才塾 定期テスト対策

数学 中3 5章 相似 第1回(全22問)

1


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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。

問題をクリックすると答えがでます。

(1)  相似な図形の性質
① 相似な図形では、対応する $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehoge}}$ はすべて等しい。
② 相似な図形では、対応する $ \boxed{\LARGE\phantom{hoge}}$ はそれぞれ等しい。

答え
①線分の比 ②角

(2) 「三角形$ABC$と三角形$DEF$は相似である」というのを記号でかくと、
$\qquad \qquad \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehoge}}$

  三角形の相似条件
① $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehoge}}$ がすべて等しい。
② $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehogehogehoge}}$ が等しい。
③ $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehoge}}$ がそれぞれ等しい。

答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle DEF$
① $3$ 組の辺の比
② $2$ 組の辺の比が等しく、その間の角
③ $2$ 組の角

(3) 下の図のなかから、相似な三角形の組を見つけ、記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。 三角形

答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle HGI$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle MON$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle JKL$ ∽$\triangle QRP$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。

POINT

対応する辺や角に注意する。

(4) 次の①~③の図で、相似な三角形を見つけ、 記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。 三角形

答え
①$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle ADE$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
②$\triangle ABC$ ∽$\triangle EBD$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
③$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle EDC$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。

POINT

対応する辺や角に注意する。
① $\angle A$ は共通、平行線の同位角だから $\angle B \ = \ \angle ADE$
② $\angle B$ は共通、仮定から $\angle A \ = \ \angle DEB$
③ 対頂角だから $\angle ACB \ = \ \angle ECD, \ AC:BC=EC:DC=5:6$


三角形
(5) $\angle A=90^{ \circ }$ の直角三角形で、頂点 $A$ から $BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $D$ とする。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$を証明しなさい。

答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle BDA$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$

POINT

三角形 対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。


三角形 (6) 右の図で、$AB=8cm,$ $\ BC=6cm,$ $\ AD=3.5cm$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle CBD$を証明しなさい。



答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle CBD$ で、
仮定から、$AB:BC=8:6=4:3$ ……①
$CB:BD=6:4.5=4:3$ ……②
共通な角だから、$\angle ABC=\angle CBD$ ……③
①②③より、$2$ 組の辺の比とその間の角が等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle CBD$

POINT

三角形 対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
※$BD=8-3.5=4.5$


三角形 (7) 右の図で、$\angle BAC=\angle DBC$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$を証明しなさい。




答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle BDC$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle DBC$ ……①
共通な角だから、$\angle ACB=\angle BCD$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$

POINT

三角形 対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。


三角形
(8) $\angle A=90^{ \circ }$ の直角三角形で、頂点 $A$ から $BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $D$ とする。
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$を証明しなさい。

答え
〈証明〉
$\triangle ABD$ と $\triangle CAD$ で、
仮定から、$\angle ADB=\angle CDA$ ……①
$\triangle ABD$ で、
$\angle ABD+\angle BAD+90^{ \circ }=180^{ \circ }$
したがって、$\angle ABD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……②
また、$\angle CAD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……③
②③より、$\angle ABD=\angle CAD$ ……④
①④より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$

POINT

三角形 対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。

直角三角形や正方形や長方形で、$\angle ABD=\angle CAD$ であることを証明していくこのパターンは、入試でよく見かけます。どちらも $90^{ \circ }-\angle BAD$ になっている、ということをいえばいいです。できるようにしておきたいパターンです。


(9)  下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①は $\angle BAC=\angle ADC=90^{ \circ },$ ②は $\angle BAC=\angle DBC$ とする。 三角形

答え
① $x=\cfrac{15}{2}$ ② $x=\cfrac{81}{14}$

POINT

三角形 どちらも 相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、図をかき加えてしまいましょう。すると、わかりやすくなりますよね。

①$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DAC$ \begin{eqnarray*} 8:6&=&10:x\\ 4:3&=&10:x\\ 4x&=&30\\ x&=&\cfrac{30}{4}=\cfrac{15}{2} \end{eqnarray*} ②$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$ \begin{eqnarray*} 14:9&=&9:x\\ 14x&=&81\\ x&=&\cfrac{81}{14} \end{eqnarray*}


