中2数学 1学期の計算 第13回 全32問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $-8-7\times(-6)$
答え $34$
\begin{eqnarray*} &&-8-7\times(-6)\\ &=&-8+42\\ &=&34 \end{eqnarray*}② $-\cfrac{2}{3}-2-\cfrac{3}{4}$
答え $-\cfrac{41}{12}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{2}{3}-2-\cfrac{3}{4}\\ &=&-\cfrac{8}{12}-\cfrac{24}{12}-\cfrac{9}{12}\\ &=&-\cfrac{41}{12} \end{eqnarray*}③ $(-1)^6\times(-1)^7$
答え $-1$
\begin{eqnarray*} &&(-1)^6\times(-1)^7\\ &=&1\times(-1)\\ &=&-1 \end{eqnarray*}④ $a-3b-8a-6b$
答え $-7a-9b$
\begin{eqnarray*} &&a-3b-8a-6b\\ &=&a-8a-3b-6b\\ &=&-7a-9b \end{eqnarray*}⑤ $-\cfrac{1}{3}xy+\cfrac{1}{4}y-xy-\cfrac{1}{2}y$
答え $-\cfrac{4}{3}xy-\cfrac{1}{4}y$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{3}xy+\cfrac{1}{4}y-xy-\cfrac{1}{2}y\\ &=&-\cfrac{1}{3}xy-xy+\cfrac{1}{4}y-\cfrac{1}{2}y\\ &=&-\cfrac{1}{3}xy-\cfrac{3}{3}xy+\cfrac{1}{4}y-\cfrac{2}{4}y\\ &=&-\cfrac{4}{3}xy-\cfrac{1}{4}y \end{eqnarray*}⑥ $(-6a+8b)+(7a-42b)$
答え $a-34b$
\begin{eqnarray*} &&(-6a+8b)+(7a-42b)\\ &=&-6a+8b+7a-42b\\ &=&-6a+7a+8b-42b\\ &=&a-34b \end{eqnarray*}⑦ $(6x^2+7x)-(12x^2-14x)$
答え $-6x^2+21x$
\begin{eqnarray*} &&(6x^2+7x)-(12x^2-14x)\\ &=&6x^2+7x-12x^2+14x\\ &=&6x^2-12x^2+7x+14x\\ &=&-6x^2+21x \end{eqnarray*}⑧ $-15(4x-6y)$
答え $-60x+90y$
⑨ $8\left(\cfrac{1}{2}a-\cfrac{3}{4}b\right)$
答え $4a-6b$
\begin{eqnarray*} &&8\left(\cfrac{1}{2}a-\cfrac{3}{4}b\right)\\ &=&8\times\cfrac{1}{2}a+8\times\left(-\cfrac{3}{4}b\right)\\ &=&4a-6b \end{eqnarray*}⑩ $(-30x^2-45x+75)\div(-15)$
答え $2x^2+3x-5$
⑪ $(72a-144b)\div\left(-\cfrac{12}{5}\right)$
答え $-30a+60b$
\begin{eqnarray*} &&(72a-144b)\div\left(-\cfrac{12}{5}\right)\\ &=&(72a-144b)\times\left(-\cfrac{5}{12}\right)\\ &=&72a\times\left(-\cfrac{5}{12}\right)-144b\times\left(-\cfrac{5}{12}\right)\\ &=&-30a+60b\end{eqnarray*}⑫ $8(3x-2y)-3(5x-9y)$
答え $9x+11y$
\begin{eqnarray*} &&8(3x-2y)-3(5x-9y)\\ &=&24x-16y-15x+27y\\ &=&24x-15x-16y+27y\\ &=&9x+11y \end{eqnarray*}⑬ $-\cfrac{7}{6}(42a^2-24a)+\cfrac{5}{3}(24a^2+9a)$
答え $-9a^2+43a$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{7}{6}(42a^2-24a)+\cfrac{5}{3}(24a^2+9a)\\ &=&-49a^2+28a+40a^2+15a\\ &=&-49a^2+40a^2+28a+15a\\ &=&-9a^2+43a \end{eqnarray*}⑭ $\cfrac{2x-3y}{5}-\cfrac{9x-4y}{15}$
答え $\cfrac{-3x-5y}{15}\quad\left(-\cfrac{3x+5y}{15},-\cfrac{1}{5}x-\cfrac{1}{3}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x-3y}{5}-\cfrac{9x-4y}{15}\\ &=&\cfrac{3(2x-3y)-(9x-4y)}{15}\\ &=&\cfrac{6x-9y-9x+4y}{15}\\ &=&\cfrac{6x-9x-9y+4y}{15}\\ &=&\cfrac{-3x-5y}{15} \end{eqnarray*}⑮ $-32x^2y^2\div(-4xy)\div(-24x)$
