才塾 定期テスト対策

数学 中3夏期講習 第1回 方程式の文章題

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$1$~$15$ は練習問題です。$5$ 問が $1$ セットで、これを $3$ 周する感じです。$16$~ が実戦問題です。
問題をクリックすると答えがでます。

$\huge{1}$  個数を求める問題

 $1$ 個 $80$ のりんごと、$1$ 個 $30$ 円のみかんをあわせて $13$ 個買い、全部で $740$ 円はらった。りんごとみかんはそれぞれ何個ずつ買ったか。

答え
りんご…$7$個 みかん…$6$個

POINT

りんごを $x$ 個、みかんを $y$ 個買ったことにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、りんごとみかんをあわせて $13$ 個買ったのですから、 $$x+y=13$$ $2$ つ目の式は、金額で式をたてます。あわせて $740$ 円はらったのですから、 $$80x+30y=740$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=13\quad…①\\ 80x+30y=740\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times3 \ - \ ②\div10$ \begin{eqnarray*} 3x+3y=\phantom{-}39\\ \underline{-) \quad 8x+3y=\phantom{-}74}\\ -5x\phantom{+3y}=-35\\ x=7\phantom{-2} \end{eqnarray*} $x=7を①に代入$ \begin{eqnarray*} 7+y&=&13\\ y&=&6 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=7\\ y=6 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ※かならず、きかれていることに答えましょう。$x=7, \ y=6$ なんて答えてしまったら、マルになりません。りんご $7$ 個、みかん $6$ 個と答えましょう。



$\huge{2}$  金額を求める問題

 梨 $2$ 個と柿 $5$ 個で $640$ 円、梨 $3$ 個と柿 $2$ 個で $520$ 円である。梨と柿の $1$ 個の値段はそれぞれいくらか。

答え
梨…$120$円 柿…$80$円

POINT

梨 $1$ 個 $x$ 円、柿 $1$ 個 $y$ 円とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、梨 $2$ 個と柿 $5$ 個で $640$ 円ですから、 $$2x+5y=640$$ $2$ つ目の式は、梨 $3$ 個と柿 $2$ 個で $520$ 円ですから、 $$3x+2y=520$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 2x+5y=640\quad…①\\ 3x+2y=520\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$①\times3 \ - \ ②\times2$ \begin{eqnarray*} 6x+15y=1920\\ \underline{-) \quad 6x+\phantom{1}4y=1040}\\ 11y=\phantom{1}880\\ y=80\phantom{12} \end{eqnarray*} $y=80を①に代入$ \begin{eqnarray*} 2x+5\times(80)&=&640\\ 2x+400&=&640\\ 2x&=&240\\ x&=&120 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=120\\ y=80 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{3}$  途中で速さが変わる問題

 $A$ 地点から $C$ 地点まで $48.5km$ の道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは時速 $7km$ で進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは時速 $3km$ で進んだところ、全部で $9$ 時間 $30$ 分かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。

答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$35km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$\cfrac{27}{2}km(13.5km)$

POINT

$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xkm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ykm$ とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $48.5km$ ですから、 $$x+y=48.5$$ $2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $9$ 時間 $30$ 分で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、 $$\cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{3}=9\cfrac{30}{60}$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=48.5\quad…①\\ \cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{3}=9\cfrac{30}{60}\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①の小数をなくす\\ \begin{eqnarray*} \qquad10x+10y&=&485\quad \class{mathbg-r}{(両辺を5で割る)}\\ 2x+2y&=&97\quad…③ \end{eqnarray*} $

$②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad\cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{3}&=&9\cfrac{30}{60}\\ \cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{3}&=&9\cfrac{1}{2}\\ \cfrac{x}{7}+\cfrac{y}{3}&=&\cfrac{19}{2}\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times42)}\\ 6x+14y&=&399\quad…④ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$③\times3 \ - \ ④$ \begin{eqnarray*} 6x+\phantom{1}6y=\phantom{-}291\\ \underline{-) \quad 6x+14y=\phantom{-}399}\\ -8y=-108\\ y=\phantom{-}\cfrac{108}{8}\\ =\phantom{-}\cfrac{27}{2}\phantom{-} \end{eqnarray*} $y=\cfrac{27}{2}を③に代入$ \begin{eqnarray*} 2x+2\times\left(\cfrac{27}{2}\right)&=&97\\ 2x+27&=&97\\ 2x&=&70\\ x&=&35 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=35\\ y=\cfrac{27}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{4}$  食塩水をまぜる問題

 $8$ %の食塩水と $3$ %の食塩水をまぜて、$6$ %の食塩水を $500g$ つくりたい。$8$ %の食塩水と $3$ %の食塩水は、それぞれ何 $g$ ずつまぜればよいか。

答え
$8$ %の食塩水…$300g$
$3$ %の食塩水…$200g$

POINT

$8$ %の食塩水を $xg$、$3$ %の食塩水を $yg$ まぜることにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、食塩水全体の重さは $500g$ ですから、 $$x+y=500$$ $2$ つ目の式は、$8$ %の食塩水 $xg$ にふくまれる食塩の重さと $3$ %の食塩水 $yg$ にふくまれる食塩の重さをあわせたら、全体の食塩水 $500g$ にふくまれる食塩の重さということで式をたてます。
「食塩$=$食塩水$\times$濃度」ですから、 $$\cfrac{8}{100}x+\cfrac{3}{100}y=\cfrac{6}{100}\times500$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=500\quad…①\\ \cfrac{8}{100}x+\cfrac{3}{100}y=\cfrac{6}{100}\times500\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad8x+3y=3000\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times3 \ - \ ③$ \begin{eqnarray*} 3x+3y=\phantom{-}1500\\ \underline{-) \quad 8x+3y=\phantom{-}3000}\\ -5x\phantom{+3y}=-1500\\ x=\phantom{-0}300 \end{eqnarray*} $x=300を①に代入$ \begin{eqnarray*} 300+y&=&500\\ y&=&200 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=300\\ y=200 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{5}$  今年度の男子と女子の人数を求める問題

