\\ &=& \quad (x+8)(x-\boxed{\Large\phantom{hoge}})&=& \quad (x-\boxed{\Large\phantom{hoge}})^2 \\ \end{eqnarray*}

答え
\begin{eqnarray*} &①& \quad x^2+\boxed{\large{ \ x \ }}-56\qquad &②& \quad x^2-\boxed{\large{ \ 22xy \ }}+121y^2\\ &=& \quad (x+8)(x-\boxed{\large{ \ 7 \ }})&=& \quad (x-\boxed{\large{ \ 11y \ }})^2 \\ \end{eqnarray*}

(12) 因数分解を使って次の計算をしなさい。計算の過程をかいておくこと。
$$①\quad 7.3^2-2.7^2 \qquad\qquad\qquad ②\quad4.63\times4.53-4.53^2$$

答え
\begin{eqnarray*} &①& 7.3^2-2.7^2\\ &=& (7.3+2.7)(7.3-2.7)\\ &=& 10\times4.6\\ &=& 46 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& 4.63\times4.53-4.53^2\\ &=& 4.53(4.63-4.53)\\ &=& 4.53\times0.1\\ &=& 0.453 \end{eqnarray*}

(13) 次の式を因数分解しなさい。 \begin{eqnarray*} &①& \quad 2x^2+4xy+2y^2 &②& \quad ax^2-ay^2\\ \\ &③& \quad 3x^2+18xy+24y^2 &④& \quad a(b-c)-5(b-c)\\ \\ &⑤& \quad (x-y)^2-3(x-y) &⑥& \quad (x-2y)^2-8(x-2y)+12\\ \\ &⑦& \quad (x+y)^2+2(x+y)+1 \quad &⑧& \quad (x-5)^2-16\\ \\ &⑨& \quad ac+ad+bc+bd \end{eqnarray*}

答え
$①2(x+y)^2$ $②a(x+y)(x-y)$ $③3(x+2y)(x+4y)$ $④(a-5)(b-c)$ $⑤(x-y)(x-y-3)$ $⑥(x-2y-2)(x-2y-6)$ $⑦(x+y+1)^2$ $⑧(x-1)(x-9)$ $⑨(a+b)(c+d)$

POINT

\begin{eqnarray*} &①& 2x^2+4xy+2y^2\\ &=& 2(x^2+2xy+y^2)\\ &=& 2(x+y)^2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& ax^2-ay^2\\ &=& a(x^2-y^2)\\ &=& a(x+y)(x-y) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &③& 3x^2+18xy+24y^2\\ &=& 3(x^2+6xy+8y^2)\\ &=& 3(x+2y)(x+4y) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &④& b-c \ を \ A \ とおくと、\\ &&a(b-c)-5(b-c)\\ &=& aA-5A\\ &=& A(a-5)\\ &=& (b-c)(a-5) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑤& x-y \ を \ A \ とおくと、\\ &&(x-y)^2-3(x-y)\\ &=& A^2-3A\\ &=& A(A-3)\\ &=& (x-y)(x-y-3) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑥& x-2y \ を \ A \ とおくと、\\ &&(x-2y)^2-8(x-2y)+12\\ &=& A^2-8A+12\\ &=& (A-2)(A-6)\\ &=& (x-2y-2)(x-2y-6) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑦& x+y \ を \ A \ とおくと、\\ &&(x+y)^2+2(x+y)+1\\ &=& A^2+2A+1\\ &=& (A+1)^2\\ &=& (x+y+1)^2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑧& x-5 \ を \ A \ とおくと、\\ &&(x-5)^2-16\\ &=& A^2-16\\ &=& (A+4)(A-4)\\ &=& (x-5+4)(x-5-4)\\ &=& (x-1)(x-9) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑨&ac+ad+bc+bd\\ &=& a(c+d)+b(c+d)\\ &&c+d \ を \ A \ とおくと、\\ &=& aA+bA\\ &=& A(a+b)\\ &=& (c+d)(a+b) \end{eqnarray*}