答え $-\cfrac{1}{3}y$
\begin{eqnarray*} &&-32x^2y^2\div(-4xy)\div(-24x)\\ &=&-\cfrac{32xxyy}{4xy\times24x}\\ &=&-\cfrac{1}{3}y \end{eqnarray*}⑯ $\cfrac{5}{21}x\div\cfrac{15}{28}xy^2\times\left(-\cfrac{9}{8}xy\right)$
答え $-\cfrac{x}{2y}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{5}{21}x\div\cfrac{15}{28}xy^2\times\left(-\cfrac{9}{8}xy\right)\\ &=&\cfrac{5x}{21}\times\cfrac{28}{15xyy}\times\left(-\cfrac{9xy}{8}\right)\\ &=&-\cfrac{x}{2y} \end{eqnarray*}① $-\cfrac{1}{8}x=24$
答え $x=-192$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{8}x&=&24 \quad(-8を両辺にかける)\\ x&=&-192 \end{eqnarray*}② $-\cfrac{4x-7}{8}=\cfrac{3}{4}x+1$
答え $x=-\cfrac{1}{10}$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{4x-7}{8}&=&\cfrac{3}{4}x+1\quad(\times8)\\ -4x+7&=&6x+8 \\ -4x-6x&=&8-7\\ -10x&=&1\\ x&=&-\cfrac{1}{10} \end{eqnarray*}③ $\left\{\begin{array}{l} -x-6y=0\\ x=-3y-1\\ \end{array}\right.$
答え $x=-2,y=\cfrac{1}{3}$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} -x-6y=0\qquad…①\\ x=-3y-1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を①に代入する$ \begin{eqnarray*} -(-3y-1)-6y&=&0\\ 3y+1-6y&=&0\\ 3y-6y&=&-1\\ -3y&=&-1\\ y&=&\cfrac{1}{3}\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=\cfrac{1}{3}を&②&に代入\\ x&=&-3\times\cfrac{1}{3}-1\\ x&=&-1-1\\ x&=&-2 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=\cfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{eqnarray*}④ $\left\{\begin{array}{l} 3x+4y=7\\ 2x+3y=1 \end{array}\right.$
答え $x=17,y=-11$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x+4y=7\qquad…①\\ 2x+3y=1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で $x$ の係数をそろえて消去する$①\times2-②\times3$ \begin{eqnarray*} 6x+8y=14\\ \underline{-) \quad 6x+9y=\phantom{1}3} \\ -y=11\\ y=-11\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-11を&②&に代入\\ 2x+3\times(-11)&=&1\\ 2x-33&=&1\\ 2x&=&1+33\\ 2x&=&34\\ x&=&17 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=17\\ y=-11 \end{array} \right. \end{eqnarray*}
⑤ $\left\{\begin{array}{l} 2(x-y)=-x+4\\ -3x+6y+1=x+3y-6 \end{array}\right.$
答え $x=-2,y=-5$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2(x-y)=-x+4\qquad…①\\ -3x+6y+1=x+3y-6\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} ①を整理\begin{eqnarray*} \begin{array}{l} 2(x-y)&=&-x+4\\ 2x-2y&=&-x+4\\ 2x-2y+x&=&4\\ 3x-2y&=&4\qquad…③ \end{array} \end{eqnarray*} ②を整理
\begin{eqnarray*} \begin{array}{l} -3x+6y+1&=&x+3y-6\\ -3x+6y-x-3y&=&-6-1\\ -4x+3y&=&-7\qquad…④ \end{array} \end{eqnarray*} ③と④を連立方程式として、加減法で $y$ の係数をそろえて消去する
