数学 中3 5章 相似 第3回(全22問)
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
(1)
相似な図形の性質
① 相似な図形では、対応する $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehoge}}$ はすべて等しい。
② 相似な図形では、対応する $ \boxed{\LARGE\phantom{hoge}}$ はそれぞれ等しい。
答え
①線分の比 ②角
(2) 「三角形$ABC$と三角形$DEF$は相似である」というのを記号でかくと、
$\qquad \qquad \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehoge}}$
三角形の相似条件
① $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehoge}}$ がすべて等しい。
② $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogehogehogehoge}}$ が等しい。
③ $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehoge}}$ がそれぞれ等しい。
答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle DEF$
① $3$ 組の辺の比
② $2$ 組の辺の比が等しく、その間の角
③ $2$ 組の角
(3) 下の図のなかから、相似な三角形の組を見つけ、記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。
答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle RPQ$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle OMN$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle LJK$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
対応する辺や角に注意する。
(4) 次の①～③の図で、相似な三角形を見つけ、 記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。
答え
①$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle ADE$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
②$\triangle ABC$ ∽$\triangle EDC$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
③$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle EBD$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
対応する辺や角に注意する。
① $\angle A$ は共通、平行線の同位角だから $\angle ABC \ = \ \angle ADE$
② $\angle C$ は共通、$BC:AC=DC:EC=2:3$
③ $\angle B$ は共通、仮定から $\angle ACB \ = \ \angle EDB \ = \ 90^{ \circ }$
(5) $\angle A=90^{ \circ }$ の直角三角形で、頂点 $A$ から $BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $D$ とする。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle BDA$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
(6) 右の図で、$AD=10.5cm,$ $\ BC=18cm,$ $\ AC=24cm$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle BDC$ で、
仮定から、$AC:BC=24:18=4:3$ ……①
$BC:DC=18:13.5=4:3$ ……②
共通な角だから、$\angle ACB=\angle BCD$ ……③
①②③より、$2$ 組の辺の比とその間の角が等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
※$DC=24-10.5=13.5$
(7) 右の図で、$\angle ACB=\angle DAB$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle ACB=\angle DAB$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
(8) $\angle A=90^{ \circ }$ の直角三角形で、頂点 $A$ から $BC$ におろした垂線と $BC$ との交点を $D$ とする。
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABD$ と $\triangle CAD$ で、
仮定から、$\angle ADB=\angle CDA$ ……①
$\triangle ABD$ で、
$\angle ABD+\angle BAD+90^{ \circ }=180^{ \circ }$
したがって、$\angle ABD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……②
また、$\angle CAD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……③