(10)  下の①~⑤の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、①~⑤まで、すべて $\ DE /\!/ BC$ とする。 三角形

答え
① $x=\cfrac{15}{2}, \ y=\cfrac{16}{3}$
② $x=1.2, \ y=3$
③ $x=6, \ y=16$
④ $x=\cfrac{5}{4}, \ y=\cfrac{15}{2}$
⑤ $x=\cfrac{72}{5}, \ y=\cfrac{25}{3}$

三角形と比の定理

三角形 $\triangle ABC$ で、辺 $AB, \ AC$ 上の点をそれぞれ $D, \ E$ とする。
1 $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:AB=AE:AC=DE:BC$

2 $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:DB=AE:EC$

POINT

※すべて上の定理を利用しています。以下のやり方は一例です。このほかにもいろんな式のたて方があります。 三角形 \begin{eqnarray*} ① 5:x&=&4:6\\ 5:x&=&2:3\\ 2x&=&15\\ x&=&\cfrac{15}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y:8&=&4:6\\ y:8&=&2:3\\ 3y&=&16\\ y&=&\cfrac{16}{3} \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} ② 3:4.5&=&x:1.8\\ 2:3&=&x:1.8\\ 3x&=&3.6\\ x&=&1.2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 3:4.5&=&2:y\\ 2:3&=&2:y\\ y&=&3 \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} ③ 5:10&=&x:12\\ 10x&=&60\\ x&=&6 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 8:y&=&5:10\\ 8:y&=&1:2\\ y&=&16 \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} ④ 5:x&=&4:1\\ 4x&=&5\\ x&=&\cfrac{5}{4} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 6:y&=&4:4+1\\ 6:y&=&4:5\\ 4y&=&30\\ y&=&\cfrac{30}{4}=\cfrac{15}{2} \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} ⑤ 14:9&=&8+x:x\\ 14x&=&9(8+x)\\ 14x&=&72+9x\\ 14x-9x&=&72\\ 5x&=&72\\ x&=&\cfrac{72}{5} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 14:9&=&y+15:15\\ 9(y+15)&=&210\\ 9y+135&=&210\\ 9y&=&210-135\\ 9y&=&75\\ y&=&\cfrac{75}{9}=\cfrac{25}{3} \end{eqnarray*}


三角形 (11) 右の図で、平行な線分の組はどれか。



答え
$FE$ と $BC$

POINT

三角形 それぞれの比をもっとも簡単な整数比になおして、マルつきの数字で書きくわえてしまうのがよいです。
$AF:FB=12:9=4:3$
$BD:DC=8:10=4:5$
$AE:EC=8:6=4:3$

$AF:FB=AE:EC$ なので、$\ FE /\!/ BC$


(12)  下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$\angle BAD=\angle CAD$ とする。 三角形

答え
① $x=6$ ② $x=\cfrac{9}{2}$

三角形の角の二等分線と比の定理

三角形 $\triangle ABC$ で、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると、

 $\quad AB:AC=BD:CD$

POINT

上の定理を利用します。
三角形 ① \begin{eqnarray*} 6:9&=&4:x\\ 2:3&=&4:x\\ 2x&=&12\\ x&=&6 \end{eqnarray*} 三角形 ② \begin{eqnarray*} x:6&=&3:4\\ 4x&=&18\\ x&=&\cfrac{18}{4}=\cfrac{9}{2} \end{eqnarray*}


(13)  下の①,③の図で、$x$ の値を求めなさい。②の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、どの図も$\ l /\!/ m /\!/ n$ とする。 三角形