(14) $x=13.8, \ y=4.8$ のとき、次の式の値を求めなさい。 $$x^2-2xy+y^2$$

答え
$81$

POINT

問題の式に $x$ や $y$ の値を代入すれば答えは出ますが、めんどうくさいことになります。因数分解をしてから代入するとラクになる問題というのがあります。夢のようにラクになることさえあります。 \begin{eqnarray*} && x^2-2xy+y^2\\ &=& (x-y)^2\quad \class{mathbg-r}{(ここで代入する)} \\ &=& (13.8-4.8)^2\\ &=& 9^2\\ &=& 81 \end{eqnarray*}

(15) $x+y=-3, \ x-2y=6$ のとき、次の式の値を求めなさい。 $$x^2-xy-2y^2$$

答え
$-18$

POINT

与えられた式を連立方程式にして、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x+y=-3\\ x-2y=6 \end{array} \right. \end{eqnarray*} これを解けば $x, \ y$ が求められて、それを代入すれば答えが求められるのですが、この問題の場合はちょっと損なやりかたです。
因数分解をすればもっとラクにやれます。 \begin{eqnarray*} && x^2-xy-2y^2\\ &=& (x+y)(x-2y)\quad \class{mathbg-r}{(こうすれば代入できる)} \\ &=& -3\times6\\ &=& -18 \end{eqnarray*}

展開・因数分解の利用
(16) 連続する $2$つの整数がある。大きいほうの数の平方から小さいほうの数の平方をひくと、もとの $2$つの数の和になることを証明しなさい。

答え
連続する $2$つの整数を $n, \ n+1$ とすると、 \begin{eqnarray*} && (n+1)^2-n^2\\ &=& n^2+2n+1-n^2\\ &=& 2n+1\\ &=& n+n+1 \end{eqnarray*} よって、連続する $2$つの整数で、大きいほうの数の平方から小さいほうの数の平方をひくと、もとの $2$つの数の和になる。

POINT

<おぼえておきたい数学のおやくそく>
偶数…$2n$
奇数…$2n+1 \quad (2n-1)$
$3$の倍数…$3n$
$5$の倍数…$5n$
連続する $2$つの数…$n, \ n+1$
連続する $3$つの数…$n-1, \ n, \ n+1 \quad (n, \ n+1, \ n+2)$
連続する $2$つの偶数…$2n, \ 2n+2$
連続する $2$つの奇数…$2n-1, \ 2n+1$

(17) 連続する $3$つの整数がある。いちばん小さい数といちばん大きい数の積に $1$ を加えると、真ん中の数の $2$ 乗になることを証明しなさい。

答え
連続する $3$つの整数を $n-1, \ n, \ n+1$ とすると、 \begin{eqnarray*} && (n-1)(n+1)+1\\ &=& n^2-1+1\\ &=& n^2 \end{eqnarray*} よって、連続する $3$つの整数で、いちばん小さい数といちばん大きい数の積に $1$ を加えると、真ん中の数の $2$ 乗になる。

POINT

<おぼえておきたい数学のおやくそく>
偶数…$2n$
奇数…$2n+1 \quad (2n-1)$
$3$の倍数…$3n$
$5$の倍数…$5n$
連続する $2$つの数…$n, \ n+1$
連続する $3$つの数…$n-1, \ n, \ n+1 \quad (n, \ n+1, \ n+2)$
連続する $2$つの偶数…$2n, \ 2n+2$
連続する $2$つの奇数…$2n-1, \ 2n+1$

長方形
(18) 縦の長さが $p$ m,横の長さが $q$ mの長方形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。道の中央を通る周の長さを $l$ mとし、道の面積を $S$ ㎡とすると、$S=al$ となることを証明しなさい。