②③より、$\angle ABD=\angle CAD$ ……④
①④より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
直角三角形や正方形や長方形で、$\angle ABD=\angle CAD$ であることを証明していくこのパターンは、入試でよく見かけます。どちらも $90^{ \circ }-\angle BAD$ になっている、ということをいえばいいです。できるようにしておきたいパターンです。
(9)
下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①は $\angle BAC=\angle ADC=90^{ \circ },$ ②は $\angle ACB=\angle DAB$ とする。
答え
① $x=\cfrac{15}{2}$ ② $x=18$
どちらも
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、図をかき加えてしまいましょう。すると、わかりやすくなりますよね。
①$\triangle DBA$ ∽$\ \triangle DAC$
\begin{eqnarray*}
8:6&=&10:x\\
4:3&=&10:x\\
4x&=&30\\
x&=&\cfrac{30}{4}=\cfrac{15}{2}
\end{eqnarray*}
②$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
\begin{eqnarray*}
12:8&=&x:12\\
3:2&=&x:12\\
2x&=&36\\
x&=&18
\end{eqnarray*}
(10)
下の①～⑤の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、①～⑤まで、すべて $\ DE /\!/ BC$ とする。
答え
① $x=\cfrac{40}{3}, \ y=12$
② $x=9, \ y=6$
③ $x=\cfrac{16}{3}, \ y=12$
④ $x=\cfrac{9}{2}, \ y=\cfrac{10}{3}$
⑤ $x=\cfrac{14}{3}, \ y=\cfrac{24}{5}$
$\triangle ABC$ で、辺 $AB, \ AC$ 上の点をそれぞれ $D, \ E$ とする。
１ $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:AB=AE:AC=DE:BC$
２ $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:DB=AE:EC$
※すべて上の定理を利用しています。以下のやり方は一例です。このほかにもいろんな式のたて方があります。
\begin{eqnarray*}
①
9:12&=&10:x\\
3:4&=&10:x\\
3x&=&40\\
x&=&\cfrac{40}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
9:12&=&9:y\\
y&=&12
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
②
8:12&=&6:x\\
2:3&=&6:x\\
2x&=&18\\
x&=&9
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
8:12&=&y:9\\
2:3&=&y:9\\
3y&=&y:18\\
y&=&6
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
③
6:9&=&x:8\\
2:3&=&x:8\\
3x&=&16\\
x&=&\cfrac{16}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
6:9&=&8:y\\
2:3&=&8:y\\
2y&=&24\\
y&=&12
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
④
6:12&=&x:9\\
1:2&=&x:9\\
1:3&=&x:x+9\\
2x&=&9\\
x&=&\cfrac{9}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
6:6+12&=&y:10\\
6:18&=&y:10\\
1:3&=&y:10\\
3y&=&10\\
y&=&\cfrac{10}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
⑤
8:12&=&x:7\\
2:3&=&x:7\\
3x&=&14\\
x&=&\cfrac{14}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
8:8+12&=&y:12\\
8:20&=&y:12\\
2:5&=&y:12\\
5y&=&24\\
y&=&\cfrac{24}{5}
\end{eqnarray*}
(11) 右の図で、平行な線分の組はどれか。
答え
$AB$ と $ED$
それぞれの比をもっとも簡単な整数比になおして、マルつきの数字で書きくわえてしまうのがよいです。
$AF:FB=6:8=3:4$
$AE:EC=4.5:7.5=3:5$
$BD:DC=6:10=3:5$
$AE:EC=BD:DC$ なので、$\ AB /\!/ ED$
(12)
下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$\angle BAD=\angle CAD$ とする。
答え
① $x=\cfrac{72}{35}$ ② $x=\cfrac{96}{31}$
$\triangle ABC$ で、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると、
$\quad AB:AC=BD:CD$
上の定理を利用します。
①
\begin{eqnarray*}
4:3&=&4.8-x:x\\