答え
① $x=8$ ② $x=12, \ y=\cfrac{11}{2}$ ③$x=12$

平行線と線分の比の定理

三角形 $3$ つ以上の平行線に、$1$ つの直線がどのように交わっても、その直線は平行線によって一定の比に分けられる。



POINT

三角形 ① \begin{eqnarray*} 4:x&=&3:6\\ 4:x&=&1:2\\ x&=&8 \end{eqnarray*} 三角形 ② \begin{eqnarray*} 6:12&=&4:x-4\\ 1:2&=&4:x-4\\ x-4&=&8\\ x&=&8+4\\ x&=&12 \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} 6:12&=&y:11\\ 1:2&=&y:11\\ 2y&=&11\\ y&=&\cfrac{11}{2} \end{eqnarray*} ③右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。 \begin{eqnarray*} 4:4+8&=&x-8:12\\ 4:12&=&x-8:12\\ 1:3&=&x-8:12\\ 3(x-8)&=&12\\ 3x-24&=&12\\ 3x&=&12+24\\ 3x&=&36\\ x&=&12 \end{eqnarray*}

(14)  下の①,②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①の図は $\ AD /\!/ EF /\!/ BC$ , ②の図は $\ AB /\!/ EF /\!/ CD$ とする。 三角形

答え
① $x=11$ ② $x=\cfrac{18}{5}$

POINT

三角形 ①右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。 \begin{eqnarray*} 8:8+4&=&x-5:9\\ 8:12&=&x-5:9\\ 2:3&=&x-5:9\\ 3(x-5)&=&18\\ 3x-15&=&18\\ 3x&=&18+15\\ 3x&=&33\\ x&=&11 \end{eqnarray*} 三角形 ②$\triangle EAB$ ∽$\ \triangle EDC$ (青いところ)で、その相似比は $6:9=2:3$ です。なので、$BE:EC=2:3$ です。
この比を、$\triangle BEF$ ∽$\ \triangle BCD$ (黄色いところ)に使って $x$ を求めていきます。 \begin{eqnarray*} 2:2+3&=&x:9\\ 2:5&=&x:9\\ 5x&=&18\\ x&=&\cfrac{18}{5} \end{eqnarray*}

四角形
(15) 右の図で、線分 $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DA$ の中点をそれぞれ $P,Q,R,S$ とする。四角形 $PQRS$ は平行四辺形となることを証明しなさい。

中点連結定理

中点連結定理 三角形の $2$ つの辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分である。



答え
〈証明〉
$B$ と $D$ を結ぶ。
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PS /\!/ BD, \ PS=\cfrac{1}{2}BD$ …①
$\triangle CBD$ で、中点連結定理より、
$\quad QR /\!/ BD, \ QR=\cfrac{1}{2}BD$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PS /\!/ QR, \ PS=QR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、 四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。

POINT

三角形 中点連結定理を使った証明です。
青い三角形で、$\quad PS /\!/ BD, \ PS=\cfrac{1}{2}BD$
黄色い三角形で、$\quad QR /\!/ BD, \ QR=\cfrac{1}{2}BD$
したがって $\quad PS /\!/ QR, \ PS=QR$ となります。
平行四辺形になるための条件は $4$つありましたね(定義をふくめれば $5$つ)。その最後のやつです。「$1$ 組の対辺が平行で長さが等しい」。これでうまくいきます。


三角形
(16) 右の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$AD=DE=EB, \ AF=FC$ とする。

答え
$x=9$

POINT

三角形 $\triangle AEC$ で、$AD:DE=AF:FC=1:1$
中点連結定理より、$DF=\cfrac{1}{2}EC=3$ …①

また、$DF /\!/ EC, \ DE:EB=1:1$ だから、$BC:CG=1:1$
$\triangle DBG$ で、中点連結定理より、
$DG=2EC=12$ …②
①②より、$x=DG-DF=12-3=9$


三角形
(17) 右の平行四辺形$ABCD$ で、$AP=PD, \ DQ:QC=5:4$ とする。
$AS:SR$ の比を求めなさい。

答え
$5:18$

POINT

三角形 $\triangle QAD$ ∽$\ \triangle QRC$ です。
相似比は $5:4$ なので、$AD:CR=5:4$です。
$AD=BC$ なので、$BR=\cfrac{9}{5}BC$ です。