 ある学校の昨年度の生徒数は $850$ 人だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $8$ %減り、女子は$6$ %増えたため、$838$ 人となった。今年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

答え
男子…$414$ 人
女子…$424$ 人

POINT

さいしょにポイントがあります。昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。
ふつう、方程式の文章題はきかれたことをそのまま $x, \ y$ にするものですが、この問題は特別です。昨年度の男子女子をきかれているのなら昨年度の男子女子を $x, \ y$ にすればよいのですが、今年度の男子女子をきかれていたとしても、昨年度の男子女子を $x, \ y$ にして式をたてましょう。今年度の男子女子を $x, \ y$ にするのはやめたほうがいいです。やってみればわかるんですけど。

ということで、昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $850$ 人ですから、 $$x+y=850$$ $2$ つ目は、男子の $8$ %減と、女子の $6$ %増をあわせたら、全体としては $12$ 人減っている、ということで式をたてます。 $$-\cfrac{8}{100}x+\cfrac{6}{100}y=-12$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=850\quad…①\\ -\cfrac{8}{100}x+\cfrac{6}{100}y=-12\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad-8x+6y&=&-1200\quad \class{mathbg-r}{(両辺を2で割る)}\\ -4x+3y&=&-600\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$①\times4 \ + \ ③$ \begin{eqnarray*} 4x+4y=\phantom{-}3400\\ \underline{+) \quad -4x+3y=-600}\\ 7y=\phantom{-}2800\\ y=\phantom{-0}400 \end{eqnarray*} 昨年度の女子生徒数を $y$ ということにして、$y$ が求められました。きかれているのは、今年度の男子と女子です。女子は昨年度にくらべて、$6$ %増えているのですから、 $$400\times1.06=424$$ となって、今年度の女子生徒は $424$ 人です。
また、今年度の生徒数は全体で $838$ 人ですから、 $$838-424=414$$ となって、今年度の男子生徒は $414$ 人です。



$\huge{6}$  個数を求める問題

 $1$ 個 $120$ の柿と、$1$ 個 $150$ 円の梨をあわせて $9$ 個買い、全部で $1170$ 円はらった。柿と梨はそれぞれ何個ずつ買ったか。

答え
柿…$6$個 梨…$3$個

POINT

柿を $x$ 個、梨を $y$ 個買ったことにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、柿と梨をあわせて $9$ 個買ったのですから、 $$x+y=9$$ $2$ つ目の式は、金額で式をたてます。あわせて $1170$ 円はらったのですから、 $$120x+150y=740$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=9\quad…①\\ 120x+150y=1170\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$①\times12 \ - \ ②\div10$ \begin{eqnarray*} 12x+12y=108\\ \underline{-) \quad 12x+15y=117}\\ -3y=-9\phantom{1}\\ y=3\phantom{-2} \end{eqnarray*} $y=3を①に代入$ \begin{eqnarray*} x+3&=&9\\ x&=&6 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=6\\ y=3 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ※かならず、きかれていることに答えましょう。$x=6, \ y=3$ なんて答えてしまったら、マルになりません。柿 $6$ 個、梨 $3$ 個と答えましょう。



$\huge{7}$  金額を求める問題

 コーヒー $2$ 杯とケーキ $5$ 個で $2600$ 円、コーヒー $3$ 杯とケーキ $1$ 個で $1300$ 円である。コーヒー $1$ 杯とケーキの $1$ 個の値段はそれぞれいくらか。

答え
コーヒー…$300$円 ケーキ…$400$円

POINT

コーヒー $1$ 杯 $x$ 円、ケーキ $1$ 個 $y$ 円とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、コーヒー $2$ 杯とケーキ $5$ 個で $2600$ 円ですから、 $$2x+5y=2600$$ $2$ つ目の式は、コーヒー $3$ 杯とケーキ $1$ 個で $1300$ 円ですから、 $$3x+y=1300$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 2x+5y=2600\quad…①\\ 3x+y=1300\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times3 \ - \ ②\times5$ \begin{eqnarray*} 2x+5y=\phantom{-}2600\\ \underline{-) \quad 15x+5y=\phantom{-}6500}\\ -13x\phantom{+5y}=-3900\\ x=300\phantom{12} \end{eqnarray*} $x=300を②に代入$ \begin{eqnarray*} 3\times(300)+y&=&1300\\ 900+y&=&1300\\ y&=&400 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=300\\ y=400 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{8}$  途中で速さが変わる問題

 $A$ 地点から $C$ 地点まで $76km$ の道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは時速 $20km$ で進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは時速 $10km$ で進んだところ、全部で $4$ 時間 $36$ 分かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。

答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$60km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$16km$

POINT

$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xkm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ykm$ とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $76km$ ですから、 $$x+y=76$$ $2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $4$ 時間 $36$ 分で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、 $$\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}=4\cfrac{36}{60}$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=76\quad…①\\ \cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}=4\cfrac{36}{60}\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}&=&4\cfrac{36}{60}\\ \qquad\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}&=&4\cfrac{3}{5}\\ \cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}&=&\cfrac{23}{5}\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times20)}\\ x+2y&=&92\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ を消去します。