4x&=&3(4.8-x)\\
4x&=&14.4-3x\\
4x+3x&=&14.4\\
7x&=&14.4\\
x&=&\cfrac{14.4}{7}=\cfrac{144}{70}=\cfrac{72}{35}
\end{eqnarray*}
②
\begin{eqnarray*}
8:7.5&=&x:6-x\\
16:15&=&x:6-x\\
15x&=&16(6-x)\\
15x&=&96-16x\\
15x+16x&=&96\\
31x&=&96\\
x&=&\cfrac{96}{31}
\end{eqnarray*}
(13)
下の①，②の図で、$x$ の値を求めなさい。③，④の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、どの図も$\ l /\!/ m /\!/ n$ とする。
答え
① $x=9.5$ ② $x=\cfrac{24}{5}$ ③ $x=4.5, \ y=5$ ④$x=\cfrac{44}{7}, \ y=\cfrac{64}{9}$
$3$ つ以上の平行線に、$1$ つの直線がどのように交わっても、その直線は平行線によって一定の比に分けられる。
①
\begin{eqnarray*}
3:5&=&5.7:x\\
3x&=&5.7\times5\\
x&=&\cfrac{5.7\times5}{3}=9.5
\end{eqnarray*}
②
\begin{eqnarray*}
8:5&=&x:3\\
5x&=&24\\
x&=&\cfrac{24}{5}
\end{eqnarray*}
③
\begin{eqnarray*}
5:2.5&=&x-1.5:1.5\\
2:1&=&x-1.5:1.5\\
x-1.5&=&3\\
x&=&3+1.5\\
x&=&4.5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
5:2.5&=&y:2.5\\
y&=&5
\end{eqnarray*}
④
\begin{eqnarray*}
3.5:5.5&=&4:x\\
7:11&=&4:x\\
7x&=&44\\
x&=&\cfrac{44}{7}
\end{eqnarray*}
〈$y$ の求め方〉
右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。
\begin{eqnarray*}
3.5:3.5+5.5&=&y-4:12-4\\
3.5:9&=&y-4:8\\
9(y-4)&=&28\\
9y-36&=&28\\
9y&=&28+36\\
9y&=&64\\
y&=&\cfrac{64}{9}
\end{eqnarray*}
(14)
下の①，②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①の図は $\ AD /\!/ EF /\!/ BC$ , ②の図は $\ AB /\!/ EF /\!/ CD$ とする。
答え
① $x=12$ ② $x=\cfrac{30}{11}$
①右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。
\begin{eqnarray*}
7:7+3.5&=&x-8:6\\
7:10.5&=&x-8:6\\
2:3&=&x-8:6\\
3(x-8)&=&12\\
3x-24&=&12\\
3x&=&12+24\\
3x&=&36\\
x&=&12
\end{eqnarray*}
②$\triangle EAB$ ∽$\ \triangle EDC$ (青いところ)で、その相似比は $5:6$ です。なので、$BE:EC=5:6$ です。
この比を、$\triangle BEF$ ∽$\ \triangle BCD$ (黄色いところ)に使って $x$ を求めていきます。
\begin{eqnarray*}
5:5+6&=&x:6\\
5:11&=&x:6\\
11x&=&30\\
x&=&\cfrac{30}{11}
\end{eqnarray*}
(15) 右の図で、線分 $AB,$ $DB,$ $DC,$ $AC$ の中点をそれぞれ $P,Q,R,S$ とする。四角形 $PQRS$ は平行四辺形となることを証明しなさい。
三角形の $2$ つの辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分である。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad PS /\!/ BC, \ PS=\cfrac{1}{2}BC$ …①
$\triangle DBC$ で、中点連結定理より、
$\quad QR /\!/ BC, \ QR=\cfrac{1}{2}BC$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PS /\!/ QR, \ PS=QR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、
四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。
中点連結定理を使った証明です。
$\triangle ABC$ (全体)で、$\quad PS /\!/ BC, \ PS=\cfrac{1}{2}BC$
青い三角形で、$\quad QR /\!/ BC, \ QR=\cfrac{1}{2}BC$
$PS$ と $QR$ は、どちらも $BC$ と平行で、長さが $BC$ の半分。したがって、$PS /\!/ QR, \ PS=QR$ となります。
平行四辺形になるための条件は $4$つありましたね(定義をふくめれば $5$つ)。その最後のやつです。「$1$ 組の対辺が平行で長さが等しい」。これでうまくいきます。
(16) 右の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$AE=EB, \ AD=DG=GC$ とする。
答え
$x=21$
$\triangle ABG$ で、$AE:EB=AD:DG=1:1$
中点連結定理より、$ED=\cfrac{1}{2}BG=7$ …①