$\triangle SAP$ ∽$\ \triangle SRB$ です。
$AP=PD$ だから、$AP=\cfrac{1}{2}AD$ です。

なので、$AP:BR=\cfrac{1}{2}:\cfrac{9}{5}=5:18$
$AP:BR=AS:AR$ だから、$AS:SR=5:18$



(18)  相似な図形の面積の比
① 相似比が $m:n$ である $2$つの図形の面積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
   相似な立体の表面積の比
② 相似比が $m:n$ である $2$つの立体の表面積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
   相似な立体の体積の比
③ 相似比が $m:n$ である $2$つの立体の体積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。

答え
①$m^2:n^2$ ②$m^2:n^2$ ③$m^3:n^3$

三角形
(19) 右の図で、$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DEF$ であり、その相似比は $2:3$ である。
$\triangle ABC$ の面積が $16cm^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求めなさい。

答え
$36cm^2$

POINT

$\triangle DEF$ の面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 2^2:3^2&=&16:x\\ 4:9&=&16:x\\ 4x&=&9\times16\\ x&=&\cfrac{9\times16}{4}=36 \end{eqnarray*}

三角形
(20) 右の図の $\triangle ABC$ で、$AD=DF=FB, \ DE /\!/ FG /\!/ BC$ である。以下の①~③の問いに答えなさい。
①$\triangle ADE$ と $\triangle AFG$ と $\triangle ABC$ の面積の比をいいなさい。

三角形 ②$\triangle ADE$ の面積を $x$ とする。
台形$DFGE$ の面積を $y$ とする。
台形$FBCG$ の面積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。

③$\triangle ABC$ の面積が $12cm^2$ であるとき、台形$FBCG$ の面積を求めなさい。

答え
①$1:4:9$ ②$1:3:5$ ③$\cfrac{20}{3}cm^2$

POINT

①仮定から、$\triangle ADE$ ∽$\ \triangle AFG$ ∽$\ \triangle ABC$ です。相似比は $1:2:3$ です。
なので、面積比は $1^2:2^2:3^2=1:4:9$ です。

三角形 ② ①の問題の答えから、$x=1$ とすると、$\triangle AFG$ の面積は $4$ です。また、$\triangle ABC$ の面積は $9$ です。
なので、
$\quad y=4-1=3$
$\quad z=9-4=5$
なので、$x:y:z=1:3:5$

③台形$FBCG$ の面積は全体($\triangle ABC$)の $\cfrac{5}{9}$ です。なので、
$\quad 12\times \cfrac{5}{9}=\cfrac{20}{3}$

円すい
(21) 右の図で、円すい$P$ と円すい$Q$ は相似であり、その相似比は $2:3$ である。以下の①②の問いに答えなさい。
①円すい$P$ の表面積が $24 \large{\pi}$ $cm^2$ のとき、円すい$Q$ の表面積を求めなさい。

②円すい$P$ の体積が $56 \large{\pi}$ $cm^3$ のとき、円すい$Q$ の体積を求めなさい。

答え
①$54 \large{\pi}$ $cm^2$ ②$189 \large{\pi}$ $cm^3$

POINT

①$Q$ の表面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 2^2:3^2&=&24 \pi:x\\ 4:9&=&24 \pi:x\\ 4x&=&24 \pi \times 9\\ x&=&\cfrac{24 \pi \times9}{4}=54 \large{\pi} \end{eqnarray*} ②$Q$ の体積を $y$ とすると、 \begin{eqnarray*} 2^3:3^3&=&56 \pi:y\\ 8:27&=&56 \pi:y\\ 8y&=&56 \pi \times 27\\ y&=&\cfrac{56 \pi \times27}{8}=189 \pi \end{eqnarray*}

円すい
(22) 右の図のように、円すいを、底面に平行で高さを $3$等分する $2$つの平面で切り、$3$つの部分をそれぞれ$P, \ Q, \ R$ とする。以下の①~③の問いに答えなさい。
①$P$ と $P+Q$ と$P+Q+R$ の体積の比をいいなさい。
円すい
②$P$ の体積を $x$, $Q$ の体積を $y$, $R$ の体積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。 円すい
③$P$ の体積が $5 \pi cm^3$ であるとき、$Q$ の体積を求めなさい。
また、$R$ の体積を求めなさい。

