数学 中3 5章 相似 第2回(全23問)
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
(1)
相似な図形の性質
① 相似な図形では、対応する $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehoge}}$ はすべて等しい。
② 相似な図形では、対応する $ \boxed{\LARGE\phantom{hoge}}$ はそれぞれ等しい。
答え
①線分の比 ②角
(2) 「三角形$ABC$と三角形$DEF$は相似である」というのを記号でかくと、
$\qquad \qquad \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehoge}}$
三角形の相似条件
① $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehoge}}$ がすべて等しい。
② $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehogehogehoge}}$ が等しい。
③ $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehoge}}$ がそれぞれ等しい。
答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle DEF$
① $3$ 組の辺の比
② $2$ 組の辺の比が等しく、その間の角
③ $2$ 組の角
(3) 下の図のなかから、相似な三角形の組を見つけ、記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。
答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle RQP$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle JKL$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle NMO$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。
対応する辺や角に注意する。
(4) 次の①～③の図で、相似な三角形を見つけ、 記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。
答え
①$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle AED$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
②$\triangle ABE$ ∽$\triangle ACD$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
③$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle AED$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
対応する辺や角に注意する。
① $\angle A$ は共通、$AB:AC=AE:AD=3:2$
② $\angle A$ は共通、仮定から $\angle ABE \ = \ \angle ACD$
③ 対頂角だから $\angle BAC \ = \ \angle EAD$、平行線の錯角だから $\angle ABC \ = \ \angle AED$
(5) $\angle A=90^{ \circ }$ の直角三角形で、頂点 $A$ から $BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $D$ とする。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle BDA$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
(6) 右の図で、$AB=16cm,$ $\ BC=12cm,$ $\ AD=7cm$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle CBD$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle CBD$ で、
仮定から、$AB:BC=16:12=4:3$ ……①
$CB:BD=12:9=4:3$ ……②
共通な角だから、$\angle ABC=\angle CBD$ ……③
①②③より、$2$ 組の辺の比とその間の角が等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle CBD$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
※$BD=16-7=9$
(7) 右の図で、$\angle BAC=\angle DBC$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle BDC$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle DBC$ ……①
共通な角だから、$\angle ACB=\angle BCD$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
(8) $\angle A=90^{ \circ }$ の直角三角形で、頂点 $A$ から $BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $D$ とする。
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABD$ と $\triangle CAD$ で、
仮定から、$\angle ADB=\angle CDA$ ……①
$\triangle ABD$ で、
$\angle ABD+\angle BAD+90^{ \circ }=180^{ \circ }$
したがって、$\angle ABD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……②
また、$\angle CAD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……③
②③より、$\angle ABD=\angle CAD$ ……④
①④より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
直角三角形や正方形や長方形で、$\angle ABD=\angle CAD$ であることを証明していくこのパターンは、入試でよく見かけます。どちらも $90^{ \circ }-\angle BAD$ になっている、ということをいえばいいです。できるようにしておきたいパターンです。
(9)
下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①は $\angle BAC=\angle ADC=90^{ \circ },$ ②は $\angle BAC=\angle DBC$ とする。
答え
① $x=25$ ② $x=\cfrac{27}{4}$
どちらも
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、図をかき加えてしまいましょう。すると、わかりやすくなりますよね。