$③ \ - \ ①$ \begin{eqnarray*} x+2y=92\\ \underline{-) \quad x+\phantom{2}y=76}\\ y=16\\ \end{eqnarray*} $y=16を①に代入$ \begin{eqnarray*} x+16&=&76\\ x&=&60 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=60\\ y=16 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{9}$  食塩水をまぜる問題

 $10$ %の食塩水と $5$ %の食塩水をまぜて、$8$ %の食塩水を $400g$ つくりたい。$10$ %の食塩水と $5$ %の食塩水は、それぞれ何 $g$ ずつまぜればよいか。

答え
$10$ %の食塩水…$240g$
$\phantom{1}5$ %の食塩水…$160g$

POINT

$10$ %の食塩水を $xg$、$5$ %の食塩水を $yg$ まぜることにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、食塩水全体の重さは $400g$ ですから、 $$x+y=400$$ $2$ つ目の式は、$10$ %の食塩水 $xg$ にふくまれる食塩の重さと $5$ %の食塩水 $yg$ にふくまれる食塩の重さをあわせたら、全体の食塩水 $400g$ にふくまれる食塩の重さということで式をたてます。
「食塩$=$食塩水$\times$濃度」ですから、 $$\cfrac{10}{100}x+\cfrac{5}{100}y=\cfrac{8}{100}\times400$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=400\quad…①\\ \cfrac{10}{100}x+\cfrac{5}{100}y=\cfrac{8}{100}\times400\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad10x+5y&=&3200\quad \class{mathbg-r}{(両辺を5で割る)}\\ 2x+y&=&640\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ を消去します。

$③ \ - ①$ \begin{eqnarray*} 2x+y=640\\ \underline{-) \quad x+y=400}\\ x\phantom{+3y}=240 \end{eqnarray*} $x=240を①に代入$ \begin{eqnarray*} 240+y&=&400\\ y&=&160 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=240\\ y=160 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{10}$  今年度の男子と女子の人数を求める問題

 ある学校の昨年度の生徒数は $480$ 人だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $6$ %増え、女子は$10$ %減ったため、$472$ 人となった。今年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

答え
男子…$265$ 人
女子…$207$ 人

POINT

さいしょにポイントがあります。昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。
ふつう、方程式の文章題はきかれたことをそのまま $x, \ y$ にするものですが、この問題は特別です。昨年度の男子女子をきかれているのなら昨年度の男子女子を $x, \ y$ にすればよいのですが、今年度の男子女子をきかれていたとしても、昨年度の男子女子を $x, \ y$ にして式をたてましょう。今年度の男子女子を $x, \ y$ にするのはやめたほうがいいです。やってみればわかるんですけど。

ということで、昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $480$ 人ですから、 $$x+y=480$$ $2$ つ目は、男子の $6$ %増と、女子の $10$ %減をあわせたら、全体としては $8$ 人減っている、ということで式をたてます。 $$\cfrac{6}{100}x-\cfrac{10}{100}y=-8$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=480\quad…①\\ \cfrac{6}{100}x-\cfrac{10}{100}y=-8\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad6x-10y&=&-800\quad \class{mathbg-r}{(両辺を2で割る)}\\ 3x-5y&=&400\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times5 \ + \ ③$ \begin{eqnarray*} 5x+5y=2400\\ \underline{+) \quad 3x-5y=-400}\\ 8x\phantom{+55y}=2000\\ x=250\phantom{-} \end{eqnarray*} 昨年度の男子生徒数を $x$ ということにして、$x$ が求められました。きかれているのは、今年度の男子と女子です。男子は昨年度にくらべて、$6$ %増えているのですから、 $$250\times1.06=265$$ となって、今年度の男子生徒は $265$ 人です。
また、今年度の生徒数は全体で $472$ 人ですから、 $$472-265=207$$ となって、今年度の女子生徒は $207$ 人です。



$\huge{11}$  個数(枚数)を求める問題

 $10$ 円玉と、$50$ 円玉があわせて $21$ 枚あり、合計金額は $450$ 円である。$10$ 円玉と $50$ 円玉はそれぞれ何枚ずつあるか。

答え
$10$円玉…$15$枚 $50$円玉…$6$枚

POINT

$10$ 円玉が $x$ 枚、$50$ 円玉が $y$ 枚あることにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、$10$ 円玉と $50$ 円玉 はあわせて $21$ 枚あるのですから、 $$x+y=21$$ $2$ つ目の式は、金額で式をたてます。あわせて $450$ 円なのですから、 $$10x+50y=450$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=21\quad…①\\ 10x+50y=450\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$① \ - \ ②\div10$ \begin{eqnarray*} x+\phantom{5}y=\phantom{-}21\\ \underline{-) \quad x+5y=\phantom{-}45}\\ -4y=-24\\ y=6\phantom{-2} \end{eqnarray*} $y=6を①に代入$ \begin{eqnarray*} x+6&=&21\\ x&=&15 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=15\\ y=6 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ※かならず、きかれていることに答えましょう。$x=15, \ y=6$ なんて答えてしまったら、マルになりません。$10$ 円玉が $15$ 枚、$50$ 円玉が $6$ 枚と答えましょう。



$\huge{12}$  金額を求める問題

 ある施設では、大人 $3$ 人と子供 $2$ 人で入場料の合計が $1700$ 円、大人 $4$ 人と子供 $5$ 人で入場料の合計が $2850$ 円である。大人 $1$ 人と子供 $1$ 人の入場料はそれぞれいくらか。