答え
①$1:8:27$ ②$1:7:19$ ③$y=35\pi cm^3, \ z=95\pi cm^3$

POINT

円すい
①$P+Q$ と $P+Q+R$ をそれぞれ底面どうしがぴったり重なるように積み重ねると、仮定から、$P$ ∽ $P+Q$ ∽ $P+Q+R$ です。相似比は $1:2:3$ です。
なので、体積比は $1^3:2^3:3^3=1:8:27$ です。

円すい
② ①の問題の答えから、$x=1$ とすると、$P+Q$ の体積は $8$ です。また、$P+Q+R$ の体積は $27$ です。
なので、
$\quad y=8-1=7$
$\quad z=27-8=19$
なので、$x:y:z=1:7:19$

③ ②の問題の答えから、 \begin{eqnarray*} x:y&=&1:7\\ 5\pi:y&=&1:7\\ y&=&35\pi \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x:z&=&1:19\\ 5\pi:z&=&1:19\\ z&=&95\pi \end{eqnarray*}


 答え(中3 5章 相似 第1回) 

(1)①線分の比 ②角
(2)$\triangle ABC$ ∽$\triangle DEF$
① $3$ 組の辺の比
② $2$ 組の辺の比が等しく、その間の角
③ $2$ 組の角
(3)$\triangle ABC$ ∽$\triangle HGI$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle OMN$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle JKL$ ∽$\triangle QRP$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。
(4)①$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle ADE$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
②$\triangle ABC$ ∽$\triangle EBD$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
③$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle EDC$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
(5)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle BDA$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
(6)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle CBD$ で、
仮定から、$AB:BC=8:6=4:3$ ……①
$CB:BD=6:4.5=4:3$ ……②
共通な角だから、$\angle ABC=\angle CBD$ ……③
①②③より、$2$ 組の辺の比とその間の角が等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle CBD$
(7)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle BDC$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle DBC$ ……①
共通な角だから、$\angle ACB=\angle BCD$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$

(8)〈証明〉
$\triangle ABD$ と $\triangle CAD$ で、
仮定から、$\angle ADB=\angle CDA$ ……①
$\triangle ABD$ で、
$\angle ABD+\angle BAD+90^{ \circ }=180^{ \circ }$
したがって、$\angle ABD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……②
また、$\angle CAD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……③
②③より、$\angle ABD=\angle CAD$ ……④
①④より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$
(9)① $x=\cfrac{15}{2}$ ② $x=\cfrac{81}{14}$
(10) ① $x=\cfrac{15}{2}, \ y=\cfrac{16}{3}$
② $x=1.2, \ y=3$
③ $x=6, \ y=16$
④ $x=\cfrac{5}{4}, \ y=\cfrac{15}{2}$
⑤ $x=\cfrac{72}{5}, \ y=\cfrac{25}{3}$
(11) $FE$ と $BC$
(12)① $x=6$ ② $x=\cfrac{9}{2}$
(13)① $x=8$ ② $x=12, \ y=\cfrac{11}{2}$ ③$x=12$
(14)① $x=11$ ② $x=\cfrac{18}{5}$
(15)〈証明〉
$B$ と $D$ を結ぶ。
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PS /\!/ BD, \ PS=\cfrac{1}{2}BD$ …①
$\triangle CBD$ で、中点連結定理より、
$\quad QR /\!/ BD, \ QR=\cfrac{1}{2}BD$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PS /\!/ QR, \ PS=QR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、 四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。
(16) $x=9$
(17) $5:18$
(18)①$m^2:n^2$ ②$m^2:n^2$ ③$m^3:n^3$
(19) $36cm^2$
(20)①$1:4:9$ ②$1:3:5$ ③$\cfrac{20}{3}cm^2$
(21)①$54 \large{\pi}$ $cm^2$ ②$189 \large{\pi}$ $cm^3$
(22)①$1:8:27$ ②$1:7:19$ ③$y=35\pi cm^3, \ z=95\pi cm^3$

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