①$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DAC$
\begin{eqnarray*}
20:12&=&x:15\\
5:3&=&x:15\\
3x&=&75\\
x&=&25
\end{eqnarray*}
②$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$
\begin{eqnarray*}
x:4.5&=&4.5:3\\
x:4.5&=&3:2\\
2x&=&13.5\\
x&=&\cfrac{13.5}{2}=\cfrac{135}{20}=\cfrac{27}{4}
\end{eqnarray*}
(10)
下の①～⑤の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、①～⑤まで、すべて $\ DE /\!/ BC$ とする。
答え
① $x=12, \ y=\cfrac{9}{2}$
② $x=8, \ y=\cfrac{34}{3}$
③ $x=7, \ y=16$
④ $x=\cfrac{35}{13}, \ y=\cfrac{252}{13}$
⑤ $x=10, \ y=\cfrac{49}{5}$
$\triangle ABC$ で、辺 $AB, \ AC$ 上の点をそれぞれ $D, \ E$ とする。
１ $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:AB=AE:AC=DE:BC$
２ $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:DB=AE:EC$
※すべて上の定理を利用しています。以下のやり方は一例です。このほかにもいろんな式のたて方があります。
\begin{eqnarray*}
①
12:18&=&x:18\\
x&=&12
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
9:y&=&12:18-12\\
9:y&=&12:6\\
9:y&=&2:1\\
2y&=&9\\
y&=&\cfrac{9}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
②
12:18&=&x:12\\
2:3&=&x:12\\
3x&=&24\\
x&=&8
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
12:18&=&y:17\\
2:3&=&y:17\\
3y&=&y:34\\
y&=&\cfrac{34}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
③
6:12&=&x:14\\
1:2&=&x:14\\
x&=&7
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
6:12&=&8:y\\
1:2&=&8:y\\
y&=&16
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
④
13:5&=&7:x\\
13x&=&35\\
x&=&\cfrac{35}{13}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
13:13+5&=&14:y\\
13:18&=&14:y\\
13y&=&252\\
y&=&\cfrac{252}{13}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
⑤
12:5&=&14+x:x\\
12x&=&5(14+x)\\
12x&=&70+5x\\
12x-5x&=&70\\
7x&=&70\\
x&=&10
\end{eqnarray*}
($x=10$ を利用して)
\begin{eqnarray*}
14:10&=&y:7\\
7:5&=&y:7\\
5y&=&49\\
y&=&\cfrac{49}{5}
\end{eqnarray*}
(11) 右の図で、平行な線分の組はどれか。
答え
$FD$ と $AC$
それぞれの比をもっとも簡単な整数比になおして、マルつきの数字で書きくわえてしまうのがよいです。
$AF:FB=4.5:6=3:4$
$AE:EC=4:5$
$CD:DB=6:8=3:4$
$AF:FB=CD:DB$ なので、$\ FD /\!/ AC$
(12)
下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$\angle BAD=\angle CAD$ とする。
答え
① $x=\cfrac{45}{7}$ ② $x=\cfrac{64}{9}$
$\triangle ABC$ で、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると、
$\quad AB:AC=BD:CD$
上の定理を利用します。
①
\begin{eqnarray*}
9:12&=&x:15-x\\
3:4&=&x:15-x\\
4x&=&3(15-x)\\
4x&=&45-3x\\
4x+3x&=&45\\
7x&=&45\\
x&=&\cfrac{45}{7}
\end{eqnarray*}
②
\begin{eqnarray*}
12:15&=&x:16-x\\
4:5&=&x:16-x\\
5x&=&4(16-x)\\
5x&=&64-4x\\
5x+4x&=&64\\
9x&=&64\\
x&=&\cfrac{64}{9}
\end{eqnarray*}
(13)
下の①，②の図で、$x$ の値を求めなさい。③，④の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、どの図も$\ l /\!/ m /\!/ n$ とする。
答え
① $x=6$ ② $x=\cfrac{32}{9}$ ③ $x=18, \ y=16$ ④$x=6, \ y=\cfrac{58}{7}$
$3$ つ以上の平行線に、$1$ つの直線がどのように交わっても、その直線は平行線によって一定の比に分けられる。
①
\begin{eqnarray*}
8:4&=&x:3\\
2:1&=&x:3\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
②
\begin{eqnarray*}
4:9&=&x:8\\
9x&=&32\\
x&=&\cfrac{32}{9}
\end{eqnarray*}
③
\begin{eqnarray*}
7:14&=&6:x-6\\
1:2&=&6:x-6\\
x-6&=&12\\
x&=&12+6\\
x&=&18
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
7:14&=&8:y\\
1:2&=&8:y\\
y&=&16
\end{eqnarray*}
④
\begin{eqnarray*}
6:8&=&4.5:x\\
3:4&=&4.5:x\\
3x&=&18\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
〈$y$ の求め方〉
右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。
\begin{eqnarray*}
6:6+8&=&y-7:10-7\\
6:14&=&y-7:3\\
3:7&=&y-7:3\\
7(y-7)&=&9\\
7y-49&=&9\\
7y&=&9+49\\
7y&=&58\\
y&=&\cfrac{58}{7}
\end{eqnarray*}
(14)