答え
大人…$400$円 子供…$250$円

POINT

大人 $1$ 人 $x$ 円、子供 $1$ 人 $y$ 円とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、大人 $3$ 人と子供 $2$ 人で $1700$ 円ですから、 $$3x+2y=1700$$ $2$ つ目の式は、大人 $4$ 人と子供 $5$ 人で $2850$ 円ですから、 $$4x+5y=2850$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=1700\quad…①\\ 4x+5y=2850\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。

$①\times4 \ - \ ②\times3$ \begin{eqnarray*} 12x+\phantom{1}8y=\phantom{-}6800\\ \underline{-) \quad 12x+15y=\phantom{-}8550}\\ -7y=-1750\\ y=250\phantom{12} \end{eqnarray*} $y=250を①に代入$ \begin{eqnarray*} 3x+2\times(250)&=&1700\\ 3x+500&=&1700\\ 3x&=&1200\\ x&=&400 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=400\\ y=250 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{13}$  途中で速さが変わる問題

 $A$ 地点から $C$ 地点まで $335km$ の道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは時速 $30km$ で進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは時速 $70km$ で進んだところ、全部で $6$ 時間 $30$ 分かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。

答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$90km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$245km$

POINT

$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xkm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ykm$ とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $335km$ ですから、 $$x+y=335$$ $2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $6$ 時間 $30$ 分で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、 $$\cfrac{x}{30}+\cfrac{y}{70}=6\cfrac{30}{60}$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=335\quad…①\\ \cfrac{x}{30}+\cfrac{y}{70}=6\cfrac{30}{60}\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad\cfrac{x}{30}+\cfrac{y}{70}&=&6\cfrac{30}{60}\\ \qquad\cfrac{x}{30}+\cfrac{y}{70}&=&6\cfrac{1}{2}\\ \cfrac{x}{30}+\cfrac{y}{70}&=&\cfrac{13}{2}\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times210)}\\ 7x+3y&=&1365\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ を消去します。

$③ \ - \ ①\times3$ \begin{eqnarray*} 7x+3y=1365\\ \underline{-) \quad 3x+3y=1005}\\ 4x\phantom{+3y}=\phantom{0}360\\ x=90\phantom{00} \end{eqnarray*} $x=90を①に代入$ \begin{eqnarray*} 90+y&=&335\\ y&=&245 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=90\\ y=245 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{14}$  食塩水をまぜる問題

 $12$ %の食塩水と $7$ %の食塩水をまぜて、$10$ %の食塩水を $150g$ つくりたい。$12$ %の食塩水と $7$ %の食塩水は、それぞれ何 $g$ ずつまぜればよいか。

答え
$12$ %の食塩水…$90g$
$\phantom{1}7$ %の食塩水…$60g$

POINT

$12$ %の食塩水を $xg$、$7$ %の食塩水を $yg$ まぜることにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、食塩水全体の重さは $150g$ ですから、 $$x+y=150$$ $2$ つ目の式は、$12$ %の食塩水 $xg$ にふくまれる食塩の重さと $7$ %の食塩水 $yg$ にふくまれる食塩の重さをあわせたら、全体の食塩水 $150g$ にふくまれる食塩の重さということで式をたてます。
「食塩$=$食塩水$\times$濃度」ですから、 $$\cfrac{12}{100}x+\cfrac{7}{100}y=\cfrac{10}{100}\times150$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=150\quad…①\\ \cfrac{12}{100}x+\cfrac{7}{100}y=\cfrac{10}{100}\times150\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad12x+7y&=&1500\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ を消去します。

$③ \ - ①\times7$ \begin{eqnarray*} 12x+7y=1500\\ \underline{-) \quad 7x+7y=1050}\\ 5x\phantom{+3y}=\phantom{0}450\\ x=90\phantom{3y} \end{eqnarray*} $x=90を①に代入$ \begin{eqnarray*} 90+y&=&150\\ y&=&60 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=90\\ y=60 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{15}$  今年度の男子と女子の人数を求める問題

 ある学校の昨年度の生徒数は $530$ 人だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $6$ %減り、女子は$5$ %増えたため、$529$ 人となった。今年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

答え
男子…$235$ 人
女子…$294$ 人

POINT

さいしょにポイントがあります。昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。
ふつう、方程式の文章題はきかれたことをそのまま $x, \ y$ にするものですが、この問題は特別です。昨年度の男子女子をきかれているのなら昨年度の男子女子を $x, \ y$ にすればよいのですが、今年度の男子女子をきかれていたとしても、昨年度の男子女子を $x, \ y$ にして式をたてましょう。今年度の男子女子を $x, \ y$ にするのはやめたほうがいいです。やってみればわかるんですけど。

ということで、昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $530$ 人ですから、 $$x+y=530$$ $2$ つ目は、男子の $6$ %減と、女子の $5$ %増をあわせたら、全体としては $1$ 人減っている、ということで式をたてます。 $$-\cfrac{6}{100}x+\cfrac{5}{100}y=-1$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=530\quad…①\\ -\cfrac{6}{100}x+\cfrac{5}{100}y=-1\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad-6x+5y&=&-100\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times5 \ + \ ③$ \begin{eqnarray*} 5x+5y=2650\\ \underline{-) \quad -6x+5y=-100}\\ 11x\phantom{+55y}=2750\\ x=250\phantom{0} \end{eqnarray*} 昨年度の男子生徒数を $x$ ということにして、$x$ が求められました。きかれているのは、今年度の男子と女子です。男子は昨年度にくらべて、$6$ %減っているのですから、 $$250\times0.94=235$$ となって、今年度の男子生徒は $235$ 人です。
また、今年度の生徒数は全体で $529$ 人ですから、 $$529-235=294$$ となって、今年度の女子生徒は $294$ 人です。



ここから先は実戦問題です。本番では、ここまで練習してきたのとおなじようなパターンの問題がでることもありますが、そうではないこともあります。どっちが多いかって? そりゃ「そうではない」ほうが多いっす。その場その場で考えなければいかんです。がんばって!



