才塾 定期テスト対策

中2数学 3学期の計算 第9回 全30問

9


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問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$6-3\times5$

答え $-9$

\begin{eqnarray*} &&6-3\times5\\ &=&6-15\\ &=&-9 \end{eqnarray*}

$-2+\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{4}$

答え $-\cfrac{3}{4}$

\begin{eqnarray*} &&-2+\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{4}\\ &=&-\cfrac{8}{4}+\cfrac{2}{4}+\cfrac{3}{4}\\ &=&-\cfrac{3}{4} \end{eqnarray*}

$-2^2\times(-5)^2$

答え $-100$

\begin{eqnarray*} &&-2^2\times(-5)^2\\ &=&-4\times25\\ &=&-100 \end{eqnarray*}

$-15x+6y-7x-21y$

答え $-22x-15y$

\begin{eqnarray*} &&-15x+6y-7x-21y\\ &=&-15x-7x+6y-21y\\ &=&-22x-15y \end{eqnarray*}

$-\cfrac{2}{5}a-\cfrac{1}{3}b+\cfrac{2}{3}a+b$

答え $\cfrac{4}{15}a+\cfrac{2}{3}b$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{2}{5}a-\cfrac{1}{3}b+\cfrac{2}{3}a+b\\ &=&-\cfrac{2}{5}a+\cfrac{2}{3}a-\cfrac{1}{3}b+b\\ &=&-\cfrac{6}{15}a+\cfrac{10}{15}a-\cfrac{1}{3}b+\cfrac{3}{3}b\\ &=&\cfrac{4}{15}a+\cfrac{2}{3}b \end{eqnarray*}

$(-15x-9y)-(-13x+7y)$

答え $-2x-16y$

\begin{eqnarray*} &&(-15x-9y)-(-13x+7y)\\ &=&-15x-9y+13x-7y\\ &=&-15x+13x-9y-7y\\ &=&-2x-16y \end{eqnarray*}

$(7x^2-16x)-(12x^2-9x)$

答え $-5x^2-7x$

\begin{eqnarray*} &&(7x^2-16x)-(12x^2-9x)\\ &=&7x^2-16x-12x^2+9x\\ &=&7x^2-12x^2-16x+9x\\ &=&-5x^2-7x \end{eqnarray*}

$-15(4a-8b)$

答え $-60a+120b$

$80\left(\cfrac{7}{16}x-\cfrac{21}{20}y\right)$

答え $35x-84y$

\begin{eqnarray*} &&80\left(\cfrac{7}{16}x-\cfrac{21}{20}y\right)\\ &=&80\times\cfrac{7}{16}x+60\times\left(-\cfrac{21}{20}y\right)\\ &=&35x-84y \end{eqnarray*}

$(-45a^2+30a-60)\div(-15)$

答え $3a^2-2a+4$

$(60x-75y)\div\left(-\cfrac{15}{4}\right)$

答え $-16x+20y$

\begin{eqnarray*} &&(60x-75y)\div\left(-\cfrac{15}{4}\right)\\ &=&(60x-75y)\times\left(-\cfrac{4}{15}\right)\\ &=&60x\times\left(-\cfrac{4}{15}\right)-75y\times\left(-\cfrac{4}{15}\right)\\ &=&-16x+20y \end{eqnarray*}

$25(4a+3b)-15(5a+4b)$

答え $25a+15b$

\begin{eqnarray*} &&25(4a+3b)-15(5a+4b)\\ &=&100a+75b-75a-60b\\ &=&100a-75a+75b-60b\\ &=&25a+15b \end{eqnarray*}

$-\cfrac{4}{15}(60x-45y)+100\left(\cfrac{2}{25}x-\cfrac{7}{50}y\right)$

答え $-8x-2y$

\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{4}{15}(60x-45y)+100\left(\cfrac{2}{25}x-\cfrac{7}{50}y\right)\\ &=&-16x+12y+8x-14y\\ &=&-16x+8x+12y-14y\\ &=&-8x-2y \end{eqnarray*}

$\cfrac{2x-3y}{12}-\cfrac{4x-y}{15}$

答え $\cfrac{-6x-11y}{60}\quad\left(-\cfrac{6x+11y}{60},-\cfrac{1}{10}x-\cfrac{11}{60}yも可\right)$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x-3y}{12}-\cfrac{4x-y}{15}\\ &=&\cfrac{5(2x-3y)-4(4x-y)}{60}\\ &=&\cfrac{10x-15y-16x+4y}{60}\\ &=&\cfrac{10x-16x-15y+4y}{60}\\ &=&\cfrac{-6x-11y}{60} \end{eqnarray*}

$(-2a)^3\times(-15a^2)$

答え $120a^5$

\begin{eqnarray*} &&(-2a)^3\times(-15a^2)\\ &=&-8a^3\times (-15a^2)\\ &=&120a^5 \end{eqnarray*}