下の①，②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①の図は $\ AD /\!/ EF /\!/ BC$ , ②の図は $\ AB /\!/ EF /\!/ CD$ とする。
答え
① $x=10$ ② $x=3$
①右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。
\begin{eqnarray*}
8:8+16&=&x-3:21\\
8:24&=&x-3:21\\
1:3&=&x-3:21\\
3(x-3)&=&21\\
3x-9&=&21\\
3x&=&21+9\\
3x&=&30\\
x&=&10
\end{eqnarray*}
②$\triangle EAB$ ∽$\ \triangle EDC$ (青いところ)で、その相似比は $4:12=1:3$ です。なので、$BE:EC=1:3$ です。
この比を、$\triangle BEF$ ∽$\ \triangle BCD$ (黄色いところ)に使って $x$ を求めていきます。
\begin{eqnarray*}
1:1+3&=&x:12\\
1:4&=&x:12\\
4x&=&12\\
x&=&3
\end{eqnarray*}
(15) 右の図で、線分 $AD,$ $BD,$ $BC,$ $AC$ の中点をそれぞれ $P,Q,R,S$ とする。四角形 $PQRS$ は平行四辺形となることを証明しなさい。
三角形の $2$ つの辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分である。
答え
〈証明〉
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$ …①
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、
四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。
中点連結定理を使った証明です。
青い三角形で、$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$
黄色い三角形で、$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$
$PQ$ と $SR$ は、どちらも $AB$ と平行で、長さが $AB$ の半分。したがって、$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$ となります。
平行四辺形になるための条件は $4$つありましたね(定義をふくめれば $5$つ)。その最後のやつです。「$1$ 組の対辺が平行で長さが等しい」。これでうまくいきます。
(16) 右の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$AD=DB, \ AE=EC=CG$ とする。
答え
$x=15$
$\triangle ABC$ で、$AD:DB=AE:EC=1:1$
中点連結定理より、$BC=2DE=20$ …①
また、$DE /\!/ BC, \ EC:CG=1:1$ だから、$DF:FG=1:1$
$\triangle DGE$ で、中点連結定理より、
$FC=\cfrac{1}{2}DE=5$ …②
①②より、$x=BC-FC=20-5=15$
(17) 右の平行四辺形$ABCD$ で、$AP:PD=1:2, \ DQ:QC=3:1$ とする。
$AS:SR$ の比を求めなさい。
答え
$1:4$
$\triangle QAD$ ∽$\ \triangle QRC$ です。
相似比は $3:1$ なので、$AD:CR=3:1$です。
$AD=BC$ なので、$BR=\cfrac{4}{3}BC$ です。
$\triangle SAP$ ∽$\ \triangle SRB$ です。
$AP:PD=1:2$ だから、$AP=\cfrac{1}{3}AD$
なので、$AP:BR=\cfrac{1}{3}:\cfrac{4}{3}=1:4$
$AP:BR=AS:SR$ だから、$AS:SR=1:4$
(18)
相似な図形の面積の比
① 相似比が $m:n$ である $2$つの図形の面積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
相似な立体の表面積の比
② 相似比が $m:n$ である $2$つの立体の表面積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
相似な立体の体積の比
③ 相似比が $m:n$ である $2$つの立体の体積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
答え
①$m^2:n^2$ ②$m^2:n^2$ ③$m^3:n^3$
(19) 右の図で、$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DEF$ であり、その相似比は $4:5$ である。
$\triangle ABC$ の面積が $8cm^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求めなさい。
答え
$\cfrac{25}{2}cm^2$
$\triangle DEF$ の面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^2:5^2&=&8:x\\ 16:25&=&8:x\\ 16x&=&25\times8\\ x&=&\cfrac{25\times8}{16}=\cfrac{25}{2} \end{eqnarray*}
(20) 右の図の $\triangle ABC$ で、$AD:DF:FB=3:2:1,$ $\ DE /\!/ FG /\!/ BC$ である。以下の①～③の問いに答えなさい。
①$\triangle ADE$ と $\triangle AFG$ と $\triangle ABC$ の面積の比をいいなさい。
②$\triangle ADE$ の面積を $x$ とする。
台形$DFGE$ の面積を $y$ とする。
台形$FBCG$ の面積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。
③$\triangle ABC$ の面積が $30cm^2$ であるとき、台形$FBCG$ の面積を求めなさい。
答え
①$9:25:36$ ②$9:16:11$ ③$\cfrac{55}{6}cm^2$
①仮定から、$\triangle ADE$ ∽$\ \triangle AFG$ ∽$\ \triangle ABC$ です。相似比は $3:5:6$ です。
なので、面積比は $3^2:5^2:6^2=9:25:36$ です。
② ①の問題の答えから、$x=9$ とすると、$\triangle AFG$ の面積は $25$ です。また、$\triangle ABC$ の面積は $36$ です。
なので、
$\quad y=25-9=16$
$\quad z=36-25=11$
なので、$x:y:z=9:16:11$
③台形$FBCG$ の面積は全体($\triangle ABC$)の $\cfrac{11}{36}$ です。なので、
$\quad 30\times \cfrac{11}{36}=\cfrac{55}{6}$
(21) 右の図で、三角すい$P$ と三角すい$Q$ は相似であり、その相似比は $4:5$ である。以下の①②の問いに答えなさい。
①三角すい$P$ の表面積が $32cm^2$ のとき、三角すい$Q$ の表面積を求めなさい。
②三角すい$P$ の体積が $128cm^3$ のとき、三角すい$Q$ の体積を求めなさい。