$③\times3+④\times2$ \begin{eqnarray*} 9x-6y=\phantom{-}12\\ \underline{+) \quad -8x+6y=-14} \\ x\phantom{-6y}=\phantom{1}-2\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-2を&③&に代入\\ 3\times(-2)-2y&=&4\\ -6-2y&=&4\\ -2y&=&4+6\\ -2y&=&10\\ y&=&-5 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=-5 \end{array} \right. \end{eqnarray*}
①$x=\cfrac{3}{2},\ y=-\cfrac{8}{9}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad \cfrac{7}{8}x^2y^2\div\left(-\cfrac{21}{4}xy\right)$
答え $\cfrac{2}{9}$
いきなり代入しても同じ答えがでますが、ちょっと損なやり方です。文字のままやれるところまで計算して、それから代入したほうがラクです。
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{7}{8}x^2y^2\div\left(-\cfrac{21}{4}xy\right) \\ &=&\cfrac{7xxyy}{8}\times\left(-\cfrac{4}{21xy}\right)\\ &=&-\cfrac{1}{6}xy\\ &&x=\cfrac{3}{2},\ y=-\cfrac{8}{9} を代入\\ &=&-\cfrac{1}{6}\times\cfrac{3}{2}\times\left(-\cfrac{8}{9}\right)\\ &=&\cfrac{2}{9} \end{eqnarray*}
② $y$ が $x$ に比例し、$x=\cfrac{2}{3}$ のとき、 $y=-\cfrac{4}{11}$ である。 $x=-\cfrac{22}{9}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{4}{3}$
比例の式の形は $y=ax$ $$y=ax\ に\ x=\cfrac{2}{3}, \ y=-\cfrac{4}{11}\ を代入する\\ -\cfrac{4}{11}=\cfrac{2}{3}a 左辺と右辺をとりかえる\\ \cfrac{2}{3}a=-\cfrac{4}{11} 両辺に \times33\\ 22a=-12\\ a=-\cfrac{12}{22}=-\cfrac{6}{11}\\ y=-\cfrac{6}{11}x\ に\ x=-\cfrac{22}{9}\ を代入する\\ y=-\cfrac{6}{11}\times\left(-\cfrac{22}{9}\right)=\cfrac{4}{3}$$③ $y$ が $x$ に反比例し、 $x=-\cfrac{1}{2}$ のとき、$y=-6$ である。 $x=-15$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{5}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x\times y=-\cfrac{1}{2}\times(-6)=3\\ y=\cfrac{3}{x}\ に\ x=-15\ を代入する\\ y=\cfrac{3}{-15}=-\cfrac{1}{5}$$④ 次の式の項を答えなさい。また、何次式かを答えなさい。
$\qquad 2a-3b+4c-1$
答え $項…2a,\ -3b,\ 4c,\ -1 \\1次式$
式の途中に $+$ や $-$ がでてきたら、その直前にスラッシュ（斜め線）をいれて、項にわけます。 それぞれの項の次数をみて、いちばん高いところの次数を答えます。 $$2a/-3b/+4c/-1$$ $2a$ は $1$ 次、$-3b$ は $1$ 次、$4c$ は $1$ 次です。なので、$1$ 次式と答えます。次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
⑤
$-6a-4b=3\quad[a]$
答え $a=\cfrac{-4b-3}{6}\left(-\cfrac{4b+3}{6},-\cfrac{2}{3}b-\cfrac{1}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} -6a-4b&=&3\\ -6a&=&4b+3\quad両辺に \times(-1) \\ 6a&=&-4b-3 \\ a&=&\cfrac{-4b-3}{6} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
⑥
$y=-\cfrac{3}{4}x+6\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-4y+24}{3}\left(-\cfrac{4y-24}{3},-\cfrac{4}{3}y+8も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{3}{4}x+6\quad(両辺に\times4) \\ 4y&=&-3x+24 \\ 3x&=&-4y+24 \\ x&=&\cfrac{-4y+24}{3} \end{eqnarray*}⑦ $1$ の位が $0$ でない $2$ けたの 自然数を $A$ とする。$A$ の十の位と一の位をいれかえてできる数を $B$ とする。このとき、$A-B$ は $9$ の 倍数となることを、$A=10x+y$ （ただし $x,\ y$ は $1$ から $9$ までの整数）として説明しなさい。