<実戦問題>

$\huge{16}$

 $A$ 地点から $24km$ 離れた $B$ 地点へ行くのに、はじめは時速 $12km$ で走り、途中から時速 $6km$ で歩いたら、全部で $3$ 時間 $30$ 分かかった。走った道のりを求めなさい。

答え
$6km$

POINT

走った道のりを $xkm$、歩いた道のりを $ykm$ とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $24km$ ですから、 $$x+y=24$$ $2$ つ目の式は、走った時間と 歩いた時間をあわせたら $3$ 時間 $30$ 分で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、 $$\cfrac{x}{12}+\cfrac{y}{6}=3\cfrac{30}{60}$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=24\quad…①\\ \cfrac{x}{12}+\cfrac{y}{6}=3\cfrac{30}{60}\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} \qquad\cfrac{x}{12}+\cfrac{y}{6}&=&3\cfrac{30}{60}\\ \qquad\cfrac{x}{12}+\cfrac{y}{6}&=&3\cfrac{1}{2}\\ \cfrac{x}{12}+\cfrac{y}{6}&=&\cfrac{7}{2}\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times12)}\\ x+2y&=&42\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$x$ を消去します。

$② \ - \ ①$ \begin{eqnarray*} x+2y=42\\ \underline{-) \quad x+\phantom{2}y=24}\\ y=18\\ \end{eqnarray*} $y=18を①に代入$ \begin{eqnarray*} x+18&=&24\\ x&=&24-18=6 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=6\\ y=18 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{17}$

 高校生と中学生と小学生、合わせて $50$ 人である施設に行った。$1$ 人あたりの施設の入場料は、下の表の通りである。入場料の総額が $10400$ 円で、小学生の人数が $28$ 人であるとき、中学生の人数を求めなさい。 \begin{array}{|c|c|} \hline & 入場料 \\ \hline 高校生 & 350円 \\ \hline 中学生 & 250円 \\ \hline 小学生 & 150円 \\ \hline \end{array}

答え
$15$ 人

POINT

高校生 $x$ 人、中学生 $y$ 人とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、人数です。高校生と中学生と小学生、合わせて $50$ 人ですから、 $$x+y+28=50$$ $2$ つ目の式は、入場料です。高校生 $x$ 人と中学生 $y$ 人と小学生 $28$ 人で $10400$ 円ですから、 $$350x+250y+150\times28=10400$$ この $2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y+28=50\quad…①\\ 350x+250y+150\times28=10400\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} ①を整理 \begin{eqnarray*} x+y+28&=&50\\ x+y&=&50-28\\ x+y&=&22\quad…③ \end{eqnarray*} ②を整理 \begin{eqnarray*} 350x+250y+150\times28&=&10400\\ 350x+250y+4200&=&10400\\ 350x+250y&=&10400-4200\\ 350x+250y&=&6200\quad(両辺を\div50)\\ 7x+5y&=&124\quad…④ \end{eqnarray*} ③と④を加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$③\times5 \ - \ ②$ \begin{eqnarray*} 5x+5y=110\\ \underline{-) \quad 7x+5y=124}\\ -2x\phantom{+5y}=-14\\ x=7\phantom{12} \end{eqnarray*} $x=7を③に代入$ \begin{eqnarray*} 7+y&=&22\\ y&=&22-7\\ y&=&15 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=7\\ y=15 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ※②の式を $\div50$ して解いていますが、べつに $\div50$ をしなくてもふつうに解けます。おなじ答えになります。でも、ちょっと数が大きくなって大変かも。式が割れるときは割っちゃったほうがラクなことが多いです。



$\huge{18}$

 $F$ 中学校では、牛乳パックとペットボトルの回収をしている。昨年は、牛乳パックとペットボトルを合わせて $1400$ 個集めた。今年は牛乳パックを昨年の $1.3$ 倍集め、ペットボトルは昨年と同じ個数を集めたところ、合わせて $1655$ 個になった。昨年集めた牛乳パックの個数を求めなさい。

答え
$850$ 個

POINT

昨年度の牛乳パックを $x$ 個、ペットボトルを $y$ 個ということにします。
注意点があります。ふつう、方程式の文章題はきかれたことをそのまま $x, \ y$ にするものですが、このタイプの問題は特別です。昨年度の牛乳パックやペットボトルをきかれているのだから昨年度のそれぞれの個数を $x, \ y$ にすればよいのですが、これがもし、たとえ今年度のそれぞれの個数をきかれていたとしても、昨年度のそれぞれの個数を $x, \ y$ にして式をたてましょう。もっとちゃんというと「もとになっているほう(基準になるほう)を $x, \ y$ にする」ということなんですけど、まあ、昨年度を $x, \ y$ にすると思ってればたいてい大丈夫です。今年度のそれぞれの個数を $x, \ y$ にするのはやめたほうがいいです。やってみればわかるんですけど。

ということで、昨年度の牛乳パックを $x$ 個、ペットボトルを $y$ 個ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度に回収した合計は $1400$ 個ですから、 $$x+y=1400$$ $2$ つ目は、牛乳パックの $1.3$ 倍と、昨年のペットボトルのおなじ数をあわせたら、全体としては $1655$ 個、ということで式をたてます。 $$x\times1.3+y=1655$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=1400\quad…①\\ x\times1.3+y=1655\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}