答え
①$50cm^2$ ②$250cm^3$
①$Q$ の表面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^2:5^2&=&32:x\\ 16:25&=&32:x\\ 16x&=&25\times 32\\ x&=&\cfrac{25\times32}{16}=50 \end{eqnarray*} ②$Q$ の体積を $y$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^3:5^3&=&128:y\\ 64:125&=&128:y\\ 64y&=&125\times128\\ y&=&\cfrac{125\times128}{64}=250 \end{eqnarray*}
(22) 右の図のように、三角すいを、底面に平行で高さを $3$等分する $2$つの平面で切り、$3$つの部分をそれぞれ$P, \ Q, \ R$ とする。以下の①～③の問いに答えなさい。
①$P$ と $P+Q$ と$P+Q+R$ の体積の比をいいなさい。
②$P$ の体積を $x$, $Q$ の体積を $y$, $R$ の体積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。
③$P$ の体積が $10cm^3$ であるとき、$Q$ の体積を求めなさい。
また、$R$ の体積を求めなさい。
答え
①$1:8:27$ ②$1:7:19$ ③$y=70cm^3, \ z=190cm^3$
①$P+Q$ と $P+Q+R$ をそれぞれ底面どうしがぴったり重なるように積み重ねると、仮定から、$P$ ∽ $P+Q$ ∽ $P+Q+R$ です。相似比は $1:2:3$ です。
なので、体積比は $1^3:2^3:3^3=1:8:27$ です。
② ①の問題の答えから、$x=1$ とすると、$P+Q$ の体積は $8$ です。また、$P+Q+R$ の体積は $27$ です。
なので、
$\quad y=8-1=7$
$\quad z=27-8=19$
なので、$x:y:z=1:7:19$
③ ②の問題の答えから、
\begin{eqnarray*}
x:y&=&1:7\\
10:y&=&1:7\\
y&=&70
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x:z&=&1:19\\
10:z&=&1:19\\
z&=&190
\end{eqnarray*}
答え(中3 5章 相似 第2回)
(1)①線分の比 ②角
(2)$\triangle ABC$ ∽$\triangle DEF$
① $3$ 組の辺の比
② $2$ 組の辺の比が等しく、その間の角
③ $2$ 組の角
(3)$\triangle ABC$ ∽$\triangle RQP$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle JKL$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle NMO$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。
(4)①$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle AED$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
②$\triangle ABE$ ∽$\triangle ACD$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
③$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle AED$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
(5)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle BDA$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
(6)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle CBD$ で、
仮定から、$AB:BC=16:12=4:3$ ……①
$CB:BD=12:9=4:3$ ……②
共通な角だから、$\angle ABC=\angle CBD$ ……③
①②③より、$2$ 組の辺の比とその間の角が等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle CBD$
(7)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle BDC$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle DBC$ ……①
共通な角だから、$\angle ACB=\angle BCD$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$
(8)〈証明〉
$\triangle ABD$ と $\triangle CAD$ で、
仮定から、$\angle ADB=\angle CDA$ ……①
$\triangle ABD$ で、
$\angle ABD+\angle BAD+90^{ \circ }=180^{ \circ }$
したがって、$\angle ABD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……②
また、$\angle CAD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……③
②③より、$\angle ABD=\angle CAD$ ……④
①④より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$
(9)① $x=25$ ② $x=\cfrac{27}{4}$
(10)
① $x=12, \ y=\cfrac{9}{2}$
② $x=8, \ y=\cfrac{34}{3}$
③ $x=7, \ y=16$
④ $x=\cfrac{35}{13}, \ y=\cfrac{252}{13}$
⑤ $x=10, \ y=\cfrac{49}{5}$
(11) $FD$ と $AC$
(12)① $x=\cfrac{45}{7}$ ② $x=\cfrac{64}{9}$
(13)① $x=6$ ② $x=\cfrac{32}{9}$ ③ $x=18, \ y=16$ ④$x=6, \ y=\cfrac{58}{7}$
(14)① $x=10$ ② $x=3$
(15)〈証明〉
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$ …①
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、
四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。
(16) $x=15$
(17) $1:4$
(18)①$m^2:n^2$ ②$m^2:n^2$ ③$m^3:n^3$
(19) $\cfrac{25}{2}cm^2$
(20)①$9:25:36$ ②$9:16:11$ ③$\cfrac{55}{6}cm^2$
(21)①$50cm^2$ ②$250cm^3$
(22)①$1:8:27$ ②$1:7:19$ ③$y=70cm^3, \ z=190cm^3$