才塾 定期テスト対策

数学 中3 2学期期末模擬テスト 第2回

2


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問題をクリックすると答えがでます。
ふつうのテストより問題数は多いです。なのでふつうのテストをやるときより時間がかかると思います。がんばって!

$\huge{1}$ 次の①~⑥の計算をしなさい。⑦~⑨の各問いに答えなさい。

$\qquad①$ $\quad 4+5\times(-2) \qquad ② \quad 5\times(-3^2)-7\times(-8)$

答え
$①-6$ $②11$

POINT

\begin{eqnarray*} &①& 4+5\times(-2)\\ &=&4-10\\ &=& -6 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& 5\times(-3^2)-7\times(-8)\\ &=& 5\times(-9)-7\times(-8)\\ &=& -45+56\\ &=& 11 \end{eqnarray*}

$\qquad③$ $-\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{15}{16}\right)\div\left(-\cfrac{9}{8}\right) \qquad ④ \quad -2(4x+3y)+3(5x-2y) $

答え
$①\cfrac{1}{12}$ $④7x-12y$

POINT

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &③& -\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{15}{16}\right)\div\left(-\cfrac{9}{8}\right) \\ &=& -\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{15}{16}\right)\times\left(-\cfrac{8}{9}\right) \\ &=& -\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{{}^5\bcancel{15}}{{}^2\bcancel{16}}\right)\times\left(-\cfrac{\bcancel{8}}{{}^3\bcancel{9}}\right) \\ &=& -\cfrac{3}{4}+\cfrac{5}{6}\\ &=& -\cfrac{9}{12}+\cfrac{10}{12}\\ &=& \cfrac{1}{12} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& -2(4x+3y)+3(5x-2y)\\ &=& -8x-6y+15x-6y\\ &=& 7x-12y \end{eqnarray*}

$\qquad⑤$ $\sqrt{\cfrac{8}{9}}-\sqrt{\cfrac{9}{8}} \qquad ⑥ \quad 6\sqrt{48}\div\sqrt{6}\div\sqrt{12} $

答え
$⑤-\cfrac{\sqrt{2}}{12}$ $⑥2\sqrt{6}$

POINT

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑤& \sqrt{\cfrac{8}{9}}-\sqrt{\cfrac{9}{8}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}-\cfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{2}}{3}-\cfrac{3}{2\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{2}}{3}-\cfrac{3\sqrt{2}}{4}\\ &=&\cfrac{8\sqrt{2}}{12}-\cfrac{9\sqrt{2}}{12}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{2}}{12} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& 6\sqrt{48}\div\sqrt{6}\div\sqrt{12}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{48}}{\sqrt{6}\times\sqrt{12}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{6}}{3}\\ &=&2\sqrt{6} \end{eqnarray*}

$\qquad$⑦ $x^2-12xy+36y^2$ を因数分解しなさい。

答え
$(x-6y)^2$

$\qquad$⑧ 方程式  $2x-3y=3x-4y+2=7$  を解きなさい。

答え
$x=-13,y=-11$

POINT

 まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくって整理し、②とします。①の式と②の式を連立させ、$x$ の係数をそろえて加減法で解きます。
\begin{eqnarray*} && \ 2x-3y=3x-4y+2=7 \end{eqnarray*} $まんなかをかくした式をたてる$ \begin{eqnarray*} 2x-3y&=&7\quad…① \end{eqnarray*} $左側をかくした式をたてて整理する$ \begin{eqnarray*} 3x-4y+2&=&7\\ 3x-4y&=&5\quad…② \end{eqnarray*} $①と②を連立させる$ \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=7\quad…①\\ 3x-4y=5\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times3 \ - \ ②\times2$ \begin{eqnarray*} 6x-9y=21\\ \underline{-) \quad 6x-8y=10}\\ -y=11\\ y=-11 \end{eqnarray*} $y=-11を①に代入$ \begin{eqnarray*} 2x-3\times(-11)&=&7\\ 2x+33&=&7\\ 2x&=&-26\\ x&=&-13 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-13\\ y=-11 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\qquad$⑨  $2$ 次方程式  $4x^2-14=0$  を解きなさい。