加減法で、$y$ を消去します。

$① \ - \ ③$ \begin{eqnarray*} \phantom{1.3}x+y=1400\\ \underline{-) \quad 1.3x+y=1655}\\ -0.3x\phantom{+y}=-255\\ 3x=2550\\ x=850\phantom{0}\\ \end{eqnarray*} 昨年度の牛乳パックの個数をきかれているのですから、$x$ を答えておけばOKです。ただ、テストのときは念のため、$y$ も求めて検算をしておきましょう。



$\huge{19}$

 $F$ 町で、全住宅の太陽光発電システムの設置状況について調査した。設置している住宅戸数は、設置していない住宅戸数より $10120$ 戸少なかった。また、設置している住宅戸数は、全住宅戸数の $4$ %だった。設置している住宅戸数を求めなさい。

答え
$440$ 戸

POINT

太陽光発電システムを設置している住宅戸数を $x$ 戸、設置していない住宅戸数を $y$ 戸ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、設置していない住宅戸数は、設置している住宅戸数より $10120$ 戸少ないのですから、 $$x=y-10120$$ $2$ つ目の式は、設置している住宅戸数は全住宅戸数の $4$ %ということからたてます。全住宅戸数というのは、$x+y$ で表せますから、 $$x=0.04\times(x+y)$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x=y-10120\quad…①\\ x=0.04\times(x+y)\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}
②を整理 \begin{eqnarray*} x&=&0.04\times(x+y)\quad(両辺に\times25)\\ 25x&=&x+y\\ 25x-x&=&y\\ 24x&=&y\quad(右辺と左辺をとりかえる)\\ y&=&24x\quad…③ \end{eqnarray*} 代入法で解きます。
①に③を代入 \begin{eqnarray*} x&=&24x-10120\\ x-24x&=&-10120\\ -23x&=&-10120\\ x&=&440& \end{eqnarray*} 設置している住宅戸数をきかれているのですから、$x$ を答えておけばOKです。ただ、テストのときは念のため、$y$ も求めて検算をしておきましょう。



$\huge{20}$

 ある店で、 TシャツAとTシャツBを売っている。TシャツAの定価は、TシャツBの定価より $100$ 円高い。また、それぞれを次のように販売している。

【TシャツA】$\cdots2$ 枚買うと、$2$ 枚目は定価から $980$ 円引き
【TシャツB】$\cdots3$ 枚買うと、$3$ 枚とも定価の $40$ %引き

 TシャツAを $2$ 枚買ったときの代金と、TシャツBを $3$ 枚買ったときの代金が等しいとき、TシャツAの $1$ 枚の定価を求めなさい。

答え
$4000$ 円

POINT

TシャツAの定価を $x$ 円、TシャツBの定価を $y$ 円ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、TシャツAのほうがTシャツBより $100$ 円高いのですから $$x=y+100$$ $2$ つ目の式は、TシャツAを $2$ 枚買ったときの代金と、TシャツBを $3$ 枚買ったときの代金が等しいということからたてます。
TシャツAを $2$ 枚買ったときの代金は、$2x-980$
TシャツBを $3$ 枚買ったときの代金は、$3y\times0.6$
「$40$ %引き」というのは、$\times0.6$ のことです。んで、この代金が等しいのですから、 $$2x-980=3y\times0.6$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x=y+100\quad…①\\ 2x-980=3y\times0.6\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}
代入法で解きます。
②に①を代入 \begin{eqnarray*} 2(y+100)-980&=&3y\times0.6\\ 2y+200-980&=&1.8y\\ 2y-1.8y&=&-200+980\\ 0.2y&=&780\quad(両辺に\times10)\\ 2y&=&7800\\ y&=&3900 \end{eqnarray*} $y=3900を①に代入$ \begin{eqnarray*} x&=&3900+100\\ &=&4000 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=4000\\ y=3900 \end{array} \right. \end{eqnarray*}



$\huge{21}$

 池のまわりに $1$ 周 $8000m$ のサイクリングコースがある。このコースのP地点にA君とB君がいる。A君が自転車で分速 $300m$ で走りはじめてから $3$ 分後に、B君がA君と反対回りに自転車で走りはじめた。B君が走りはじめてから $10$ 分後に $2$ 人は初めて出会った。このとき、B君の走った速さは分速何 $m$ か。

答え
分速$410m$

POINT

であう。 はじめに絵はかいといたほうがいいかもしれません。なんとなくでいいです。こんな感じかなあという絵をかいて、考えてみましょう。…しかしへたな絵だな。
んで、この問題ですが、式をたてるまでもありません。問題文をしっかり読みましょう。A君が走った時間は全部で $13$ 分です。A君の速さは分速 $300m$ ですから、A君は $3900m$ 走ったことになります。コースは $1$ 周 $8000m$ ですから、残りは $8000-3900=4100m$ です。これをB君は $10$ 分で走ったわけですから、B君の速さは、
$$4100\div10=410$$ となって、分速 $410m$ です。

この問題はこんなふうにやってしまうのがいいと思うんですが、方程式をたてて解くのもやっておきましょう。
これはふつうの $1$ 次方程式でいいです。中 $1$ のときに教わるふつうの方程式です。$x$ だけで、$y$ がでてこないやつ。あれでいきます。
B君の速さを分速 $xm$ ということにします。んで、A君の走った距離とB君の走った距離をあわせたら $8000m$ ということで式をたてます。
距離 $=$ 速さ $\times$ 時間ですから、A君の走った距離は $300\times13=3900$
B君の走った距離は $x\times10$
これを合計すると $8000m$ なのですから、 $$3900+10x=8000$$ あとは解くだけです。 \begin{eqnarray*} 3900+10x&=&8000\\ 10x&=&8000-3900\\ 10x&=&4100\\ x&=&410\\ \end{eqnarray*}