答え
\begin{eqnarray*} S&=& (p+2a)(q+2a)-pq\\ &=& pq+2ap+2aq+4a^2-pq\\ &=& 2ap+2aq+4a^2\quad …① \end{eqnarray*} 道の中央を通る周は長方形となり、その縦の長さは $p+a,$ 横の長さは $q+a$ だから、 \begin{eqnarray*} l&=& 2(p+a)+2(q+a)\\ &=& 2p+2a+2q+2a\\ &=& 2p+2q+4a \end{eqnarray*} よって、 \begin{eqnarray*} al&=& a(2p+2q+4a)\\ &=& 2ap+2aq+4a^2\quad…② \end{eqnarray*} ①,②から、$S=al$

POINT

$S=al$ を証明しなさい、というのだから、「①$S$ について」と、「②$al$ について」、それぞれを式で表すことを考えていきます。
<①$S$ について>
$S$ というのは道の面積なのですから、いちばん大きい長方形からいちばん小さい長方形を引いたものになります。
いちばん小さい長方形の面積は $pq$ です。
長方形 いちばん大きい長方形の縦は、右の図のように考えると、赤い部分と青い部分の和です。赤の長さは$a\times2=2a,$ 青は $p$ ですから、大きい長方形の縦の長さは $(p+2a)$ ということになります。
また、横はおなじ図のように考えると、紫の部分と緑の部分の和です。紫の長さは$a\times2=2a,$ 緑は $q$ ですから、大きい長方形の横の長さは $(q+2a)$ ということになります なので、大きい長方形の面積は $$(p+2a)(q+2a)=pq+2ap+2aq+4a^2$$ なので、 $$S=pq+2ap+2aq+4a^2-pq=2ap+2aq+4a^2$$ <②$al$ について>
正方形 $l$ というのは、点線の長方形の周囲の長さのことです。点線の長方形の縦の長さは、右の長方形のように考えると、赤い部分と青い部分の和です。赤の長さは$\cfrac{1}{2}a\times2=a,$ 青は $p$ ですから、点線の長方形の縦の長さは $(p+a)$ ということになります。
また、点線の長方形の横の長さは、おなじ図のように考えると、紫の部分と緑の部分の和です。紫の長さは$\cfrac{1}{2}a\times2=a,$ 緑は $q$ ですから、点線の長方形の横の長さは $(q+a)$ ということになります。
$l$ の長さはその $p+a$ と $q+a$ の和の $2$倍なので、 $$l=(p+a+q+a)\times2=(p+q+2a)\times2=2p+2q+4a$$ なので、 $$al=a(2p+2q+4a)=2ap+2aq+4a^2$$ これで①も②もどちらも $2ap+2aq+4a^2$ になりました。なので、 $$S=al$$


 答え(中3 1章 展開・因数分解 第2回) 