答え
$x=\pm\cfrac{\sqrt{14}}{2}$

POINT

\begin{eqnarray*} 4x^2-14&=&0 \quad(\div2)\\ 2x^2-7&=&0 \\ 2x^2&=&7 \\ x^2&=&\cfrac{7}{2}\\ x&=&\pm \sqrt{\cfrac{7}{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{14}}{2} \end{eqnarray*}

$\huge{2}$ 次の①~③の各問いに答えなさい。

$①$ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-5$ のとき $y=-\cfrac{15}{2}$ である。$x=-2$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え
$y=-\cfrac{6}{5}$

POINT

$y=ax^2$ に $x=-5$ , $y=-\cfrac{15}{2}$ を代入すると、 \begin{eqnarray*} -\cfrac{15}{2}&=&a×(-5)^2\\ -\cfrac{15}{2}&=&25a\qquad\qquad(\times2)\\ -15&=&50a\\ -\cfrac{15}{50}&=&a\\ -\cfrac{3}{10}&=&a \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{3}{10}$ というふうに、 $a$ が求められました。$y=ax^2$ に $a=-\cfrac{3}{10}$ を代入して、 $$y=-\cfrac{3}{10}x^2$$ この式に $x=-2$ を代入して、
$y=-\cfrac{3}{10}×(-2)^2=-\cfrac{3}{{}^5\bcancel{10}}×{}^2\bcancel{4}=-\cfrac{6}{5}$

$②$ 関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $-4$ から $3$ まで増加するときの、変化の割合が $-1$ である。$a$ の値を求めなさい。

答え
$a=1$

POINT

関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は $$(p+q)\times a=変化の割合$$ を利用します。この問題の場合は、 $$(-4+3)\times a=-1$$ となります。あとはこれを解くだけ。 \begin{eqnarray*} (-4+3)\times a&=&-1\\ -a&=&-1\\ a&=&1 \end{eqnarray*}

$③$ 関数 $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ について、$x$ の変域が $-\cfrac{7}{2} \leqq x \leqq 3$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。

答え
$-\cfrac{49}{8} \leqq y \leqq 0$

POINT

「関数 $y=ax^2$ について、$x$ の変域が $p \leqq x \leqq q$ のとき、$y$ の変域を求めなさい」ときかれたら、

<手順①>まず $p \leqq x \leqq q$ が $0$ をまたいでいるかを確認します。この問題の場合は、 $-\cfrac{7}{2} \leqq x \leqq 3$ なのでまたいでいます。

<手順②>またいでいるときは、 $y=ax^2$ の $a$ の符号を確認します。
$a$ がプラスの時は、答えの形は $0 \leqq y \leqq 〇$ です。
$a$ がマイナスの時は、答えの形は $〇 \leqq y \leqq 0$ です。
〇のところには数がはいります。
この問題の場合は、$a$ はマイナスです。

<手順③>〇のところにはいる数は、 $p \leqq x \leqq q$ の $p$ と $q$ のうち、$0$ から遠いほうを $y=ax^2$ の $x$ に代入してでてきた数です。
この問題の場合は、$-\cfrac{7}{2} \leqq x \leqq 3$ ですから $0$ から遠いのは $-\cfrac{7}{2}$ です。$-\cfrac{7}{2}$ を $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ の $x$ に代入して、 \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{1}{2}\times\left(-\cfrac{7}{2}\right)^2\\ &=&-\cfrac{1}{2}\times\cfrac{49}{4}\\ &=&-\cfrac{49}{8} \end{eqnarray*} なので答えは $$-\cfrac{49}{8} \leqq y \leqq 0$$

$\huge{3}$ 下の図のなかから、相似な三角形の組を見つけ、記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。 三角形

答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle RQP$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle JKL$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle NMO$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。

POINT

対応する辺や角に注意する。


三角形 $\huge{4}$ 右の図で、$\angle ACB=\angle DAB$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$を証明しなさい。




答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle ACB=\angle DAB$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$

POINT

三角形 対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。

$\huge{5}$ 下の①~⑤の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、①~⑤まで、すべて $\ DE /\!/ BC$ とする。 三角形

答え
① $x=12, \ y=\cfrac{9}{2}$
② $x=8, \ y=\cfrac{34}{3}$
③ $x=7, \ y=16$
④ $x=\cfrac{35}{13}, \ y=\cfrac{252}{13}$
⑤ $x=10, \ y=\cfrac{49}{5}$