$15xy\div(-60x^2y^2)\times(-8xy^2)$

答え $2y$

\begin{eqnarray*} &&15xy\div(-60x^2y^2)\times(-8xy^2)\\ &=&\cfrac{15xy\times(-8xyy)}{-60xxyy}\\ &=&2y \end{eqnarray*}

$15x\div\left(-\cfrac{60}{7}x^2y^2\right)\times\cfrac{20}{21}y$

答え $-\cfrac{5}{3xy}$

\begin{eqnarray*} &&15x\div\left(-\cfrac{60}{7}x^2y^2\right)\times\cfrac{20}{21}y\\ &=&\cfrac{15x}{1}\times\left(-\cfrac{7}{60xxyy}\right)\times\cfrac{20y}{21}\\ &=&-\cfrac{5}{3xy} \end{eqnarray*}

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①~④の方程式を解きなさい。

$-4x-6=7(8x-3)$

答え $x=\cfrac{1}{4}$

\begin{eqnarray*} -4x-6&=&7(8x-3) \\ -4x-6&=&56x-21 \\ -4x-56x&=&-21+6\\ -60x&=&-15 \\ x&=&\cfrac{-15}{-60}=\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}

$\cfrac{13}{20}x+\cfrac{5}{12}=\cfrac{8}{15}x+1$

答え $x=5$

\begin{eqnarray*} \cfrac{13}{20}x+\cfrac{5}{12}&=&\cfrac{8}{15}x+1\quad(\times60)\\ 39x+25&=&32x+60 \\ 39x-32x&=&60-25\\ 7x&=&35\\ x&=&5 \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 3x+4y=-7\\ 5x+6y=1 \end{array}\right.$

答え $x=23,y=-19$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x+4y=-7\qquad…①\\ 5x+6y=1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times3-②\times2$ \begin{eqnarray*} 9x+12y=-21\\ \underline{-) \quad 10x+12y=\phantom{-1}2} \\ -x\phantom{+116y}=-23 \\ x\phantom{+116y}=\phantom{-}23 \\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=23を①に代入\\ 3\times23+4y&=&-7\\ 69+4y&=&-7\\ 4y&=&-7-69\\ 4y&=&-76\\ y&=&-19 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=23\\ y=-19 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$\left\{\begin{array}{l} 3(x-y)=y+1\\ 7(x-y)=2x+4 \end{array}\right.$

答え $x=-9,y=-7$

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3(x-y)=y+1\qquad…①\\ 7(x-y)=2x+4\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①を整理$ \begin{eqnarray*} 3(x-y)&=&y+1\\ 3x-3y&=&y+1\\ 3x-3y-y&=&1\\ 3x-4y&=&1\qquad…③ \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 7(x-y)&=&2x+4\\ 7x-7y&=&2y+4\\ 7x-2y-7y&=&4\\ 5x-7y&=&4\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times5-④\times3$ \begin{eqnarray*} 15x-20y=\phantom{-1}5\\ \underline{-) \quad 15x-21y=\phantom{-}12} \\ y=-\phantom{1}7 \\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-7を③に代入\\ 3x-4\times(-7)&=&1\\ 3x+28&=&1\\ 3x&=&1-28\\ 3x&=&-27\\ x&=&-9\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-9\\ y=-7 \end{array} \right. \end{eqnarray*}
$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
$6a-8b=3c\quad[b]$

答え $b=\cfrac{6a-3c}{8}\left(x=\cfrac{3}{4}a-\cfrac{3}{8}c\right)$

\begin{eqnarray*} 6a-8b&=3c \\ -8b&=&-6a+3c \quad(-1を両辺にかける)\\ 8b&=&6a-3c \\ b&=&\cfrac{6a-3c}{8} \end{eqnarray*}

次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
$\cfrac{1}{60}y=\cfrac{2}{15}x-1\quad[x]$

答え $x=\cfrac{y+60}{8}\left(\cfrac{1}{8}y+\cfrac{15}{2}も可\right)$

\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{60}y&=&\cfrac{2}{15}x-1\quad (右辺と左辺をとりかえる) \\ \cfrac{2}{15}x-1&=&\cfrac{1}{60}y\quad(両辺に\times60) \\ 8x-60&=&y \\ 8x&=&y+60 \\ x&=&\cfrac{y+60}{8} \\ \end{eqnarray*}

 $x=60, \ y=-\cfrac{1}{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad \cfrac{1}{5}x+9y^3-\cfrac{1}{3}x+7y^3$

答え $-10$

\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{5}x+9y^3-\cfrac{1}{3}x+7y^3\\\\ &=&\cfrac{1}{5}x-\cfrac{1}{3}x+9y^3+7y^3\\\\ &=&\cfrac{3}{15}x-\cfrac{5}{15}x+9y^3+7y^3\\\\ &=&-\cfrac{2}{15}x+16y^3\\ &=&-\cfrac{2}{15}\times60+16\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)^3\\ &=&-8+16\times\left(-\cfrac{1}{8}\right)\\ &=&-8-2\\ &=&-10 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に比例し、$x=60$ のとき、$y=-15$ である。 $x=-20$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=5$