$\huge{22}$

 ある中学校の昨年度の生徒数は $445$ 人だった。今年度は、昨年度とくらべて男子が $4$ %減り、女子が $5$ %増えたため、全体としては、$2$ 人増えた。昨年度の男子の生徒数を求めなさい。

答え
$225$ 人

POINT

昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。
ふつう、方程式の文章題はきかれたことをそのまま $x, \ y$ にするものですが、この問題は…って、もういいですか? いいですよね。
では問題を解いていきます。 $1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $445$ 人ですから、 $$x+y=445$$ $2$ つ目は、男子の $4$ %減と、女子の $5$ %増をあわせたら、全体としては $2$ 人増えている、ということで式をたてます。 $$-\cfrac{4}{100}x+\cfrac{5}{100}y=2$$ この$2$ つの式を連立させて解きます。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=445\quad…①\\ -\cfrac{4}{100}x+\cfrac{5}{100}y=2\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう\\ \begin{eqnarray*} -\cfrac{4}{100}x+\cfrac{5}{100}y&=&2\quad(両辺に\times100)\\ -4x+5y&=&200\quad…③ \end{eqnarray*} $

加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times5 \ + \ ③$ \begin{eqnarray*} 5x+5y=2225\\ \underline{-) \quad -4x+5y=\phantom{2}200}\\ 9x\phantom{+55y}=2025\\ x=225\phantom{0} \end{eqnarray*} 昨年度の男子の生徒数をきかれているのですから、$x$ を答えておけばOKです。ただ、テストのときは念のため、$y$ も求めて検算をしておきましょう。



$\huge{23}$

 画用紙を、生徒 $1$ 人に $4$ 枚ずつ配ると $12$ 枚余り、生徒 $1$ 人に $5$ 枚ずつ配ろうとすると $20$ 枚足りない。生徒の人数を求めなさい。

答え
$32$人

やりかた

これはふつうの $1$ 次方程式でいいです。中 $1$ のときに教わるふつうの方程式です。あれでいきます。生徒の人数をきかれているので、生徒の人数を $x$ にします。んで、
「$4$ 枚ずつ配った時の画用紙の枚数 $=$ $5$ 枚ずつ配った時の画用紙の枚数」
という式をたてていきます。

まず、生徒 $1$ 人に $4$ 枚ずつ画用紙を配ると $12$ 余るんだから、生徒の人数を $x$ 人とすると画用紙の枚数は $4x+12$ とあらわせます。

つぎに、生徒 $1$ 人に $5$ 枚ずつ配ろうとすると $20$ 枚足りないんだから、生徒の人数を $x$ 人とすると画用紙の枚数は $5x-20$ とあらわせます。

どちらも画用紙の枚数をあらわしているんだから、じゃあそれは等しいだろうということで式をたてます。 $$4x+12=5x-20$$ ($4$ 枚ずつ配った時の画用紙の枚数)=($5$ 枚ずつ配った時の画用紙の枚数)という式です。じゃあ解きましょう。 \begin{eqnarray*} 4x+12&=&5x-20\\ 4x-5x&=&-20-12\\ -x&=&-32\\ x&=&32 \end{eqnarray*}

ところでこれ、生徒の人数ではなくて、画用紙の枚数をきかれる問題だったとしても、画用紙の枚数を $x$ にするのではなく、生徒の数を $x$ にして、まず生徒数を求めてから画用紙の数をだす、というふうにしてやったほうがぜんぜんラクです。余裕があるならためしに画用紙を $x$ 枚ということにして、「$4$ 枚ずつ配った時の生徒数$=5$ 枚ずつ配った時の生徒数」という式をたててみてください。分数になっちゃうのでちょっと大変。んで、下の「説明」は、その式についての説明のリンクです。



$\huge{24}$

 $1$ の位の数が $2$ である $2$ けたの自然数がある。この数は、十の位と一の位を入れかえてできる数の $3$ 倍から $9$ をひいた数に等しい。このとき、$2$ けたの自然数を求めなさい。

答え
$72$

POINT

これもふつうの $1$ 次方程式でいいです。中 $1$ のときに教わるふつうの方程式です。$x$ だけで、$y$ がでてこないやつ。あれでいきます。
求めたい自然数の十の位の数を $x$ とします。すると、この自然数は、$10x+2$ と表せます。

また、十の位と一の位を入れかえた数というのは、$20+x$ と表すことになります。

んで、問題でいわれているとおりに式をたてます。 $$10x+2=(20+x)\times3-9$$ あとは解くだけです。 \begin{eqnarray*} 10x+2&=&(20+x)\times3-9\\ 10x+2&=&60+3x-9\\ 10x-3x&=&60-9-2\\ 7x&=&49\\ x&=&7\\ \end{eqnarray*} 十の位の数を $x$ ということにして式をたてたんでしたね。なのでこの問題の答えは $72$ です。



$\huge{25}$

 重さが異なる $3$ 個の箱 $A, \ B, \ C$ と、重さが $130g$ の箱 $D$ がある。$A, \ B, \ C$ の $3$ 個の箱の重さは、$A, \ B, \ C$ の順に $40g$ ずつ重くなっている。また、$A, \ B, \ C, \ D$ の $4$ つの箱の重さの合計は $460g$ である。このとき、$C$ の箱の重さを求めなさい。