三角形と比の定理

三角形 $\triangle ABC$ で、辺 $AB, \ AC$ 上の点をそれぞれ $D, \ E$ とする。
1 $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:AB=AE:AC=DE:BC$

2 $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:DB=AE:EC$

POINT

※すべて上の定理を利用しています。以下のやり方は一例です。このほかにもいろんな式のたて方があります。 三角形 \begin{eqnarray*} ① 12:18&=&x:18\\ x&=&12 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 9:y&=&12:18-12\\ 9:y&=&12:6\\ 9:y&=&2:1\\ 2y&=&9\\ y&=&\cfrac{9}{2} \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} ② 12:18&=&x:12\\ 2:3&=&x:12\\ 3x&=&24\\ x&=&8 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 12:18&=&y:17\\ 2:3&=&y:17\\ 3y&=&y:34\\ y&=&\cfrac{34}{3} \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} ③ 6:12&=&x:14\\ 1:2&=&x:14\\ x&=&7 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 6:12&=&8:y\\ 1:2&=&8:y\\ y&=&16 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ④ 13:5&=&7:x\\ 13x&=&35\\ x&=&\cfrac{35}{13} \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} 13:13+5&=&14:y\\ 13:18&=&14:y\\ 13y&=&252\\ y&=&\cfrac{252}{13} \end{eqnarray*} 三角形 \begin{eqnarray*} ⑤ 12:5&=&14+x:x\\ 12x&=&5(14+x)\\ 12x&=&70+5x\\ 12x-5x&=&70\\ 7x&=&70\\ x&=&10 \end{eqnarray*} ($x=10$ を利用して) \begin{eqnarray*} 14:10&=&y:7\\ 7:5&=&y:7\\ 5y&=&49\\ y&=&\cfrac{49}{5} \end{eqnarray*}

$\huge{6}$  下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$\angle BAD=\angle CAD$ とする。 三角形

答え
① $x=\cfrac{45}{7}$ ② $x=\cfrac{64}{9}$

三角形の角の二等分線と比の定理

三角形 $\triangle ABC$ で、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると、

 $\quad AB:AC=BD:CD$

POINT

上の定理を利用します。
三角形 ① \begin{eqnarray*} 9:12&=&x:15-x\\ 3:4&=&x:15-x\\ 4x&=&3(15-x)\\ 4x&=&45-3x\\ 4x+3x&=&45\\ 7x&=&45\\ x&=&\cfrac{45}{7} \end{eqnarray*} 三角形 ② \begin{eqnarray*} 12:15&=&x:16-x\\ 4:5&=&x:16-x\\ 5x&=&4(16-x)\\ 5x&=&64-4x\\ 5x+4x&=&64\\ 9x&=&64\\ x&=&\cfrac{64}{9} \end{eqnarray*}

$\huge{7}$   下の①,②の図で、$x$ の値を求めなさい。③,④の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、どの図も$\ l /\!/ m /\!/ n$ とする。 三角形

答え
① $x=6$ ② $x=\cfrac{32}{9}$ ③ $x=18, \ y=16$ ④$x=6, \ y=\cfrac{58}{7}$

平行線と線分の比の定理

三角形 $3$ つ以上の平行線に、$1$ つの直線がどのように交わっても、その直線は平行線によって一定の比に分けられる。



POINT

三角形 ① \begin{eqnarray*} 8:4&=&x:3\\ 2:1&=&x:3\\ x&=&6 \end{eqnarray*} 三角形 ② \begin{eqnarray*} 4:9&=&x:8\\ 9x&=&32\\ x&=&\cfrac{32}{9} \end{eqnarray*} 三角形 ③ \begin{eqnarray*} 7:14&=&6:x-6\\ 1:2&=&6:x-6\\ x-6&=&12\\ x&=&12+6\\ x&=&18 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 7:14&=&8:y\\ 1:2&=&8:y\\ y&=&16 \end{eqnarray*} 三角形 ④ \begin{eqnarray*} 6:8&=&4.5:x\\ 3:4&=&4.5:x\\ 3x&=&18\\ x&=&6 \end{eqnarray*} 〈$y$ の求め方〉 右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。 \begin{eqnarray*} 6:6+8&=&y-7:10-7\\ 6:14&=&y-7:3\\ 3:7&=&y-7:3\\ 7(y-7)&=&9\\ 7y-49&=&9\\ 7y&=&9+49\\ 7y&=&58\\ y&=&\cfrac{58}{7} \end{eqnarray*}