また、$DE /\!/ BG, \ DG:GC=1:1$ だから、$FB:BC=1:1$
$\triangle DFC$ で、中点連結定理より、
$FD=2BG=28$ …②
①②より、$x=FD-ED=28-7=21$
(17) 右の平行四辺形$ABCD$ で、$AP:PD=3:1, \ DQ:QC=2:1$ とする。
$AS:SR$ の比を求めなさい。
答え
$1:2$
$\triangle QAD$ ∽$\ \triangle QRC$ です。
相似比は $2:1$ なので、$AD:CR=2:1$です。
$AD=BC$ なので、$BR=\cfrac{3}{2}BC$ です。
$\triangle SAP$ ∽$\ \triangle SRB$ です。
$AP:PD=3:1$ だから、$AP=\cfrac{3}{4}AD$
なので、$AP:BR=\cfrac{3}{4}:\cfrac{3}{2}=3:6=1:2$
$AP:BR=AS:SR$ だから、$AS:SR=1:2$
(18)
相似な図形の面積の比
① 相似比が $m:n$ である $2$つの図形の面積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
相似な立体の表面積の比
② 相似比が $m:n$ である $2$つの立体の表面積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
相似な立体の体積の比
③ 相似比が $m:n$ である $2$つの立体の体積の比は、 $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ である。
答え
①$m^2:n^2$ ②$m^2:n^2$ ③$m^3:n^3$
(19) 右の図で、$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DEF$ であり、その相似比は $3:5$ である。
$\triangle ABC$ の面積が $30cm^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求めなさい。
答え
$\cfrac{250}{3}cm^2$
$\triangle DEF$ の面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 3^2:5^2&=&30:x\\ 9:25&=&30:x\\ 9x&=&25\times30\\ x&=&\cfrac{25\times30}{9}=\cfrac{250}{3} \end{eqnarray*}
(20) 右の図の $\triangle ABC$ で、$AD:DF:FB=1:2:3,$ $\ DE /\!/ FG /\!/ BC$ である。以下の①～③の問いに答えなさい。
①$\triangle ADE$ と $\triangle AFG$ と $\triangle ABC$ の面積の比をいいなさい。
②$\triangle ADE$ の面積を $x$ とする。
台形$DFGE$ の面積を $y$ とする。
台形$FBCG$ の面積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。
③$\triangle ABC$ の面積が $40cm^2$ であるとき、台形$FBCG$ の面積を求めなさい。
答え
①$1:9:36$ ②$1:8:27$ ③$30cm^2$
①仮定から、$\triangle ADE$ ∽$\ \triangle AFG$ ∽$\ \triangle ABC$ です。相似比は $1:3:6$ です。
なので、面積比は $1^2:3^2:6^2=1:9:36$ です。
② ①の問題の答えから、$x=1$ とすると、$\triangle AFG$ の面積は $9$ です。また、$\triangle ABC$ の面積は $36$ です。
なので、
$\quad y=9-1=8$
$\quad z=36-9=27$
なので、$x:y:z=1:8:27$
③台形$FBCG$ の面積は全体($\triangle ABC$)の $\cfrac{27}{36}=\cfrac{3}{4}$ です。なので、
$\quad 40\times \cfrac{3}{4}=30$
(21) 右の図で、四角すい$P$ と四角すい$Q$ は相似であり、その相似比は $3:5$ である。以下の①②の問いに答えなさい。
①四角すい$P$ の表面積が $30cm^2$ のとき、三角すい$Q$ の表面積を求めなさい。
②四角すい$P$ の体積が $108cm^3$ のとき、三角すい$Q$ の体積を求めなさい。
答え
①$\cfrac{250}{3}cm^2$ ②$500cm^3$
①$Q$ の表面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 3^2:5^2&=&30:x\\ 9:25&=&30:x\\ 9x&=&25\times 30\\ x&=&\cfrac{25\times30}{9}=\cfrac{250}{3} \end{eqnarray*} ②$Q$ の体積を $y$ とすると、 \begin{eqnarray*} 3^3:5^3&=&108:y\\ 27:125&=&108:y\\ 27y&=&125\times108\\ y&=&\cfrac{125\times108}{27}=500 \end{eqnarray*}
(22) 右の図のように、四角すいを、底面に平行で高さを $3$等分する $2$つの平面で切り、$3$つの部分をそれぞれ$P, \ Q, \ R$ とする。以下の①～③の問いに答えなさい。
①$P$ と $P+Q$ と$P+Q+R$ の体積の比をいいなさい。
②$P$ の体積を $x$, $Q$ の体積を $y$, $R$ の体積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。
③$P$ の体積が $25cm^3$ であるとき、$Q$ の体積を求めなさい。
また、$R$ の体積を求めなさい。
答え
①$1:8:27$ ②$1:7:19$ ③$y=175cm^3, \ z=475cm^3$