(1)$①20x^2-28xy$ $②20x^2-30xy$ $③27a^2-18ab$ $④-18a^2-15ab+24ac$ $⑤3y+4$ $⑥-2a+3$ $⑦6x-11y$ $⑧-20x+15$
(2)$①ac+ad+bc+bd$ $②5x^2-27x-18$ $③12x^2-19xy-21y^2$ $④2x^2-5xy+4x-3y^2+2y$ $⑤x^2+7x+6$ $⑥a^2-6a-16$ $⑦y^2-8y+7$ $⑧x^2+10x+25$ $⑨9a^2-12ab+4b^2$ $⑩\cfrac{25}{36}x^2+\cfrac{10}{3}x+4$ $⑪25x^2-144$ $⑫\cfrac{4}{9}x^2-\cfrac{1}{64}y^2$ $⑬81y^2-16$ $⑭-a^2+16$
(3)$①-x^2+64$ $②50x^2+60x+18$ $③-20x^2-39x+33$ $④-3x^2+16xy-80y^2$ $⑤x^2+4xy-6x+4y^2-12y+9$ $⑥x^2-4xy+4y^2-1$ $⑦a^2-b^2-8b-16$ \begin{eqnarray*} (4)&①& 105^2&②& 99^2&③& 102\times98\\ &=& (100+5)^2&=& (100-1)^2&=& (100+2)(100-2)\\ &=& 10000+1000+25\quad&=& 10000-200+1\quad&=& 10000-4\\ &=& 11025&=& 9801&=& 9996 \end{eqnarray*} (5)$①104\quad②121$
\begin{eqnarray*} (6)&①& \quad (x-7)(x+\boxed{\large{ \ 8 \ }}) \qquad &②& \quad (2x-\boxed{\large{ \ 5y \ }})^2\\ &=& \quad x^2+\boxed{\large{ \ x \ }}-56&=& \quad 4x^2-\boxed{\large{ \ 20xy \ }}+25y^2 \\ \end{eqnarray*} (7)$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$ (8)$①2^2\times5$ $②2^4\times3^2$
(9)$①m(a+b)$ $②12x(3x-4)$ $③-2ab(a-3b)$
$④5x(7x-4y+8)$
(10)$①(x+1)(x+5)$ $②(x+2)(x-5)$ $③(x+10)(x-7)$ $④(x-1)(x-7)$ $⑤(x+5)^2$ $⑥(m+7)^2$ $⑦(2x+y)^2$ $⑧(2x+\cfrac{1}{3})^2$ $⑨(x-8)^2$ $⑩(a-10)^2$ $⑪(3x-2y)^2$ $⑫(\cfrac{4}{5}m-3)^2$ $⑬(x+4)(x-4)$ $⑭(a+13)(a-13)$ $⑮(2a+7b)(2a-7b)$ $⑯\left(\cfrac{2}{3}x+\cfrac{1}{8}y\right)\left(\cfrac{2}{3}x-\cfrac{1}{8}y\right)$
\begin{eqnarray*} (11)&①& \quad x^2+\boxed{\large{ \ x \ }}-56\qquad &②& \quad x^2-\boxed{\large{ \ 22xy \ }}+121y^2\\ &=& \quad (x+8)(x-\boxed{\large{ \ 7 \ }})&=& \quad (x-\boxed{\large{ \ 11y \ }})^2 \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} (12)&①& 7.3^2-2.7^2\qquad&②& 4.63\times4.53-4.53^2\\ &=& (7.3+2.7)(7.3-2.7)&=& 4.53(4.63-4.53)\\ &=& 10\times4.6&=& 4.53\times0.1\\ &=& 46&=& 0.453 \end{eqnarray*} (13)$①2(x+y)^2$ $②a(x+y)(x-y)$ $③3(x+2y)(x+4y)$ $④(a-5)(b-c)$ $⑤(x-y)(x-y-3)$ $⑥(x-2y-2)(x-2y-6)$ $⑦(x+y+1)^2$ $⑧(x-1)(x-9)$ $⑨(a+b)(c+d)$
(14)$81$ (15)$-18$
(16)連続する $2$つの整数を $n, \ n+1$ とすると、 \begin{eqnarray*} && (n+1)^2-n^2\\ &=& n^2+2n+1-n^2\\ &=& 2n+1\\ &=& n+n+1 \end{eqnarray*} よって、連続する $2$つの整数で、大きいほうの数の平方から小さいほうの数の平方をひくと、もとの $2$つの数の和になる。
(17)連続する $3$つの整数を $n-1, \ n, \ n+1$ とすると、 \begin{eqnarray*} && (n-1)(n+1)+1\\ &=& n^2-1+1 = n^2 \end{eqnarray*} よって、連続する $3$つの整数で、いちばん小さい数といちばん大きい数の積に $1$ を加えると、真ん中の数の $2$ 乗になる。
\begin{eqnarray*} (18)S&=& (p+2a)(q+2a)-pq\\ &=& pq+2ap+2aq+4a^2-pq\\ &=& 2ap+2aq+4a^2\quad …① \end{eqnarray*} 道の中央を通る周は長方形となり、その縦の長さは $p+a,$ 横の長さは $q+a$ だから、 \begin{eqnarray*} l&=& 2(p+a)+2(q+a) = 2p+2a+2q+2a\\ &=& 2p+2q+4a \end{eqnarray*} よって、 \begin{eqnarray*} al&=& a(2p+2q+4a)\\ &=& 2ap+2aq+4a^2\quad…② \end{eqnarray*} ①,②から、$S=al$

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