$\huge{8}$  下の①,②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①の図は $\ AD /\!/ EF /\!/ BC$ , ②の図は $\ AB /\!/ EF /\!/ CD$ とする。 三角形

答え
① $x=10$ ② $x=3$

POINT

三角形 ①右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。 \begin{eqnarray*} 8:8+16&=&x-3:21\\ 8:24&=&x-3:21\\ 1:3&=&x-3:21\\ 3(x-3)&=&21\\ 3x-9&=&21\\ 3x&=&21+9\\ 3x&=&30\\ x&=&10 \end{eqnarray*} 三角形 ②$\triangle EAB$ ∽$\ \triangle EDC$ (青いところ)で、その相似比は $4:12=1:3$ です。なので、$BE:EC=1:3$ です。
この比を、$\triangle BEF$ ∽$\ \triangle BCD$ (黄色いところ)に使って $x$ を求めていきます。 \begin{eqnarray*} 1:1+3&=&x:12\\ 1:4&=&x:12\\ 4x&=&12\\ x&=&3 \end{eqnarray*}

四角形
$\huge{9}$ 右の図で、線分 $AD,$ $BD,$ $BC,$ $AC$ の中点をそれぞれ $P,Q,R,S$ とする。四角形 $PQRS$ は平行四辺形となることを証明しなさい。

中点連結定理

中点連結定理 三角形の $2$ つの辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分である。



答え
〈証明〉
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$ …①
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、 四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。

POINT

三角形 中点連結定理を使った証明です。

青い三角形で、$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$
黄色い三角形で、$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$

$PQ$ と $SR$ は、どちらも $AB$ と平行で、長さが $AB$ の半分。したがって、$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$ となります。

平行四辺形になるための条件は $4$つありましたね(定義をふくめれば $5$つ)。その最後のやつです。「$1$ 組の対辺が平行で長さが等しい」。これでうまくいきます。


三角形
$\huge{10}$ 右の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$AD=DB, \ AE=EC=CG$ とする。

答え
$x=15$

POINT

三角形 $\triangle ABC$ で、$AD:DB=AE:EC=1:1$
中点連結定理より、$BC=2DE=20$ …①

また、$DE /\!/ BC, \ EC:CG=1:1$ だから、$DF:FG=1:1$
$\triangle DGE$ で、中点連結定理より、
$FC=\cfrac{1}{2}DE=5$ …②
①②より、$x=BC-FC=20-5=15$

三角形
$\huge{11}$ 右の図で、$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DEF$ であり、その相似比は $4:5$ である。
$\triangle ABC$ の面積が $8cm^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求めなさい。

相似な図形の面積の比

相似比が $m:n$ である $2$ つの図形の面積の比は、$m^2:n^2$ である。

答え
$\cfrac{25}{2}cm^2$

POINT

$\triangle DEF$ の面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^2:5^2&=&8:x\\ 16:25&=&8:x\\ 16x&=&25\times8\\ x&=&\cfrac{25\times8}{16}=\cfrac{25}{2} \end{eqnarray*}

三角形
$\huge{12}$ 右の図の $\triangle ABC$ で、$AD:DF:FB=3:2:1,$ $\ DE /\!/ FG /\!/ BC$ である。以下の①~③の問いに答えなさい。
$①$ $\triangle ADE$ と $\triangle AFG$ と $\triangle ABC$ の面積の比をいいなさい。

相似な図形の面積の比

相似比が $m:n$ である $2$ つの図形の面積の比は、$m^2:n^2$ である。

答え
$9:25:36$

POINT

仮定から、$\triangle ADE$ ∽$\ \triangle AFG$ ∽$\ \triangle ABC$ です。相似比は $3:5:6$ です。
なので、面積比は $3^2:5^2:6^2=9:25:36$ です。

三角形 $②$ $\triangle ADE$ の面積を $x$ とする。
台形$DFGE$ の面積を $y$ とする。
台形$FBCG$ の面積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。