①$P+Q$ と $P+Q+R$ をそれぞれ底面どうしがぴったり重なるように積み重ねると、仮定から、$P$ ∽ $P+Q$ ∽ $P+Q+R$ です。相似比は $1:2:3$ です。
なので、体積比は $1^3:2^3:3^3=1:8:27$ です。
② ①の問題の答えから、$x=1$ とすると、$P+Q$ の体積は $8$ です。また、$P+Q+R$ の体積は $27$ です。
なので、
$\quad y=8-1=7$
$\quad z=27-8=19$
なので、$x:y:z=1:7:19$
③ ②の問題の答えから、
\begin{eqnarray*}
x:y&=&1:7\\
25:y&=&1:7\\
y&=&175
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x:z&=&1:19\\
25:z&=&1:19\\
z&=&25\times19=475
\end{eqnarray*}
答え(中3 5章 相似 第3回)
(1)①線分の比 ②角
(2)$\triangle ABC$ ∽$\triangle DEF$
① $3$ 組の辺の比
② $2$ 組の辺の比が等しく、その間の角
③ $2$ 組の角
(3)$\triangle ABC$ ∽$\triangle RPQ$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle OMN$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle LJK$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
(4)① $\angle A$ は共通、平行線の同位角だから $\angle ABC \ = \ \angle ADE$
② $\angle C$ は共通、$BC:AC=DC:EC=2:3$
③ $\angle B$ は共通、仮定から $\angle ACB \ = \ \angle EDB \ = \ 90^{ \circ }$
(5)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle BAC=\angle BDA$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
(6)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle BDC$ で、
仮定から、$AC:BC=24:18=4:3$ ……①
$BC:DC=18:13.5=4:3$ ……②
共通な角だから、$\angle ACB=\angle BCD$ ……③
①②③より、$2$ 組の辺の比とその間の角が等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle BDC$
(7)〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle ACB=\angle DAB$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
$\triangle ABD$ と $\triangle CAD$ で、
仮定から、$\angle ADB=\angle CDA$ ……①
$\triangle ABD$ で、
$\angle ABD+\angle BAD+90^{ \circ }=180^{ \circ }$
したがって、$\angle ABD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……②
また、$\angle CAD=90^{ \circ }-\angle BAD$ ……③
②③より、$\angle ABD=\angle CAD$ ……④
①④より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABD$ ∽$\ \triangle CAD$
(9)①$x=\cfrac{15}{2}$ ②$x=18$
(10) ①$x=\cfrac{40}{3}, \ y=12$
②$x=9, \ y=6$
③$x=\cfrac{16}{3}, \ y=12$
④$x=\cfrac{9}{2}, \ y=\cfrac{10}{3}$
⑤$x=\cfrac{14}{3}, \ y=\cfrac{24}{5}$
(11) $AB$ と $ED$
(12)①$x=\cfrac{72}{35}$ ②$x=\cfrac{96}{31}$
(13)①$x=9.5$ ②$x=\cfrac{24}{5}$ ③$x=4.5, \ y=5$ ④$x=\cfrac{44}{7}, \ y=\cfrac{64}{9}$
(14)①$x=12$ ②$x=\cfrac{30}{11}$
(15)〈証明〉
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad PS /\!/ BC, \ PS=\cfrac{1}{2}BC$ …①
$\triangle DBC$ で、中点連結定理より、
$\quad QR /\!/ BC, \ QR=\cfrac{1}{2}BC$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PS /\!/ QR, \ PS=QR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、 四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。
(16)$x=21$
(17)$1:2$
(18)①$m^2:n^2$ ②$m^2:n^2$ ③$m^3:n^3$
(19) $\cfrac{250}{3}cm^2$
(20)①$1:9:36$ ②$1:8:27$ ③$30cm^2$
(21)①$\cfrac{250}{3}cm^2$ ②$500cm^3$
(22)①$1:8:27$ ②$1:7:19$ ③$y=175cm^3, \ z=475cm^3$