比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-15}{60}=-\cfrac{1}{4}$$ $y=-\cfrac{1}{4}x$ に $x=-20$ を代入
\begin{eqnarray*} y=-\cfrac{1}{4}\times(-20)=5 \end{eqnarray*}

$y$ が $x$ に反比例し、$x=60$ のとき、$y=-15$ である。 $x=-20$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え $y=45$

反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=60\times(-15)=-900$$ $y=-\cfrac{900}{x}$ に $x=-20$ を代入
\begin{eqnarray*} y=-\cfrac{900}{-20}=45 \end{eqnarray*}

変化の割合が $-2$ で、点 $\left(-2,\ \cfrac{1}{2}\right)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え $y=-2x-\cfrac{7}{2}$

直線の式の形は $y=ax+b$
変化の割合が $-2$ なので$a=-2$
$y=-2x+b$ に $x=-2,\ y=\cfrac{1}{2}$ を代入 \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}&=&-2\times(-2)+b\\ \cfrac{1}{2}&=&4+b\\ \cfrac{1}{2}-4&=&b\\ \cfrac{1}{2}-\cfrac{8}{2}&=&b\\ -\cfrac{7}{2}&=&b \end{eqnarray*}

$2$ 点 $(-1,\ 5),\ (3,\ -2)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え $y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{13}{4}$

直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-2-5}{3-(-1)}=\cfrac{-7}{4}=-\cfrac{7}{4}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{7}{4}x+b$ に $x=-1,\ y=5$ を代入 \begin{eqnarray*} 5&=&-\cfrac{7}{4}\times(-1)+b\\ 5&=&\cfrac{7}{4}+b\\ 5-\cfrac{7}{4}&=&b\\ \cfrac{20}{4}-\cfrac{7}{4}&=&b\\ \cfrac{13}{4}&=&b \end{eqnarray*}
$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

三角形
①右の図で、点$D$ は $BC$上にあり、$\triangle ABC$ と $\triangle ADE$ はどちらも正三角形である。 $BD = CE$ であることを証明しなさい。



答え
$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ で、
$\triangle ABC$ は正三角形だから、$AB=AC$ ……①
$\triangle ADE$ は正三角形だから、$AD=AE$ ……②
$\angle BAC=60^{ \circ }$ だから、$\angle BAD=60^{ \circ }-\angle DAC$ ……③
$\angle DAE=60^{ \circ }$ だから、$\angle CAE=60^{ \circ }-\angle DAC$ ……④
③④より、$\angle BAD=\angle CAE$ ……⑤
①②⑤より、$2$組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle ABD \ \equiv \ \triangle ACE$
合同な図形の対応する辺だから、
$BD = CE$

三角形
②右の $ABCD$ で、$O$ は対角線の交点である。また、$E, \ F$ は対角線上の点であり、$AE=CF$ である。
四角形 $BEDF$ が平行四辺形であることを証明しなさい。

$ABCD$の対角線だから、
 $BO=DO$ ……①
 $AO=CO$ ……②
仮定から、$AE=CF$ ……③
②③より、$AO-AE=CO-CF$
したがって、$EO=FO$ ……④
①④より、$2$つの対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形 $BEDF$ は平行四辺形である。

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①-9②-\cfrac{3}{4}③-100④-22x-15y⑤\cfrac{4}{15}a+\cfrac{2}{3}b\\ ⑥-2x-16y⑦-5x^2-7x⑧-60a+120b\\ ⑨35x-84y⑩3a^2-2a+4⑪-16x+20y\\ ⑫25a+15b⑬-8x-2y⑭\cfrac{-6x-11y}{60}⑮120x^5\\ ⑯2y⑰-\cfrac{5}{3xy}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①x=\cfrac{1}{4}②x=5③x=23,y=-19\\ ④x=-9,y=-7\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①b=\cfrac{6a-3c}{8}②x=\cfrac{y+60}{8}③-10\\ ④y=5⑤y=45⑥y=-2x-\cfrac{7}{2}⑦y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{13}{4}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}$
① $\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ で、
$\triangle ABC$ は正三角形だから、$AB=AC$ ……①
$\triangle ADE$ は正三角形だから、$AD=AE$ ……②
$\angle BAC=60^{ \circ }$ だから、$\angle BAD=60^{ \circ }-\angle DAC$ ……③
$\angle DAE=60^{ \circ }$ だから、$\angle CAE=60^{ \circ }-\angle DAC$ ……④
③④より、$\angle BAD=\angle CAE$ ……⑤
①②⑤より、$2$組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle ABD \ \equiv \ \triangle ACE$
合同な図形の対応する辺だから、
$BD = CE$

② $ABCD$の対角線だから、
 $BO=DO$ ……①
 $AO=CO$ ……②
仮定から、$AE=CF$ ……③
②③より、$AO-AE=CO-CF$
したがって、$EO=FO$ ……④
①④より、$2$つの対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形 $BEDF$ は平行四辺形である。

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