答え
$9:16:11$

POINT

三角形 ①の問題の答えから、$x=9$ とすると、$\triangle AFG$ の面積は $25$ です。また、$\triangle ABC$ の面積は $36$ です。
なので、
$\quad y=25-9=16$
$\quad z=36-25=11$
なので、$x:y:z=9:16:11$

$③$ $\triangle ABC$ の面積が $30cm^2$ であるとき、台形$FBCG$ の面積を求めなさい。

答え
$\cfrac{55}{6}cm^2$

POINT

台形$FBCG$ の面積は全体($\triangle ABC$)の $\cfrac{11}{36}$ です。なので、
$\quad 30\times \cfrac{11}{36}=\cfrac{55}{6}$

三角すい
$\huge{13}$ 右の図で、三角すい$P$ と三角すい$Q$ は相似であり、その相似比は $4:5$ である。以下の①②の問いに答えなさい。


$①$ 三角すい$P$ の表面積が $32cm^2$ のとき、三角すい$Q$ の表面積を求めなさい。

相似な立体の表面積の比

相似比が $m:n$ である $2$ つの立体の表面積の比は、$m^2:n^2$ である。

答え
$50cm^2$

POINT

$Q$ の表面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^2:5^2&=&32:x\\ 16:25&=&32:x\\ 16x&=&25\times 32\\ x&=&\cfrac{25\times32}{16}=50 \end{eqnarray*}

$②$ 三角すい$P$ の体積が $128cm^3$ のとき、三角すい$Q$ の体積を求めなさい。

相似な立体の体積の比

相似比が $m:n$ である $2$ つの立体の体積の比は、$m^3:n^3$ である。

答え
$250cm^3$

POINT

$Q$ の体積を $y$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^3:5^3&=&128:y\\ 64:125&=&128:y\\ 64y&=&125\times128\\ y&=&\cfrac{125\times128}{64}=250 \end{eqnarray*}

放物線 $\huge{14}$ 右の図のように、関数$y=ax^2$ のグラフと直線 $l$ が $2$ 点 $A$,$B$ で交わっていて、点 $B$ の座標は $(2, \ 4)$ である。直線 $l$ と $x$ 軸との交点を $C$ とする。$AB:BC=5:4$ であるとき、以下の $(1)~(4)$ の問いに答えなさい。

$(1)$ $a$ の値を求めなさい。

答え
$a=1$

POINT

$y=ax^2$ に、$x=2, \ y=4$ を代入して、$a$ を求めればよいです。
\begin{eqnarray*} 4&=&a\times2^2\\ 4&=&4a\\ 1&=&a\\ \end{eqnarray*}

$(2)$ 点 $A$ の座標を求めなさい。

答え
$(-3, \ 9)$

POINT

放物線と直線 右の図のように、点 $A, \ B$ から $x$ 軸へ垂線をおろし、その交点をそれぞれ $D, \ E$ とします。$ AD /\!/ BE$ ですから、$\triangle CAD$ ∽$\ \triangle CBE$ になります。
こんなふうに、この問題は三角形の相似を利用して考えます。




$AB:BC=5:4$ なのですから、$AC:BC=9:4$ です。なので、$\triangle CAD$ と $\triangle CBE$ の相似比は、$9:4$ です。
なので、$AD:BE=9:4$ となります。





点 $B$ の $y$ 座標は $4$ なのですから、$BE=4$ です。なので、$AD=9$ となります。点 $A$ の $y$ 座標は、$9$ です。

次に $x$ 座標を求めます。$(1)$ の問題で、この放物線の式は $y=x^2$ だということがわかっています。この式に $y=9$ を代入して、 \begin{eqnarray*} 9&=&x^2\\ \pm\sqrt{9}&=&x\\ \pm3&=&x\\ \end{eqnarray*} $x\lt0$ ですから、$x=-3$ です。