答え
$150g$

POINT

これもふつうの $1$ 次方程式でいいです。
$C$ の箱の重さをきかれたので、これを $x$ ということにします。すると、$A, \ B$ の箱の重さはそれぞれ、 \begin{eqnarray*} A=x-80\\ B=x-40 \end{eqnarray*} 全部の箱の合計が $460g$ ということで、$A+B+C+D=460$ という式をたてます。 $$(x-80)+(x-40)+x+130=460$$ あとは解くだけです。 \begin{eqnarray*} (x-80)+(x-40)+x+130&=&460\\ x-80+x-40+x+130&=&460\\ x+x+x&=&460+80+40-130\\ 3x&=&450\\ x&=&150\\ \end{eqnarray*}



$\huge{26}$

 ある店では先週、ホットドッグが $300$ 個売れた。今週は、ホットドッグ $1$ 個の値段を先週よりも $30$ 円値下げして売った。すると先週よりも $25$%多く売れ、ホットドッグの売り上げは先週よりも $4500$ 円増えた。このとき、先週のホットドッグ $1$ 個の値段を求めなさい。

答え
$210円$

POINT

これもふつうの $1$ 次方程式でいいです。
先週のホットドッグ $1$ 個の値段をきかれたので、これを $x$ 円ということにします。すると、今週のホットドッグ $1$ 個の値段は $(x-30)$ 円となります。

先週のホットドッグの売り上げは、$1$ 個 $x$ 円のものが $300$ 個売れたのですから、$300x$ 円です。

今週のホットドッグの売り上げは、$1$ 個 $(x-30)$ 円のものが $300\times1.25$ 個売れたのですから、$300\times1.25\times(x-30)$ 円です。

今週の売り上げは先週の売り上げより $4500$ 円多かったということで式をたてると、 \begin{eqnarray*} 300x+4500=300\times1.25\times(x-30) \end{eqnarray*} あとは解くだけです。 \begin{eqnarray*} 300x+4500&=&300\times1.25\times(x-30)\\ 300x+4500&=&375x-11250\\ 300x-375x&=&-11250-4500\\ -75x&=&-15750\\ x&=&\cfrac{15750}{75}=210\\ \end{eqnarray*}



$\huge{27}$

次のような問題がある。

 AとBが勝負がつくまでじゃんけんをする。Aが勝ったらAはおはじきを $3$ 個取る。Bが勝ったらBはおはじきを $4$ 個取る。じゃんけんの勝負を$12$ 回したとき、Aの持っているおはじきの数はBより $13$ 個少なかった。AとBがじゃんけんで勝った回数をそれぞれ求めなさい。

この問題を解くために、Aの勝った回数を $x$ 回、Bの勝った回数を $y$ 回として、連立方程式をつくる。$\boxed{\large{\ ア \ }}$ にあてはまる数と $\boxed{\large{\ イ \ }}$ にあてはまる式をそれぞれ答えなさい。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=\boxed{\large{\ ア \ }}\\ \boxed{\large{\ イ  \ }}=-13 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

答え
ア … $12$
イ … $3x-4y$

POINT

アについて
$x$ というのはAが勝った回数です。$y$ というのはBが勝った回数です。$x+y$ というのは、じゃんけんをした回数をいえばよいですから、アは $12$ です。

イについて
AとBの持っているおはじきの個数で式をたてています。Aの持っているおはじきは、$3x$ 個です。Bの持っているおはじきは $4y$ 個です。「Aの持っているおはじきの数はBより $13$ 個少ない」のですから、$3x-4y=-13$ という式ができます。

たしかめ
答えがでたあとは、たしかめをしておきましょう。実際に連立方程式を解いて、つじつまがあうかどうかの確認をすればよいです。 \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=12\quad…①\\ 3x-4y=-13\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。

$①\times4 \ + \ ②$ \begin{eqnarray*} 4x+4y=\phantom{-}48\\ \underline{+) \quad 3x-4y=-13}\\ 7x\phantom{+14y}=\phantom{-}35\\ x=\phantom{-1}5 \end{eqnarray*} ①に $x=5$ を代入 \begin{eqnarray*} 5+y&=&12\\ y&=&12-5\\ y&=&7 \end{eqnarray*} $x$ というのは、Aが勝った回数です。Aが勝ったらおはじきを $3$ 個取るのですから、$5$ 回勝ったらのならおはじきを $15$ 個持っていることになります。
$y$ というのは、Bが勝った回数です。Bが勝ったらおはじきを $4$ 個取るのですから、$7$ 回勝ったらのならおはじきを $28$ 個持っていることになります。
すると、Aのほうが $13$ 個少なくおはじきを持っていることになって、これでつじつまがあいますね。


 答え( 中3夏期講習 第1回 方程式の文章題) 

(1)りんご…$7$個 みかん…$6$個
(2)梨…$120$円 柿…$80$円
(3)$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$35km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$\cfrac{27}{2}km(13.5km)$
(4)$8$ %の食塩水…$300g$  $3$ %の食塩水…$200g$
(5)男子…$414$ 人  女子…$424$ 人
(6)柿…$6$個 梨…$3$個
(7)コーヒー…$300$円 ケーキ…$400$円
(8)$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$60km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$16km$
(9)$8$ %の食塩水…$240g$  $3$ %の食塩水…$160g$
(10)男子…$265$ 人  女子…$207$ 人
(11)$10$円玉…$15$枚 $50$円玉…$6$枚
(12)大人…$400$円 子供…$250$円
(13)$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$90km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$245km$
(14)$12$ %の食塩水…$90g$  $7$ %の食塩水…$60g$
(15)男子…$235$ 人  女子…$294$ 人
(16)$6km$
(17)$15$人
(18)$850$個
(19)$440$戸
(20)$4000$円
(21)分速 $410m$
(22)$225$人
(23)$32$人
(24)$72$
(25)$150g$
(26)$210円$
(27)ア…$12$ イ…$3x-4y$

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saijuku0222