点 $A$ は直線 $y=x+4$ 上の点です。この式に $x=-2$ を代入して、 $$\begin{eqnarray*} y=-2+4=2 \end{eqnarray*}$$ 点 $A$ の座標は $(-2, \ 2)$ です。
$y=ax^2$ がこの点を通るわけですから、$y=ax^2$ に $x=-2, \ y=2$ を代入して、 $$\begin{eqnarray*} 2&=&a\times(-2)^2\\ 2&=&4a\\ \cfrac{1}{2}&=&a \end{eqnarray*}$$

等積変形をして、$\triangle ABC$ を面積を求めやすい三角形にします。そうして面積を求めていきます。

直線 $y=x+7$ と $y$ 軸との交点を $D$ とします。すると $\triangle ABC=\triangle ABD$ です。直線 $y=x+4$ と $y=x+7$ は、傾きが等しいので平行です。なので、どちらの三角形も、$AB$ を底辺とすれば、高さが等しくなります。なので面積は同じです。$\triangle ABC$ の面積を求めたいのなら、$\triangle ABD$ の面積を求めればいいです。そしてこっちのほうがずっと楽です。

それでは $\triangle ABD$ の面積を求めていきましょう。
直線 $y=x+4$ と $y$ 軸との交点を $E$ とします。$\triangle ABD$ を $y$ 軸のところで、右と左にわけます。$\triangle DEA$ と $\triangle DEB$ という $2$ つの三角形の面積をそれぞれだして、足せばOKです。
＜$\triangle DEA$＞
$DE$ を底辺とします。その長さは $7-4=3$ です。また、点 $A$ の座標は $(-2, \ 2)$ なので、この三角形の高さは $2$ です。なので面積は、 $$\begin{eqnarray*} 3\times2\times\cfrac{1}{2}=3 \end{eqnarray*}$$ ＜$\triangle DEB$＞
$DE$ を底辺とします。その長さは $3$ です。
高さがわからないので、点 $B$ の $x$ 座標を求めていきます。点 $B$ は $y=x+4$ と $y=\cfrac{1}{2}x^2$ の交点なのですから、 $$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}x^2&=&x+4\\ x^2-2x-8&=&0\\ (x-4)(x+2)&=&0\\ x&=&4, \ x=-2 \end{eqnarray*}$$ $x=-2$ というのは点 $A$ の $x$ 座標のことです。なので点 $B$ の $x$ 座標は $4$ です。（ついでに $y$ 座標も求めておくと、$y=8$ になります。）というわけで、$\triangle DEB$ の高さは $4$ です。なので面積は $$\begin{eqnarray*} 3\times4\times\cfrac{1}{2}=6 \end{eqnarray*}$$ なので $\triangle ABD$ の面積は、 $$\begin{eqnarray*} \triangle ABD&=&\triangle DEA+\triangle DEB\\ &=&3+6=9 \end{eqnarray*}$$
＜もうちょっとラクに＞
$\triangle ABD$ をさらに等積変形して、右下の図の水色のような三角形を考えてしまえば、その面積は $$\begin{eqnarray*} 6\times3\times\cfrac{1}{2}=9 \end{eqnarray*}$$ これでダイジョブです。ツジツマあってます。水色の三角形は $\triangle ABD$ と面積がおなじです。

ア…生徒は $31$ 人です。
イ…階級の幅は $5$ です。
ウ…最頻値（モード）の階級は $20$～$25$ のところです。なので最頻値は $22.5$ です。
また、$31$ 人の生徒による記録なのですから、中央値（メジアン）は $16$ 番目の生徒の記録となります。$16$ 番目の生徒の記録がふくまれる階級は $20$～$25$ のところです。なので中央値（メジアン）は $22.5$ です。
エ…記録が $20$ m以上 $25$ m未満の生徒の度数は $7$ です。記録が $25$ m以上 $30$ m未満の生徒の度数は $6$ です。なので記録が $20$ m以上 $30$ m未満の生徒の度数は $7+6=13$ です。なのでその相対度数は、 $$13\div31=0.41\dots$$