$(3)$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。

答え
$15$

POINT 放物線と直線

この三角形の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。赤のほうは、点 $D$ と 点 $E$ の $x$ 座標はそれぞれ $-3, \ 2$ なので、長さは $5$ です。
このように赤の長さはすぐにわかるですが、緑のほうは、直線 $l$ の $y$ 切片を求める必要があります。
直線 $l$ の式は、点 $(-3, \ 9), \ (2, \ 4)$ の $2$ 点を通る直線の式、ということで求めていきます。 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{4-9}{2-(-3)}\\ &=&\cfrac{-5}{5}\\ &=&-1 \end{eqnarray*} $y=-x+b$ に $x=2, \ y=4$ を代入する \begin{eqnarray*} 4&=&-2+b\\ 4+2&=&b\\ 6&=&b \end{eqnarray*} これで直線 $l$ の $y$ 切片は $6$ だとわかりました。
なのでこの問題の答えは $$\triangle OAB=5\times6\times\cfrac{1}{2}=15$$ この三角形の面積が、なぜ「赤×緑×$\cfrac{1}{2}$」とすればうまくいくのかがわからないときは、下の説明ボタンを押して考えてみてください。

$(4)$ 点 $A$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。

答え
$y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4}$

POINT

中線 <中線>
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。

<中点>
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。「中点は、足して $2$ で割る」。わりとよく使う知識なので、おぼえちゃったほうが話が早いです。
この問題の場合は、点 $O$ と 点 $B$ の中点の座標を知りたいわけです。点 $O$ の座標は $(0, \ 0),$ 点 $B$ の座標は $(2, \ 4)$ です。なのでその中点の座標は、 \begin{eqnarray*} &&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{0+2}{2}, \ \cfrac{0+4}{2}\right)\\ &=&(1, \ 2) \end{eqnarray*} となります。中点 $M$ の座標は $(1, \ 2)$ です。

中線 では答えをだしていきましょう。もう一回おなじ図をはっておきます。点 $A(-3, \ 9)$ と点 $M(1, \ 2)$ を通る直線の式を求めればよいです。図の青い線です。
直線の式を求めるときは、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ に $2$ 点 $A(-3, \ 9)$ と $M(1, \ 2)$ をあてはめて、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{2-9}{1-(-3)}\\ &=&-\cfrac{7}{4} \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{7}{4}$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=-\cfrac{7}{4}x+b$$ この式に、$x=1, \ y=2$ を代入して $b$ を求めます。 \begin{eqnarray*} 2&=&-\cfrac{7}{4}+b\\ 2+\cfrac{7}{4}&=&b\\ \cfrac{8}{4}+\cfrac{7}{4}&=&b\\ \cfrac{15}{4}&=&b \end{eqnarray*} これで、$a=-\cfrac{7}{4}, \ b=\cfrac{15}{4}$ だとわかりました。答えは $$y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4}$$


 答え(中3 2学期期末模擬テスト 第2回) 

1$①-6$ $②11$ $③\cfrac{1}{12}$ $④7x-12y$ $⑤-\cfrac{\sqrt{2}}{12}$ $⑥2\sqrt{6}$ $⑦(x-6y)^2$ $⑧x=-13, \ y=-11$ $⑨x=\pm\cfrac{\sqrt{14}}{2}$

2$①y=-\cfrac{6}{5}$ $②a=1$ $③-\cfrac{49}{8} \leqq y \leqq 0$

3$\triangle ABC$ ∽$\triangle RQP$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle JKL$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle NMO$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。

4〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle ACB=\angle DAB$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$

5① $x=12, \ y=\cfrac{9}{2}$
② $x=8, \ y=\cfrac{34}{3}$
③ $x=7, \ y=16$
④ $x=\cfrac{35}{13}, \ y=\cfrac{252}{13}$
⑤ $x=10, \ y=\cfrac{49}{5}$

6$①x=\cfrac{45}{7}$ $②x=\cfrac{64}{9}$

7$①x=6$ $②x=\cfrac{32}{9}$ $③x=18, \ y=16$ $④x=8, \ y=\cfrac{58}{7}$

8$①x=10$ $②x=3$

9〈証明〉
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$ …①
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、 四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。

10 $x=15$

11 $\cfrac{25}{2}cm^2$

12 $①9:25:36$ $②9:16:11$ $③\cfrac{55}{6}cm^2$

13 $①50cm^2$ $②250cm^3$

14 (1)$a=1$ (2)$ \ (-3, \ 9)$ (3)$15$ (4)$y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4}$

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saijuku0222