説明
$A$ を $10x+y$ と表すと、$B$ は $10y+x$ と表せる。ただし、$x,\ y$ は $1$ から $9$ までの整数である。
\begin{eqnarray*} &&A-B\\ &=&(10x+y)-(10y+x)\\ &=&10x+y-10y-x\\ &=&10x-x+y-10y\\ &=&9x-9y\\ &=&9(x-y) \end{eqnarray*} $x,\ y$ は整数だから、$11(x-y)$ は $9$ の倍数である。
したがって、$A-B$ は $9$ の倍数となる。
① 生徒の人数を答えなさい。
答え $181人$
$$3+8+23+45+61+31+6+3+1=181$$② 最頻値（モード）を求めなさい。
答え $55$
生徒がいちばん多かった階級の階級値が最頻値（モード）です。表の、人数がいちばん多いところの階級値だと思ってしまってもいいです。
この表で人数がいちばん多いのは、$50$ 点以上 $60$ 点未満の階級です。なので最頻値（モード）は、
\begin{eqnarray*}
(50+60)\div2=55
\end{eqnarray*}
$55$ です。ここで注意が必要なのは、「階級値を答える」ということです。最頻値（モード）をきかれたら、
階級値を答えてください。
階級値というのは、その階級のいちばん小さい数といちばん大きい数を足して $2$ で割った値のことです。
③ 中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $55$
$181$ 人による記録ですから、その中央値（メジアン）は、$91$ 番目の記録です。
$181$ 人いるのだったら、まえから数えても $91$ 番目、うしろから数えても $91$ 番目がまんなかです。
その「まんなか」というのが中央値（メジアン）です。
$(1+181)\div2=91$ とやってしまうと話がはやいです。まんなかというのは、「足して $2$ で割る」とすぐに求まります。
んで、この問題の場合の中央値（メジアン）は、$91$ 番目の人がふくまれる階級の階級値になります。
$91$ 番目のひとがふくまれるのは $50$ 点以上 $60$ 点未満の階級です。なので中央値（メジアン）は、
\begin{eqnarray*}
(50+60)\div2=55
\end{eqnarray*}
$55$ です。ここで注意が必要なのは、「階級値を答える」ということです。こういう問題で中央値（メジアン）をきかれたら、
階級値を答えてください。
階級値というのは、その階級のいちばん小さい数といちばん大きい数を足して $2$ で割った値のことです。
④ 得点が $80$ 点以上のひとの相対度数を、小数第 $3$ 位を四捨五入して求めなさい。
答え $0.02$
$80$ 点以上の人数をあわせると、$4$ 人います。度数は $4$ です。
なのでその相対度数は $\cfrac{4}{181}$ です。
\begin{eqnarray*}
4\div181=0.022...
\end{eqnarray*}
小数第 $3$ 位を四捨五入して求めよというのだから、答えは $0.02$ です。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①34②-\cfrac{41}{12}③-1④-7a-9b⑤-\cfrac{4}{3}xy-\cfrac{1}{4}y\\ ⑥a-34b⑦-6x^2+21x⑧-60x+90y\\ ⑨4a-6b⑩2x^2+3x-5⑪-30a+60b\\ ⑫9x+11y⑬-9a^2+43a\\ ⑭\cfrac{-3x-5y}{15}\quad\left(-\cfrac{3x+5y}{15},-\cfrac{1}{5}x-\cfrac{1}{3}yも可\right)\\ ⑮-\cfrac{1}{3}y ⑯-\cfrac{x}{2y}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①x=-192②x=-\cfrac{1}{10}③x=-2, \ y=\cfrac{1}{3}\\ ④x=17, \ y=-11⑤x=-2, \ y=-5\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①\cfrac{2}{9}②y=\cfrac{4}{3}③y=-\cfrac{1}{5}\\ ④項…2a, \ -3b, \ 4c,\ -1，1次式\\ ⑤a=\cfrac{-4b-3}{6}\quad\left(-\cfrac{4b+3}{6},-\cfrac{2}{3}b-\cfrac{1}{2}も可\right)\\ ⑥x=\cfrac{-4y+24}{3}\quad\left(-\cfrac{4y-24}{3},-\cfrac{4}{3}y+8も可\right)\\ ⑥A\ を\ 10x+y\ と表すと、B\ は\ 10y+x\ と表せる。\\ ただし、x,\ y\ は\ 1\ から\ 9\ までの整数である。\\ \begin{eqnarray*} &&A-B \\ &=&(10x+y)-(10y+x)\\ &=&10x+y-10y-x\\ &=&10x-x+y-10y\\ &=&9x-9y\\ &=&9(x-y)\\ \end{eqnarray*}\\ x,\ y\ は整数だから、9(x-y)\ は\ 9\ の倍数である。\\ したがって、A-B\ は\ 9\ の倍数となる。\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①181人②55③55④0.02 $